高中聯考經典試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,x)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，則\(x=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)3.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\((-2,-1)\)D.\((-\infty,-2)\cup(-1,+\infty)\)5.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,-1)\)D.\((-\infty,0)\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(2\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-2\)8.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圓心坐標是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)9.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)10.一個正方體的棱長為\(2\)，則其表面積為（）A.\(24\)B.\(12\)C.\(8\)D.\(4\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)3.以下哪些是等比數列（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(1,1,1,1,\cdots\)D.\(1,3,5,7,\cdots\)4.下列三角函數值為正的是（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos210^{\circ}\)C.\(\tan30^{\circ}\)D.\(\sin225^{\circ}\)5.直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)與\(l_2:y=k_2x+b_2\)平行的條件是（）A.\(k_1=k_2\)B.\(k_1k_2=-1\)C.\(b_1=b_2\)D.\(b_1\neqb_2\)6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的有（）A.焦點在\(x\)軸上B.長軸長為\(2a\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}(c^2=a^2-b^2)\)D.短軸長為\(2b\)7.對于平面向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)，下列說法正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\)C.\(\vert\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\vert\leqslant\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\)D.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)8.下列函數在其定義域上單調遞增的是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=x^3\)D.\(y=-x\)9.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)10.下列幾何體中，是旋轉體的有（）A.圓柱B.圓錐C.三棱柱D.球三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.兩條異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。（）5.若直線\(l\)垂直平面\(\alpha\)內的無數條直線，則\(l\perp\alpha\)。（）6.等比數列的公比\(q\)可以為\(0\)。（）7.函數\(y=\sinx+\cosx\)的最大值是\(\sqrt{2}\)。（）8.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)。（）9.若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。（）10.函數\(y=\log_2(x^2-1)\)的單調遞增區間是\((1,+\infty)\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域。答：要使根式有意義，則\(4-x^2\geqslant0\)，即\(x^2-4\leqslant0\)，\((x+2)(x-2)\leqslant0\)，解得\(-2\leqslantx\leqslant2\)，定義域為\([-2,2]\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，求其前\(5\)項和\(S_5\)。答：先求公差\(d\)，\(a_5=a_1+4d\)，\(9=1+4d\)，\(d=2\)。\(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=\frac{5\times(1+9)}{2}=25\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答：由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為已知點，\(k\)為斜率），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.求\(\sin15^{\circ}\)的值。答：\(\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數\(y=x^2-2x+3\)的單調性。答：\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，函數圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。在\((-\infty,1]\)上單調遞減，在\([1,+\infty)\)上單調遞增。2.已知直線\(l\)與圓\(C\)，討論直線\(l\)與圓\(C\)的位置關系有哪些判斷方法？答：①幾何法：計算圓心到直線的距離\(d\)，與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交。②代數法：聯立直線與圓的方程，消元得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論在數列問題中，求通項公式\(a_n\)的常用方法。答：①公式法，對于等差、等比數列直接用通項公式。②由\(S_n\)求\(a_n\)，\(a_n=\begin{cases}S_1,n=1\\S_n-S_{n-1},n\geqslant2\end{cases}\)。③累加法、累乘法，適用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)、\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)形式。4.討論如何判斷一個函數的奇偶性。答：首先看函數定義域是否關于原點對稱，若不對稱則非奇非偶；若對稱，再判斷\(f(-x)\)與\(f(x)\