天津高考數列試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，則\(a_{3}\)的值為（）A.5B.6C.7D.82.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(q=3\)，則\(a_{2}\)是（）A.4B.6C.8D.103.數列\(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=2n-1\)，則\(a_{5}\)等于（）A.9B.10C.11D.124.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.45.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=4\)，\(a_{4}=16\)，則公比\(q\)為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.46.數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2\)，則\(a_{4}\)為（）A.5B.7C.9D.117.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}\)，若\(a_{1}=1\)，\(S_{3}=9\)，則\(a_{3}\)是（）A.3B.4C.5D.68.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=4\)，則\(a_{2}\)的值為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.89.數列\(\{a_{n}\}\)通項\(a_{n}=3^{n}\)，則\(a_{3}\)與\(a_{2}\)的比值是（）A.3B.9C.27D.8110.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}+a_{5}=10\)，\(a_{4}=7\)，則\(a_{n}\)的通項公式為（）A.\(a_{n}=2n-1\)B.\(a_{n}=3n-2\)C.\(a_{n}=4n-3\)D.\(a_{n}=n+3\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于等差數列性質正確的是（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)B.公差\(d\)可以為0C.通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)D.前\(n\)項和\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)2.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，可能成立的是（）A.\(a_{1}=1\)，\(q=0\)B.\(a_{1}=-1\)，\(q=-1\)C.\(a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}\)D.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)3.數列\(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=n^{2}\)，則（）A.\(a_{1}=1\)B.\(a_{2}=4\)C.\(a_{3}=9\)D.\(a_{4}=16\)4.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，則（）A.\(a_{1}+a_{5}=10\)B.\(a_{2}+a_{4}=10\)C.\(S_{5}=25\)D.\(a_{6}=11\)5.等比數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=8\)，則（）A.\(q=2\)B.\(q=-2\)C.\(a_{2}=4\)D.\(a_{2}=-4\)6.以下能構成等差數列的是（）A.1，3，5B.2，4，8C.5，3，1D.\(a\)，\(a\)，\(a\)7.對于數列\(\{a_{n}\}\)，下列說法正確的是（）A.若\(a_{n+1}-a_{n}=d\)（\(d\)為常數），則\(\{a_{n}\}\)是等差數列B.若\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)（\(q\)為常數），則\(\{a_{n}\}\)是等比數列C.常數列既是等差數列也是等比數列D.數列的通項公式可以唯一確定一個數列8.等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，則（）A.\(a_{1}=1\)B.\(a_{2}=3\)C.\(a_{3}=5\)D.\(a_{n}=2n-1\)9.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{5}=16\)，則（）A.\(q=2\)B.\(q=-2\)C.\(a_{3}=4\)D.\(a_{3}=-4\)10.數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n}=3-2n\)，則（）A.\(\{a_{n}\}\)是等差數列B.\(a_{1}=1\)C.公差\(d=-2\)D.\(S_{n}=-n^{2}+2n\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數列一定是等比數列。（）2.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\gt0\)，\(d\lt0\)，則數列單調遞減。（）3.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(q=-1\)，則\(a_{2}=-1\)。（）4.數列\(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=n+1\)，則\(a_{5}=6\)。（）5.等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}\)一定是關于\(n\)的二次函數。（）6.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\lt0\)，\(q\gt1\)，則數列單調遞減。（）7.數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n+1}-a_{n}=2\)，\(a_{1}=1\)，則\(a_{3}=5\)。（）8.若數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+n\)，則\(\{a_{n}\}\)是等差數列。（）9.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{2}=4\)，則\(a_{3}=8\)。（）10.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=a_{m}+(n-m)d\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(d=2\)，求\(a_{n}\)的通項公式。答案：根據等差數列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，將\(a_{1}=3\)，\(d=2\)代入，得\(a_{n}=3+2(n-1)=2n+1\)。2.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(q=3\)，求前\(n\)項和\(S_{n}\)。答案：等比數列前\(n\)項和公式\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)（\(q\neq1\)），把\(a_{1}=2\)，\(q=3\)代入，得\(S_{n}=\frac{2(1-3^{n})}{1-3}=3^{n}-1\)。3.已知數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，求\(a_{n}\)。答案：當\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=1\)；當\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-(n-1)^{2}=2n-1\)，\(n=1\)時也滿足，所以\(a_{n}=2n-1\)。4.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=7\)，\(a_{5}=11\)，求\(a_{1}\)和\(d\)。答案：由\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)可得\(\begin{cases}a_{1}+2d=7\\a_{1}+4d=11\end{cases}\)，兩式相減得\(2d=4\)，即\(d=2\)，將\(d=2\)代入\(a_{1}+2d=7\)得\(a_{1}=3\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數列和等比數列在實際生活中的應用實例。答案：等差數列如銀行存款按固定利息逐年增長；等比數列如細胞分裂，每次分裂數量是前一次的固定倍數。它們在經濟、生物等領域都有廣泛應用，幫助分析變化規律和預測結果。2.如何判斷一個數列是等差數列還是等比數列？答案：判斷等差數列看相鄰兩項差值是否為常數，即\(a_{n+1}-a_{n}=d\)（\(d\)為常數）；判斷等比數列看相鄰兩項比值是否為常數，即\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)（\(q\)為常數且\(q\neq0\)）。3.數列的通項公式和前\(n\)項和公式有什么關系？答案：已知通項公式\(a_{n}\)可通過\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)求前\(n\)項和；已知前\(n\)項和\(S_{n}\)，\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}\)，\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)。二者相互關聯，可相互推導。4.舉例說明數列的單調性對研究數列性質的重要性。答案：如等差數列\(\{a_{n}\}\)，若單調遞增（\(d\gt0\)），則\(a_{n}\)的值越來越大，\(S_{n}\)也有相應變化趨勢；等比數列若單調遞減（\(a_{1}\gt0,0\ltq\lt1\)），其各項值逐漸變小，有助于分析數列的極限等性質。答