高數2試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$y=\sinx$的導數是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.$\intx^2dx$=（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$3x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^3+C$D.$2x^3+C$3.極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$=（）A.0B.1C.-1D.不存在4.函數$z=x^2+y^2$在點$(1,1)$處對$x$的偏導數為（）A.1B.2C.3D.45.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,k)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，則$k$=（）A.1B.2C.3D.47.$\int_{0}^{1}xdx$=（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.38.函數$f(x)=e^{-x}$的單調遞增區間是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(-\infty,0)$C.$(0,+\infty)$D.不存在9.二元函數$z=xy$的全微分$dz$=（）A.$xdy+ydx$B.$xdy-ydx$C.$ydy+xdx$D.$ydy-xdx$10.級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.發散的B.收斂的C.條件收斂D.無法判斷二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是奇函數的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$2.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^3dx$B.$\int_{-1}^{1}\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}x^2dx$D.$\int_{-1}^{1}e^xdx$3.以下哪些是求導公式（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$4.對于二元函數$z=f(x,y)$，以下說法正確的是（）A.偏導數存在不一定連續B.連續不一定偏導數存在C.全微分存在則偏導數一定存在D.偏導數連續則全微分一定存在5.下列級數中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$6.向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(3,2,1)$，則（）A.$\vec{a}\cdot\vec{b}=10$B.$\vec{a}\times\vec{b}=(-4,8,-4)$C.$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{14}$D.$\vec{a}$與$\vec{b}$夾角余弦值為$\frac{5}{7}$7.函數$y=x^4-2x^2+1$的極值點有（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$8.以下哪些曲線是二次曲線（）A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.直線9.下列廣義積分中，收斂的有（）A.$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$B.$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx$C.$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$D.$\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx$10.關于多元函數的駐點，說法正確的是（）A.駐點是偏導數都為0的點B.駐點一定是極值點C.極值點可能是駐點D.駐點可能是鞍點三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數$y=\frac{1}{x}$在定義域內是單調遞減函數。（）2.$\intf^\prime(x)dx=f(x)$。（）3.若函數$f(x)$在點$x_0$處可導，則一定連續。（）4.二元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的兩個偏導數都存在，則函數在該點可微。（）5.級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.向量$\vec{a}=(1,0)$與$\vec{b}=(0,1)$垂直。（）7.函數$y=\cosx$的周期是$2\pi$。（）8.定積分的值只與被積函數和積分區間有關。（）9.函數$z=x^2-y^2$的圖形是旋轉拋物面。（）10.若$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$，則級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$斂散性不確定。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$y=x^3-3x^2+1$的極值。對函數求導得$y^\prime=3x^2-6x$，令$y^\prime=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。當$x\lt0$時，$y^\prime\gt0$；$0\ltx\lt2$時，$y^\prime\lt0$；$x\gt2$時，$y^\prime\gt0$。所以極大值為$y(0)=1$，極小值為$y(2)=-3$。2.計算$\intx\sinxdx$。用分部積分法，設$u=x$，$dv=\sinxdx$，則$du=dx$，$v=-\cosx$。由分部積分公式$\intudv=uv-\intvdu$可得：$\intx\sinxdx=-x\cosx+\int\cosxdx=-x\cosx+\sinx+C$。3.求函數$z=x^2+2xy+y^2$在點$(1,1)$處的全微分。先求偏導數，$z_x=2x+2y$，$z_y=2x+2y$。將點$(1,1)$代入得$z_x(1,1)=4$，$z_y(1,1)=4$。所以全微分$dz=z_x(1,1)dx+z_y(1,1)dy=4dx+4dy$。4.判斷級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的斂散性。因為$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，則其前$n$項和$S_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$。$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=1$，所以該級數收斂。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$y=\frac{1}{x-1}$的定義域、值域、單調性及漸近線。定義域為$x\neq1$。值域為$y\neq0$。在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上單調遞減。垂直漸近線為$x=1$，水平漸近線為$y=0$。2.探討多元函數連續、可偏導、可微之間的關系。連續不一定可偏導，可偏導不一定連續；可微則一定連續且可偏導，但連續且可偏導不一定可微；偏導數連續是可微的充分條件。3.分析定積分和不定積分的聯系與區別。聯系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者關聯。區別：不定積分是原函數族，定積分是一個數值；不定積分無積分區間，定積分有明確積分區間。4.說明判斷級數斂散性的常用方法及適用情況。常用方法有比較判別法（適用于與已知斂散性級數比較）、比值判別法（通項含$n$次方形式較方便）、根值判別法（通項含$n$次根式時適用）、級數收斂的必要條件（用于判斷發散）等。答案一、單項選擇題1.A2