高等數學上冊試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D.-12.函數$y=x^2$的導數是（）A.$2x$B.$x$C.$3x^2$D.$2$3.若$f(x)$的一個原函數是$x^2$，則$f(x)$=（）A.$2x$B.$x$C.$x^3$D.$2$4.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$5.函數$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$[0,+\infty)$6.當$x\to0$時，$x^2$是比$x$（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小7.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.48.函數$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.無間斷點9.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞10.若$y=\cosx$，則$y^\prime=$（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$2.以下哪些是基本求導公式（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.函數極限存在的條件有（）A.左極限存在B.右極限存在C.左、右極限都存在且相等D.函數在該點有定義4.下列積分運算正確的有（）A.$\int1dx=x+C$B.$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$C.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$5.下列屬于無窮小量的是（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}x$6.曲線$y=f(x)$在某點處切線存在的條件是（）A.函數在該點可導B.函數在該點連續C.函數在該點有定義D.函數在該點極限存在7.以下哪些函數是單調遞增的（）A.$y=x$B.$y=x^3$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$（$x>0$）8.函數的間斷點類型有（）A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.振蕩間斷點9.下列極限計算正確的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$B.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$C.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=e^2$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$10.若$F(x)$是$f(x)$的一個原函數，則（）A.$F^\prime(x)=f(x)$B.$\intf(x)dx=F(x)+C$C.$f^\prime(x)=F(x)$D.$\intF(x)dx=f(x)+C$判斷題（每題2分，共10題）1.函數$y=\frac{1}{x}$在定義域內是連續的。（）2.若函數在某點可導，則一定在該點連續。（）3.$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$。（）4.無窮小量與無窮大量的乘積是無窮小量。（）5.函數$y=x^3$的二階導數是$6x$。（）6.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處有定義。（）7.函數$y=\sinx$的周期是$2\pi$。（）8.定積分的值只與被積函數和積分區間有關。（）9.函數$y=e^x$與$y=\lnx$互為反函數。（）10.曲線$y=f(x)$在某點處的切線斜率等于該點處的導數值。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$y=x^3-3x^2+5$的導數。答案：根據求導公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，$y^\prime=3x^2-6x$。2.計算$\int(2x+1)dx$。答案：根據積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，$\int(2x+1)dx=2\times\frac{1}{2}x^2+x+C=x^2+x+C$。3.求$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。答案：對分子因式分解得$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$，$x\to1$時$x\neq1$可約去，所以極限為$\lim_{x\to1}(x+1)=2$。4.簡述函數連續的定義。答案：設函數$y=f(x)$在點$x_0$的某一鄰域內有定義，如果$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$，則稱函數$f(x)$在點$x_0$處連續。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$y=\frac{1}{x-2}$的單調性與間斷點。答案：對$y=\frac{1}{x-2}$求導得$y^\prime=-\frac{1}{(x-2)^2}<0$（$x\neq2$），所以在$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$單調遞減。$x=2$是無窮間斷點。2.討論定積分與不定積分的聯系與區別。答案：聯系：定積分計算常通過不定積分求出原函數再用牛頓-萊布尼茨公式計算。區別：不定積分是原函數族，結果帶常數$C$；定積分是一個數值，與積分區間有關，無常數項。3.舉例說明無窮小量在極限計算中的應用。答案：比如求$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$，當$x\to0$時，$\sinx$是無窮小量且與$x$是等價無窮小，所以極限值為1。利用等價無窮小替換可簡化極限計算。4.討論函數$y=x^4-2x^2+3$的極值情況。答案：求導得$y^\prime=4x^3-4x=4x(x^2-1)$，令$y^\prime=0$得$x=-1,0,1$。再求二階導$y^{\prime\prime}=12x^2-4$，將$x$值代入判斷得極大值點$x=0$，極大值為3；極小值點$x=\pm1$，極小值為2。答案單項選擇題1.B2.A3.A4.A5.