常微分試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.微分方程的階數是指（）A.方程中未知函數的最高階導數的階數B.方程中未知函數的最低階導數的階數C.方程中未知函數的導數的項數D.方程中未知函數的次數答案：A2.一階線性非齊次微分方程\(y'+P(x)y=Q(x)\)的通解是（）A.\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)B.\(y=e^{\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{-\intP(x)dx}dx+C)\)C.\(y=\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C\)D.\(y=\intQ(x)e^{-\intP(x)dx}dx+C\)答案：A3.微分方程\(y''-3y'+2y=0\)的特征方程是（）A.\(r^2-3r+2=0\)B.\(r^2+3r+2=0\)C.\(r^2-3r-2=0\)D.\(r^2+3r-2=0\)答案：A4.方程\(y'=y\)滿足\(y(0)=1\)的特解是（）A.\(y=e^x\)B.\(y=e^{-x}\)C.\(y=x\)D.\(y=-x\)答案：A5.下列方程中是可分離變量的微分方程的是（）A.\(y'=x+y\)B.\(y'=xy\)C.\(y'=\sin(x+y)\)D.\(y'=\frac{x+y}{x-y}\)答案：B6.二階常系數齊次線性微分方程\(y''+4y'+4y=0\)的通解是（）A.\(y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-2x}\)B.\(y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\)C.\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{2x}\)D.\(y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\)答案：B7.微分方程\(y'=\frac{y}{x}\)的通解是（）A.\(y=Cx\)B.\(y=\frac{C}{x}\)C.\(y=C\ln|x|\)D.\(y=Ce^x\)答案：A8.方程\(y''-y=0\)的一個特解形式可設為（）A.\(y^=Ax\)B.\(y^=A\)C.\(y^=Ax^2\)D.\(y^=e^x\)答案：B9.對于微分方程\(y'+2y=0\)，其通解為（）A.\(y=Ce^{2x}\)B.\(y=Ce^{-2x}\)C.\(y=Cxe^{-2x}\)D.\(y=Cxe^{2x}\)答案：B10.已知\(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\)是某二階常系數齊次線性微分方程的通解，則該方程為（）A.\(y''-y=0\)B.\(y''+y=0\)C.\(y''-2y'+y=0\)D.\(y''+2y'+y=0\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于常微分方程的是（）A.\(\frac{dy}{dx}+y=x\)B.\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}+\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=0\)C.\(y''+3y'+2y=\sinx\)D.\(y^{(4)}-y=0\)答案：ACD2.一階線性微分方程的形式有（）A.\(y'+P(x)y=Q(x)\)B.\(y'=f(x,y)\)C.\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)（恰當方程形式可化為一階線性）D.\(y'=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)\)（伯努利方程可化為一階線性）答案：AD3.二階常系數齊次線性微分方程\(y''+py'+qy=0\)（\(p,q\)為常數）的特征根可能情況有（）A.兩個不相等的實根B.兩個相等的實根C.一對共軛復根D.兩個虛根但不共軛答案：ABC4.下列哪些方法可用于求解常微分方程（）A.分離變量法B.常數變易法C.特征方程法D.冪級數解法答案：ABCD5.對于可分離變量的微分方程\(g(y)dy=f(x)dx\)，求解步驟包括（）A.兩端同時積分\(\intg(y)dy=\intf(x)dx\)B.求出左右兩邊的積分C.加上任意常數\(C\)D.整理得到通解答案：ABCD6.常微分方程的解的類型有（）A.通解B.特解C.隱式解D.奇解答案：ABCD7.下列方程中，哪些是線性微分方程（）A.\(y'+xy=e^x\)B.\(y''+y^2=0\)C.\(y'=\frac{y}{x}\)D.\(y''+2y'+3y=\cosx\)答案：ACD8.二階常系數非齊次線性微分方程\(y''+py'+qy=f(x)\)，當\(f(x)=e^{\lambdax}P_m(x)\)（\(P_m(x)\)是\(m\)次多項式）時，特解\(y^\)的設法與（）有關。A.\(\lambda\)是否為特征根B.特征根的重數C.\(m\)的大小D.\(p,q\)的值答案：ABC9.以下關于常微分方程解的唯一性說法正確的是（）A.在一定條件下，初值問題的解是唯一的B.線性微分方程滿足一定條件時解唯一C.只要給定初始條件，解就一定唯一D.有些方程即使給定初始條件，解也不唯一答案：ABD10.下列屬于常微分方程應用領域的有（）A.物理學B.化學C.生物學D.經濟學答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.微分方程\(y'=x^2+y^2\)是一階線性微分方程。（）答案：錯誤2.常微分方程的通解包含了該方程的所有解。（）答案：錯誤3.方程\(y'=\frac{1}{x-y}\)是可分離變量的微分方程。（）答案：錯誤4.二階常系數齊次線性微分方程\(y''+4y=0\)的特征根為\(r=\pm2i\)。（）答案：正確5.一階線性非齊次微分方程的通解等于對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。（）答案：正確6.微分方程\(y'=y\)的所有解是\(y=Ce^x\)（\(C\)為任意常數）。（）答案：正確7.方程\(y''-5y'+6y=0\)的通解是\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\)。（）答案：正確8.可分離變量的微分方程一定是一階微分方程。（）答案：正確9.對于二階常系數非齊次線性微分方程，當\(f(x)=\sinx\)時，特解形式一定是\(y^=A\sinx+B\cosx\)。（）答案：錯誤10.常微分方程的解一定是連續可導的函數。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述一階線性非齊次微分方程\(y'+P(x)y=Q(x)\)的求解步驟。答案：先求對應的齊次方程\(y'+P(x)y=0\)的通解，用分離變量法得\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)。再用常數變易法，設非齊次方程通解\(y=C(x)e^{-\intP(x)dx}\)，代入原方程求出\(C(x)\)，進而得到原方程通解\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)。2.二階常系數齊次線性微分方程\(y''+py'+qy=0\)的通解形式與特征根有什么關系？答案：若特征方程\(r^2+pr+q=0\)有兩個不相等實根\(r_1,r_2\)，通解為\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)；有兩個相等實根\(r\)，通解為\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)；有一對共軛復根\(\alpha\pmi\beta\)，通解為\(y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)\)。3.什么是可分離變量的微分方程？如何求解？答案：可分離變量的微分方程是能寫成\(g(y)dy=f(x)dx\)形式的方程。求解時對等式兩邊同時積分，即\(\intg(y)dy=\intf(x)dx\)，求出積分后加上任意常數\(C\)，整理得到通解。4.簡述常數變易法的基本思想。答案：對于一階線性非齊次微分方程，先求出對應的齊次方程的通解。然后將通解中的常數\(C\)換成函數\(C(x)\)，代入原非齊次方程，通過求解關于\(C(x)\)的方程，得到\(C(x)\)，進而得到原非齊次方程的通解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論常微分方程在實際問題中的應用，舉例說明。答案：在物理學中，如牛頓第二定律\(F=ma\)，可建立關于物體運動位移、速度、加速度的常微分方程。比如自由落體運動，設位移為\(s\)，加速度\(a=g\)（重力加速度），得到\(s''=g\)，通過求解方程可得到位移隨時間的變化關系，幫助分析物體運動情況。2.對于二階常系數非齊次線性微分方程，當\(f(x)\)形式不同時，特解的設法有何規律？答案：當\(f(x)=e^{\lambdax}P_m(x)\)，若\(\lambda\)不是特征根，特解設為\(Q_m(x)e^{\lambdax}\)；若\(\lambda\)是單特征根，設為\(xQ_m(x)e^{\lambdax}\)；若\(\lambda\)是重特征根，設為\(x^2Q_m(x)e^{\lambdax}\)。當\(f(x)=A\sin\omegax+B\cos\omegax\)，若\(\pmi\omega\)不是特征根，特解設為\(C\sin\omegax+D\cos\omegax\)；若是特征根，設為\(x(C\sin\omegax+D\cos\omegax)\)。3.可分離變量的微分方程與一階線性微分方程在求解方法上有哪些聯系與區別？答案：聯系：都是一階微分方程，都有特定求解思路。區別：可分離變量方程通過分離變量兩邊