教招數(shù)學(xué)極限試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在2.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則（）A.$f(a)=A$B.$f(x)$在$x=a$處有定義C.$A$唯一D.以上都不對(duì)3.$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=$（）A.0B.1C.eD.不存在4.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是$x$的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小5.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.不存在6.函數(shù)$y=f(x)$在$x=x_0$處極限存在是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在8.若$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)=A$，則（）A.$\lim_{x\toa}f(x)=A$B.$f(x)$在$x=a$連續(xù)C.$f(a)=A$D.以上都不對(duì)9.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$等價(jià)無(wú)窮小的是（）A.$2x$B.$\sinx$C.$x^2$D.$1-\cosx$10.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下極限值為1的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x}$2.下列說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量B.兩個(gè)無(wú)窮小量的和是無(wú)窮小量C.無(wú)窮大量與有界量的乘積是無(wú)窮大量D.兩個(gè)無(wú)窮大量的和是無(wú)窮大量3.極限$\lim_{x\to\infty}f(x)$存在的充分條件有（）A.$\lim_{x\to+\infty}f(x)$和$\lim_{x\to-\infty}f(x)$都存在且相等B.$\lim_{x\to+\infty}f(x)$存在C.$\lim_{x\to-\infty}f(x)$存在D.$f(x)$在$x\to\infty$時(shí)單調(diào)有界4.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列是無(wú)窮小量的有（）A.$x$B.$\sinx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$5.下列極限運(yùn)算正確的是（）A.$\lim_{x\to0}(x+\sinx)=0$B.$\lim_{x\to\infty}(\frac{1}{x}+\cosx)=0$C.$\lim_{x\to1}(x^2+1)=2$D.$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sinx}=0$6.函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則有（）A.夾逼準(zhǔn)則B.單調(diào)有界準(zhǔn)則C.洛必達(dá)法則D.等價(jià)無(wú)窮小替換7.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，則（）A.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=A+B$B.$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=A-B$C.$\lim_{x\toa}(f(x)\cdotg(x))=A\cdotB$D.當(dāng)$B\neq0$時(shí)，$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$8.關(guān)于無(wú)窮小量的性質(zhì)，正確的是（）A.有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量B.有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量C.無(wú)窮小量與常數(shù)的乘積是無(wú)窮小量D.無(wú)窮小量除以非零無(wú)窮小量的商是19.以下函數(shù)在指定點(diǎn)極限存在的有（）A.$y=\frac{x^2-1}{x-1}$，$x\to1$B.$y=\begin{cases}x+1,x\lt0\\x-1,x\gt0\end{cases}$，$x\to0$C.$y=\sin\frac{1}{x}$，$x\to0$D.$y=\frac{\sinx}{x}$，$x\to0$10.極限$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}$可以用等價(jià)無(wú)窮小替換求解的條件是（）A.$f(x)$和$g(x)$都是無(wú)窮小量B.替換后的極限存在C.只能對(duì)分子或分母進(jìn)行替換D.替換的無(wú)窮小量必須是等價(jià)的三、判斷題（每題2分，共20分）1.無(wú)窮小量就是很小很小的數(shù)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$不存在。（）3.函數(shù)$y=f(x)$在$x=x_0$處極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定有定義。（）4.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sinx=0$。（）5.兩個(gè)無(wú)窮大量的差一定是無(wú)窮大量。（）6.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$2x$是等價(jià)無(wú)窮小。（）7.極限$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)$。（）8.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$x\to0$時(shí)極限不存在。（）9.若$f(x)$在$x\to\infty$時(shí)單調(diào)遞增且有上界，則$\lim_{x\to\infty}f(x)$存在。（）10.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的乘積一定是無(wú)窮小量。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述極限的定義。答：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（無(wú)論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|\lt\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限。2.什么是無(wú)窮小量？它有哪些性質(zhì)？答：在某一過(guò)程中，以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量。性質(zhì)有：有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量；無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量。3.簡(jiǎn)述極限存在的夾逼準(zhǔn)則。答：如果函數(shù)$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$滿足：在$x_0$的某去心鄰域內(nèi)，有$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$，且$\lim_{x\tox_0}g(x)=\lim_{x\tox_0}h(x)=A$，那么$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。4.等價(jià)無(wú)窮小替換在求極限中有什么作用？答：等價(jià)無(wú)窮小替換可簡(jiǎn)化求極限的運(yùn)算。在求極限過(guò)程中，若分子分母為乘積形式，可將其中的無(wú)窮小量用與之等價(jià)的無(wú)窮小量替換，使計(jì)算更簡(jiǎn)便，前提是替換后極限存在。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論極限在數(shù)學(xué)分析中的地位和作用。答：極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)概念。它為導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念的定義提供支撐，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。通過(guò)極限可分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，判斷函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性等，在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題和理論推導(dǎo)中都不可或缺。2.如何判斷一個(gè)函數(shù)極限是否存在？結(jié)合具體方法討論。答：可利用極限定義判斷；也可用準(zhǔn)則，如夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則。還能通過(guò)分析左右極限，若左右極限都存在且相等則極限存在。像$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$，用夾逼準(zhǔn)則可證極限為1；分析分段函數(shù)在分段點(diǎn)極限時(shí)常用左右極限判斷。3.舉例說(shuō)明無(wú)窮小量與無(wú)窮大量在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答：在物理學(xué)中，研究物體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間間隔趨于0（無(wú)窮小量）時(shí)，可求瞬時(shí)速度。在天文學(xué)研究星系距離，隨著觀測(cè)范圍擴(kuò)大（趨于無(wú)窮大），探討宇宙規(guī)律。比如自由落體運(yùn)動(dòng)中，時(shí)間間隔趨于0求某時(shí)刻瞬時(shí)速度。4.結(jié)合極限概念，談?wù)剶?shù)學(xué)思維在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性。答：極限概念體現(xiàn)了從有限到無(wú)限、近似到精確的數(shù)學(xué)思維。在實(shí)際中，如計(jì)算不規(guī)則圖形面積，用極限思想將其分割成無(wú)限個(gè)小部分求近似和，取極限得精確值。這種思維能將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化、理想化，找到解決思路。答案一、單項(xiàng)選