2010年高考數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)2.函數\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,0]\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)6.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)且垂直于\(x\)軸，則直線\(l\)的方程為（）A.\(x=0\)B.\(y=0\)C.\(x=1\)D.\(y=1\)7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)8.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\leq1\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)9.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(1\)D.\(-1\)10.函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖象大致是（）（選項略）二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式3.一個正方體的棱長為\(a\)，則以下正確的有（）A.表面積為\(6a^2\)B.體積為\(a^3\)C.體對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.面對角線長為\(\sqrt{2}a\)4.已知\(\alpha\)為銳角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則（）A.\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)B.\(\tan\alpha=\frac{3}{4}\)C.\(\sin2\alpha=\frac{24}{25}\)D.\(\cos2\alpha=\frac{7}{25}\)5.以下屬于等比數列性質的有（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n\)為前\(n\)項和，\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比數列（公比\(q\neq-1\)）C.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)D.通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)7.已知函數\(y=f(x)\)的導數\(f^\prime(x)\)，以下說法正確的是（）A.\(f^\prime(x_0)=0\)時，\(x_0\)可能是極值點B.\(f^\prime(x)\gt0\)時，\(f(x)\)單調遞增C.\(f^\prime(x)\lt0\)時，\(f(x)\)單調遞減D.\(f^\prime(x)\)的圖象與\(f(x)\)的單調性有關8.下列命題正確的有（）A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線可能相交、平行或異面C.若一條直線與一個平面內無數條直線垂直，則這條直線與這個平面垂直D.若兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面平行9.對于復數\(z=a+bi(a,b\inR)\)，以下說法正確的是（）A.當\(a=0\)時，\(z\)為純虛數B.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)C.\(z\)的共軛復數\(\overline{z}=a-bi\)D.\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2\)10.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=x^3\)是偶函數。（）3.直線\(y=x\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）5.等差數列的前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）6.函數\(y=2^x\)的反函數是\(y=\log_2x\)。（）7.兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）8.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）9.向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。（）10.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函數\(a=1\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=2\)，頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線點斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\(k\)為斜率，\((x_1,y_1)\)為直線上一點），已知\(k=3\)，\((x_1,y_1)=(1,2)\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，即\(y=3x-1\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求其前\(5\)項和\(S_5\)。答案：先求公差\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，\(5=1+2d\)，得\(d=2\)。再由\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，\(S_5=5\times1+\frac{5\times4}{2}\times2=25\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，單調遞減；在\((-\infty,0)\)上同理可證也單調遞減。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數法，聯立直線與圓方程得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論等比數列與等差數列在通項公式和性質上的區別。答案：通項公式上，等差數列\(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數列\(a_n=a_1q^{n-1}\)。性質上，等差數列有\(a_m+a_n=a_p+a_q(m+n=p+q)\)等；等比數列有\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)等，運算類型不同。4.討論在立體幾何中如何證明線面垂直。答案：可利用定義，證明直線與平面內任意一條直線垂直；也可用判定定理，證明直線與平面內兩條相交直線垂直；還可利用面面垂直性質，若兩個平面垂直，一個平面內垂直于交線