42屆imo試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)的對稱軸是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)2.直角三角形兩直角邊分別為\(3\)和\(4\)，則斜邊為（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(8\)3.化簡\(\sqrt{16}\)的結(jié)果是（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(\pm4\)D.\(8\)4.一次函數(shù)\(y=2x+1\)經(jīng)過的象限是（）A.一、二、三B.一、二、四C.一、三、四D.二、三、四5.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt90^{\circ}\)，則\(\alpha\)為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)6.一元二次方程\(x^2-5x+6=0\)的根是（）A.\(x_1=2\)，\(x_2=3\)B.\(x_1=-2\)，\(x_2=-3\)C.\(x_1=1\)，\(x_2=6\)D.\(x_1=-1\)，\(x_2=-6\)7.一個多邊形內(nèi)角和是\(1080^{\circ}\)，則這個多邊形邊數(shù)是（）A.\(6\)B.\(7\)C.\(8\)D.\(9\)8.已知點\(A(2,-3)\)關(guān)于\(x\)軸對稱點的坐標是（）A.\((2,3)\)B.\((-2,-3)\)C.\((-2,3)\)D.\((3,-2)\)9.圓的半徑為\(5\)，圓心到直線距離為\(4\)，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交D.無法確定10.數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)的中位數(shù)是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是無理數(shù)（）A.\(\pi\)B.\(\sqrt{4}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(0.101001\cdots\)2.下列運算正確的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\(a^6\diva^2=a^4\)D.\(a^2+a^3=a^5\)3.以下屬于二次函數(shù)的是（）A.\(y=3x^2\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=\frac{1}{x^2}\)D.\(y=-x^2+2x-1\)4.平行四邊形的性質(zhì)有（）A.對邊平行且相等B.對角相等C.對角線互相平分D.四條邊都相等5.下列方程是一元一次方程的有（）A.\(2x-3=5\)B.\(x^2-2x=0\)C.\(3x+2y=1\)D.\(\frac{x}{2}+1=3\)6.以下是勾股數(shù)的有（）A.\(3\)，\(4\)，\(5\)B.\(5\)，\(12\)，\(13\)C.\(7\)，\(24\)，\(25\)D.\(8\)，\(15\)，\(17\)7.以下屬于中心對稱圖形的是（）A.平行四邊形B.圓C.等腰三角形D.矩形8.關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，當（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根。A.\(\Delta=b^2-4ac=0\)B.\(\Delta=b^2-4ac\gt0\)C.\(b^2=4ac\)D.\(\Delta=b^2-4ac\lt0\)9.以下哪些是相似三角形的判定定理（）A.兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似B.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似C.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似D.斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似10.圓柱的側(cè)面展開圖可能是（）A.矩形B.正方形C.平行四邊形D.三角形三、判斷題（每題2分，共10題）1.\(0\)的平方根是\(0\)。（）2.同位角相等。（）3.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的圖象是雙曲線。（）4.所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（）5.三角形的外角和是\(360^{\circ}\)。（）6.二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)，當\(a\gt0\)時，圖象開口向下。（）7.直徑是圓中最長的弦。（）8.若\(a\gtb\)，則\(ac\gtbc\)。（）9.全等三角形的面積相等。（）10.正多邊形都是軸對稱圖形。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.分解因式：\(x^2-4\)。答案：利用平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，\(x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)\)。2.求不等式\(2x-3\lt5\)的解集。答案：移項可得\(2x\lt5+3\)，即\(2x\lt8\)，兩邊同時除以\(2\)，得\(x\lt4\)，解集為\(x\lt4\)。3.已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為\(6\)和\(8\)，求其斜邊上的高。答案：先由勾股定理得斜邊為\(\sqrt{6^2+8^2}=10\)。設(shè)斜邊上的高為\(h\)，根據(jù)面積相等可得\(\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×h\)，解得\(h=4.8\)。4.已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)，求其頂點坐標。答案：將函數(shù)配方為\(y=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4\)，所以頂點坐標為\((1,-4)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論一次函數(shù)\(y=kx+b(k\neq0)\)中，\(k\)、\(b\)的取值對函數(shù)圖象的影響。答案：\(k\gt0\)時，圖象從左到右上升；\(k\lt0\)時，圖象從左到右下降。\(b\gt0\)時，圖象與\(y\)軸交于正半軸；\(b=0\)時，圖象過原點；\(b\lt0\)時，圖象與\(y\)軸交于負半軸。2.討論如何判斷一個四邊形是菱形。答案：可以從定義判斷，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；也可從對角線判斷，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；還能從邊判斷，四條邊都相等的四邊形是菱形。3.討論在平面直角坐標系中，點的平移規(guī)律。答案：點\((x,y)\)向右平移\(a\)個單位得\((x+a,y)\)，向左平移\(a\)個單位得\((x-a,y)\)；向上平移\(b\)個單位得\((x,y+b)\)，向下平移\(b\)個單位得\((x,y-b)\)。4.討論在統(tǒng)計中，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的意義與作用。答案：平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)是將數(shù)據(jù)排序后位于中間位置的數(shù)，能避免極端值影響；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，可體現(xiàn)數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們從不同角度描述數(shù)據(jù)特征。答案一、單項選擇題1.A2.A3.A4.A5.A6.