北京航空航天大學2025年考研數學（二）高數應用題實戰強化卷一、一元函數微分學要求：掌握一元函數的導數概念、求導法則、高階導數、隱函數求導、參數方程求導等基本知識，并能運用這些知識解決實際問題。1.已知函數\(f(x)=e^{x^2}\sinx\)，求\(f'(0)\)。2.設\(y=\ln(1+x^2)\)，求\(y'\)。3.設\(y=\arctan\frac{1}{x}\)，求\(y''\)。4.設\(y=\sqrt{a^2-x^2}\)，其中\(a>0\)，求\(y'\)。5.設\(y=\ln\frac{x}{x-1}\)，求\(y'\)。6.設\(y=\frac{1}{x^2+1}\)，求\(y''\)。二、一元函數積分學要求：掌握不定積分、定積分、反常積分的基本概念和性質，并能運用這些知識解決實際問題。1.求不定積分\(\int(2x^3-3x^2+4x-5)\,dx\)。2.求定積分\(\int_0^1(x^2+2x+1)\,dx\)。3.求反常積分\(\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\)。4.求反常積分\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)。5.求不定積分\(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\)。6.求定積分\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx\)。三、多元函數微分學要求：掌握多元函數的偏導數、全微分、極值、條件極值等基本知識，并能運用這些知識解決實際問題。1.設\(f(x,y)=x^2+y^2\)，求\(f_x'(0,0)\)和\(f_y'(0,0)\)。2.設\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，求\(f_{xy}''(0,0)\)。3.設\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求\(f_x'(1,0)\)和\(f_y'(1,0)\)。4.設\(f(x,y)=x^2y^2\)，求\(f_{xx}''(0,0)\)和\(f_{yy}''(0,0)\)。5.設\(f(x,y)=\frac{x^2}{y}\)，求\(f_x'(1,2)\)和\(f_y'(1,2)\)。6.設\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)，求\(f_{xx}''(0,0)\)和\(f_{yy}''(0,0)\)。四、無窮級數要求：掌握無窮級數的基本概念，包括數項級數、冪級數、級數收斂與發散的判定方法，并能運用這些知識解決實際問題。1.判定級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的斂散性。2.計算級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n-1}\right)\)的和。3.求冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}nx^n\)的收斂半徑和收斂區間。4.討論冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}x^n\)的收斂半徑和收斂區間。5.設\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)是一個收斂的級數，且\(a_n\)單調遞減，證明\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{1}{2}a_{n+1})\)也收斂。6.討論級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}\)的斂散性。五、線性代數要求：掌握線性方程組、行列式、矩陣、特征值和特征向量等基本知識，并能運用這些知識解決實際問題。1.求線性方程組\(\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}\)的解。2.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值。3.求矩陣\(\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。4.設\(A\)是一個\(3\times3\)的實對稱矩陣，且\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，求\(A\)的特征多項式。5.證明：如果一個實對稱矩陣\(A\)有三個線性無關的特征向量，那么\(A\)是可對角化的。6.討論矩陣\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)是否可逆，并給出證明。六、概率論與數理統計要求：掌握概率論的基本概念、隨機變量及其分布、數學期望、方差等基本知識，并能運用這些知識解決實際問題。1.設隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda\)的泊松分布，求\(P(X=2)\)。2.設隨機變量\(X\)服從均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)的正態分布，求\(P(X>3\sigma)\)。3.設\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)是獨立同分布的隨機變量，其期望為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)，求\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的方差。4.設\(X\)是一個離散型隨機變量，其概率質量函數為\(P(X=k)=\frac{1}{k^2}\)，求\(X\)的期望和方差。5.設\(X\)和\(Y\)是兩個獨立的隨機變量，且\(X\)服從均值為1，方差為2的正態分布，\(Y\)服從均值為2，方差為3的正態分布，求\(Z=X+Y\)的分布函數。6.設\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)是獨立同分布的隨機變量，其分布函數為\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{n},&0\leqx<1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，求\(S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的分布函數。本次試卷答案如下：一、一元函數微分學1.解析：由\(f(x)=e^{x^2}\sinx\)，根據乘積法則和鏈式法則，有\[f'(x)=e^{x^2}\sinx\cdot2x+e^{x^2}\cosx\]將\(x=0\)代入，得\(f'(0)=e^{0^2}\sin0\cdot2\cdot0+e^{0^2}\cos0=0+1=1\)。2.解析：由\(y=\ln(1+x^2)\)，根據鏈式法則，有\[y'=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}\)。3.解析：由\(y=\arctan\frac{1}{x}\)，根據鏈式法則，有\[y'=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{1}{x^2+1}\)。4.解析：由\(y=\sqrt{a^2-x^2}\)，根據鏈式法則，有\[y'=\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)。5.解析：由\(y=\ln\frac{x}{x-1}\)，根據商法則和鏈式法則，有\[y'=\frac{(x-1)-x}{(x-1)x}=-\frac{1}{x(x-1)}\)。6.解析：由\(y=\frac{1}{x^2+1}\)，根據鏈式法則，有\[y'=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}\)。二、一元函數積分學1.解析：\(\int(2x^3-3x^2+4x-5)\,dx=\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+2x^2-5x+C\)。2.解析：\(\int_0^1(x^2+2x+1)\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3+x^2+x\right]_0^1=\frac{1}{3}+1+1-(0+0+0)=\frac{7}{3}\)。3.解析：\(\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty}=0-(-1)=1\)。4.解析：\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\left[2\sqrt{x}\right]_0^1=2\sqrt{1}-2\sqrt{0}=2\)。5.解析：\(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)。6.解析：\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx=\left[-\cosx\right]_0^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos0)=1-(-1)=2\)。三、多元函數微分學1.解析：由\(f(x,y)=x^2+y^2\)，有\(f_x'(x,y)=2x\)，\(f_y'(x,y)=2y\)，所以\(f_x'(0,0)=0\)，\(f_y'(0,0)=0\)。2.解析：由\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，有\(f_{xy}''(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，所以\(f_{xy}''(0,0)=e^{0^2+0^2}=1\)。3.解析：由\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，有\(f_x'(x,y)=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，\(f_y'(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\)，所以\(f_x'(1,0)=2\)，\(f_y'(1,0)=0\)。4.解析：由\(f(x,y)=x^2y^2\)，有\(f_{xx}''(x,y)=2\)，\(f_{yy}''(x,y)=2\)，所以\(f_{xx}''(0,0)=2\)，\(f_{yy}''(0,0)=2\)。5.解析：由\(f(x,y)=\frac{x^2}{y}\)，有\(f_x'(x,y)=\frac{2xy}{y^2}\)，\(f_y'(x,y)=\frac{-x^2}{y^2}\)，所以\(f_x'(1,2)=\frac{4}{4}=1\)，\(f_y'(1,2)=\frac{-1}{4}\)。6.解析：由\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)，有\(f_{xx}''(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，\(f_{yy}''(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，所以\(f_{xx}''(0,0)=0\)，\(f_{yy}''(0,0)=0\)。四、無窮級數1.解析：由\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是著名的巴塞爾問題的解，已知收斂。2.解析：級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n-1}\right)\)是一個望遠鏡級數，相鄰項相消，只剩下首項和末項，所以和為\(\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty}=1\)。3.解析：冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}nx^n\)的收斂半徑\(R\)由\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=1\)得到，所以\(R=1\)，收斂區間為\((-1,1)\)。4.解析：冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}x^n\)的收斂半徑\(R\)由\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)，所以\(R=\frac{1}{\sqrt{3}}\)，收斂區間為\(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)。5.解析：由于\(a_n\)單調遞減，有\(a_n-\frac{1}{2}a_{n+1}\leqa_n\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，所以\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{1}{2}a_{n+1})\)也收斂。6.解析：級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}\)是發散的，因為當\(n\to\infty\)時，\(\frac{1}{n\lnn}\)不趨于0。五、線性代數1.解析：線性方程組的解為\(x=1\)，\(y=1\)。2.解析：行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值可以通過拉普拉斯展開或者行列式性質計算得到，結果為0。3.解析：矩陣\(\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\)的特征值為\(\lambda_1=3\)，\(\lambda_2=1\)，對應的特征向量分別為\(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。4.解析：由于\(A\)是實對稱矩陣，它總是可對角化的。5.解析：由于\(A\)有三個線性無關的特征向量，根據譜定理，\(A\)可對角化。6.解析：矩陣\(