北京市西城區(qū)2014-2015學(xué)年高一上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)）一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在x=0處取得極小值B.函數(shù)在x=0處取得極大值C.函數(shù)在x=0處取得拐點(diǎn)D.函數(shù)在x=0處既不取得極值也不取得拐點(diǎn)2.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在x=0處取得極小值B.函數(shù)在x=0處取得極大值C.函數(shù)在x=0處取得拐點(diǎn)D.函數(shù)在x=0處既不取得極值也不取得拐點(diǎn)3.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在x=0處取得極小值B.函數(shù)在x=0處取得極大值C.函數(shù)在x=0處取得拐點(diǎn)D.函數(shù)在x=0處既不取得極值也不取得拐點(diǎn)二、填空題4.若函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1在x=1處取得極小值，則a的值為______。5.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，則f'(0)的值為______。6.若函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處取得拐點(diǎn)，則f''(0)的值為______。三、解答題7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）函數(shù)的拐點(diǎn)；（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。8.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，求：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）函數(shù)的拐點(diǎn)；（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。四、解答題要求：根據(jù)題目要求，分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和拐點(diǎn)。9.已知函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)；（4）函數(shù)的拐點(diǎn)；（5）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。五、解答題要求：利用三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變換，化簡(jiǎn)并求出函數(shù)的值。10.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)，求：（1）函數(shù)的周期T；（2）函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值；（3）函數(shù)在x=π/4時(shí)的值。六、解答題要求：利用數(shù)列的性質(zhì)和公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和。11.已知數(shù)列{a_n}滿足條件：a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n-1，求：（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處，f'(x)=3x^2-3，f'(0)=0，f''(x)=6x，f''(0)=0，因此x=0不是極值點(diǎn)也不是拐點(diǎn)。2.A解析：函數(shù)f(x)=e^x-x在x=0處，f'(x)=e^x-1，f'(0)=0，f''(x)=e^x，f''(0)=1，因此x=0處取得極小值。3.C解析：函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處，f'(x)=1/(x+1)，f'(0)=1，f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(0)=-1，因此x=0處取得拐點(diǎn)。二、填空題4.2解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1在x=1處取得極小值，則f'(1)=0，f'(x)=3x^2-6x+4，解得x=1時(shí)，f'(1)=3-6+4=1，因此a=2。5.1解析：函數(shù)f(x)=e^x-x在x=0處，f'(x)=e^x-1，f'(0)=e^0-1=1-1=0。6.-1解析：函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處，f''(x)=-1/(x+1)^2，f''(0)=-1/(0+1)^2=-1。三、解答題7.解答：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3，x=1是極小值點(diǎn)，x=2/3是極大值點(diǎn)。（2）函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-6，令f''(x)=0，解得x=1，x=1處是拐點(diǎn)。（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)x<2/3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)2/3<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。8.解答：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，解得x=0，x=0是極小值點(diǎn)。（2）函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=e^x，f''(x)>0，因此x=0處是拐點(diǎn)。（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。四、解答題9.解答：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4；（2）函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=12x^2-24x+12；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)：令f'(x)=0，解得x=1或x=1/2，x=1是極大值點(diǎn)，x=1/2是極小值點(diǎn)；（4）函數(shù)的拐點(diǎn)：令f''(x)=0，解得x=1/2或x=1，x=1/2是拐點(diǎn)；（5）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：當(dāng)x<1/2時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1/2<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。五、解答題10.解答：（1）函數(shù)的周期T=2π；（2）函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的最大值為2，最小值為-1；（3）函數(shù)在x=π/4時(shí)的值為√2/2+√2/2=√2。六、解答題11.解答：（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=1+