28.2.2第2課時利用仰俯角解直角三角形1．[2016·長沙]如圖1－3－23，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為(A)圖1－3－23A．160eq\r(3)m B．120eq\r(3)mC．300m D．160eq\r(2)m2．[2017·南寧]如圖1－3－24，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向距離燈塔60海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為(B)A．60eq\r(3)海里 B．60eq\r(2)海里C．30eq\r(3)海里 D．30eq\r(2)海里圖1－3－24第2題答圖【解析】如答圖，作PE⊥AB于E.在Rt△PAE中，∵∠A＝45°，PA＝60海里，∴PE＝AE＝eq\f(\r(2),2)×60＝30eq\r(2)(海里)，在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，∴PB＝2PE＝60eq\r(2)(海里)．圖1－3－25圖1－3－253．[2017·邵陽]如圖1－3－25所示，運載火箭從地面L處垂直向上發射，當火箭到達A點時，從位于地面R處的雷達測得AR的距離是40km，仰角是30°.ns后，火箭到達B點，此時仰角是45°，則火箭在這ns中上升的高度為__20eq\r(3)－20__km.【解析】先在Rt△ALR中，根據AR＝40km，∠ARL＝30°，求出AL＝20和LR＝20eq\r(3)，再在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝20eq\r(3)，∴火箭在這ns中上升的高度AB＝BL－AL＝20eq\r(3)－20(km)．4.如圖1－3－26，這是臺州市地圖的一部分，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立直角坐標系，規定一個單位長度表示1km.甲、乙兩人對著地圖如下描述路橋區A處的位置．則椒江區B處的坐標是__(10，8eq\r(3))__．圖1－3－265．如圖1－3－27，在數學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿AB的高度，站在教學樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45°，測得旗桿頂端A的仰角為30°，若旗桿與教學樓的距離為9m，則旗桿AB的高度是__9＋3eq\r(3)__m(結果保留根號)．圖1－3－276．[2017·衡陽]衡陽市城市標志來雁塔坐落在衡陽市雁峰公園內．如圖1－3－28，為了測量來雁塔的高度，在E處用高為1.5m的測角儀AE，測得塔頂C的仰角為30°，再向塔身前進10.4m，又測得塔頂C的仰角為60°，求來雁塔的高度．(結果精確到0.1m)圖1－3－28【解析】來雁塔的高度等于CD＋AE，要求CD可解Rt△CBD，∵BC＝AB＝10.4m，∠CBD＝60°，利用正弦即得CD＝BCsin∠CBD，則塔高可求．解：∵∠CBD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝10.4m.在Rt△CBD中，BC＝10.4m，∠CBD＝60°，∴CD＝BCsin∠CBD＝10.4×eq\f(\r(3),2)≈9.0，∴塔高為9.0＋1.5＝10.5m.答：來雁塔的高度約為10.5m.7．[2017·成都]科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖1－3－29，小明一家自駕到古鎮C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西60°方向行駛4km至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達古鎮C，小明發現古鎮C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．圖1－3－29【解析】由小明發現古鎮C恰好在A地的正北方向，確定AC∥BD，已知∠CBD＝45°，可得∠C＝45°.作BE⊥AC，已知AB＝4，先在Rt△AEB中求得BE的長，然后再在Rt△CEB中求得BC的長．第7題答圖解：如答圖，由題意知AB＝4，∠CAB＝60°，∠CBD＝45°，AC∥BD，作BE⊥AC，則∠CEB＝90°，∠EBA＝90°－∠CAB＝30°，∠CBE＝90°－∠CBD＝45°，∴△CEB是等腰直角三角形．∴BE＝AB·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴BC＝eq\r(2)BE＝eq\r(2)×2eq\r(3)＝2eq\r(6)(km)，即B，C兩地的距離為2eq\r(6)km.8．[2017·濰坊]如圖1－3－30，某數學興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度．該樓底層為車庫，高2.5m，上面五層居住，每層高度相等．測角儀支架離地1.5m，在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°，在B處測得四樓頂部點E的仰角為30°，AB＝14m．求居民樓高度(精確到0.1m，參考數據：eq\r(3)≈1.73)．圖1－3－30【解析】設每層樓高為xm，則可表示出EC′與DC′的大小，然后通過解C′A′與C′B′，用含x的式子表示出C′B′與C′A′的長，其差即為AB的長14m，由此構建方程求解．解：設每層高為xm，由題意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，則DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝eq\f(DC′,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)(5x＋1)．在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝eq\f(EC′,tan30°)＝eq\r(3)(4x＋1)．∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴eq\r(3)(4x＋1)－eq\f(\r(3),3)(5x＋1)＝14，解得x≈3.17(或x≈3.18)．∴居民樓高為5×3.17＋2.5≈18.4m(或5×3.18＋2.5＝18.4m)．9．[2016·樂山]如圖1－3－31，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海域巡邏，上午某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75°方向以每小時10海里的速度航行，稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發到成功攔截捕魚船所用的時間．圖1－3－31解：設巡邏船從出發到成功攔截所用時間為xh.如答圖，過點A作AD⊥CB的延長線于點D，第9題答圖由題意，得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．∵在Rt△ABD中，AB＝12海里，∠ABD＝60°，∴BD＝6海里，AD＝6eq\r(3)海里．∴CD＝(10x＋6)海里．在Rt△ACD中，由勾股定理，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14x))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x＋6))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(3)))eq\s\up12(2)，解得x1＝2，x2＝－eq\f(3,4)(不合題意，舍去)．答：巡邏船從出發到成功攔截所用時間為2h.10．[2017·荊門]金橋學校“科技體藝節”期間，八年級數學活動小組的任務是測量學校旗桿AB的高．如圖1－3－32，他們在旗桿正前方臺階上的點C處，測得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺階下的點F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°.已知升旗臺的高度BE為1m，點C距地面的高度CD為3m，臺階的坡角為30°，且點E，F，D在同一直線上，求旗桿AB的高．(計算結果精確到0.1m，參考數據：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖1－3－32第10題答圖解：如答圖，過點C作CM⊥AB于點M，則四邊形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．設AM＝x，則ED＝MC＝AM＝x，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝x＋3.在Rt△AEF中，EF＝eq\f(AE,tan∠AFE)＝eq\f(x＋3,\r(3)).在Rt△CFD中，FD＝CD·tan∠FCD＝3eq\r(3).∵ED＝MC，∴eq\f(x＋3,\r(3))＋3eq\r(3)＝x，解得x＝6eq\r(3)＋6.∴AB＝AM＋ME－BE＝6eq\r(3)＋6＋3－1＝6eq\r(3)＋8≈18.4.答：旗桿AB的高約為18.4m.11．如圖1－3－33，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為30km/h，受影響區域的半徑為200km，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P320km處．本次臺風是否會影響B市？若影響，求出這次臺風影響B市的時間；若不影響，請說明理由．圖1－3－33第11題答圖解：如答圖，作BH⊥PQ于點H.∵在Rt△BHP中，PB＝320km，∠BPQ＝30°，