九年級（上）12月月考數學試卷（五四學制）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.如果兩個相似三角形的周長分別是1和4,那么這兩個三角形的面積之比是（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：16

2.把拋物線y=-3（x+2）2平移后得到拋物線y=-3x2,平移的方法可以是（）

A.沿x軸向右平移2個單位B.沿x軸向左平移2個單位

C.沿y軸向上平移2個單位D.沿y軸向下平移2個單位

3.如果口是銳角,sina=那么cosa的值是（）

A1RV2rV3nV3

2223

4.△ABC中，D、E分別是AB和AC邊上的中點，設律二則而可表示為（）

T-1-1-

A.2aB.-2aC.-aD.--Q

A.所有正方形都相似

B.有一個角為30。的等腰三角形都相似

C.所有等邊三角形都相似

D.有一個角為30。的直隹三角形都相似

6.已知二次函數y=ax?+bx+c的圖象如圖所示，則下列判斷中不正確的是（)

A.a<0B.b<0C.c>0D.b2-4ac>0

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.己知線段a=9cm、b=4cm,那么線段a、b的比例中項c=cm.

8.拋物線y=x2-2x+3的圖象與y軸的交點坐標為.

9.線段AB=4cm,點P為線段AB的黃金分割點，且AP>BP,則AP的長為

10.小王在樓下點A處看到樓上點B處的小明的仰角是35。，那么點B處得小明看點A處

的小王的俯角等于度.

ii.如果非零向量力與石滿足等式之二-3E，那么向量W與E的方向

12.如果斜坡的坡比i=l：3,坡角為a,那么cota=.

13.一個矩形的周長為20,設其一邊的長為x,面積為S,則S關于x的函數解析式是

.(請注明定義域)

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點，則言的值是_________

Er

15.底角為15。，腰長為6的等腰二角形的面積足.

16.在△ABC中，AD是邊BC上的中線，G是重心，如果AG=32,那么線段DG的長是

17.已知拋物線y=x2-2x+c經過點A(1,yi)和B(2,y2),比較yi與y2的大小：

yiy2(選擇"〉"或"v〃或"=〃填入空格).

18.在平面直角坐標系中，△ABC的頂點分別是A(-1,0),B(3,0),C(0,2),已

知動直線y=m(0<m<2)與線段AC、BC分別交于D、E兩點，而在x軸上存在點P,

使得△DEP為等腰直角三角形，那么m的值等于.

三、(本大題共7題，滿?分78分，其中第19?22題各10分，第23、24題各12分，第25

題14分)

19.求值：cos30°*tan6004-cot450*sin45°.

20.用配方法求拋物線y=2x2-4x的頂點坐標和對稱軸.

21.如圖，水壩的橫斷面是梯形，迎水坡BC的坡角NB=30。，背水坡AD的坡度為

1：亞，壩頂DC寬25米，壩高CE是45米，求：壩底AB的長、迎風坡BC的長以及

BC的坡度.(答案可以帶上根號)

22.如圖，已知兩個不平行的向量W、b-先化簡，再求作：2（a-^b）-￡（2^+4%）.

（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）

23.如圖，已知點F在AB上，且AF：BF=1：2,點D是BC延長線上一點，BC：

CD=2：1,連接FD與AC交于點N,求FN：ND的值.

24.已知一個二次函數的圖象經過A（0,3）、B（4,3）、C（1,0）三點（如圖）.

（I）求這個二次函數的解析式：

（2）求tanNBAC的值;

（3）若點D在x軸上，點E在（I）中所求出的二次函數的圖象上，且以點A、C、D、E

為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D、E的坐標.

4

25.（14分）已知在△ABC中，ZA=45°,AB=7,tanB=^動點P、D分別在射線AB、

AC上，且/DPA=/ACB,設AP=x,△PCD的面積為y.

（1）求^ABC的面積；

（2）如圖，當動點P、D分別在邊AB、AC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出?函

數的定義域；

（3）如果△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求線段AP的長.

?學年上海市上南地區六校九年級（上）12月月考數學

試卷（五四學制）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.如果兩個相似三角形的周長分別是1和4,那么這兩個三角形的面積之比是（）

A.1：2B.I：3C.1：4D.I：16

【考點】相似三角形的性質.

【分析】由兩個相似三角形的周長分別是1和4,即可求得這兩個三角形的周長比，根據

相似三角形周長的比等于相似比，即可求得這兩個三角形的相似比，又由相似三角形面積

的比等于相似比的平方，卻可求得答案.

【解答】解：兩個相似三角形的周長分別是I和4,

???這兩個三角形的周長比為：1：4,

.??這兩個三角形的相似比為：1：4,

這兩個三角形的面積比為：1：16.

故選D.

【點評】此題考查了相似三角形的性質.解題的關鍵是掌握相似三角形周長的比等于相似

比與相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用.

2.把拋物線y=-3（x+2）2平移后得到拋物線y=-3x2,平移的方法可以是（）

A.沿x軸向右平移2個?■單位B.沿x軸向左平移2個單位

C.沿y軸向上平移2個單位D.沿y軸向下平移2個單位

【考點】二次函數圖象與幾何變換.

【專題】計算題.

【分析】原拋物線頂點坐標為（-2,0）,平移后拋物線頂點坐標為（0,0）,由此確定平

移規律.

【解答】解：:拋物線y=-3（x+2）2的頂點坐標為（-2,0）,拋物線y=-3x2的頂點坐

標為（0,0）,

「?平移的方法可以是：x軸向右平移2個單位.

故選A.

【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換.關鍵是將拋物線的平移問題轉化為頂點的

平移，尋找平移方法.

3.如果a是銳角，sin。=那么cosa的值是（-）

A.JB.eC.近D.立

【考點】特殊角的三角函數值.

【專題】探究型.

【分析】先根據已知條件得出a的度數，再根據特殊角的三角函數值得出cosa的值即可.

【解答】解：是銳角，sina=（,

a=60°,

cosa=cos60°=-.

故選A.

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的

關鍵.

4.△ABC中，D、E分別是AB和AC邊上的中點，設另不』則而可表示為（）

--1-J

A.2dB.-2aC.-QD.--Q

【考點】*平面向量.

【分析】首先根據題意畫出圖形，然后由D、E分別是AB和AC邊上的中點，可得DE是

△ABC的中位線，由三角形中位線的性質，即可求得答案.

【解答】解：如圖，?「△ABC中，D、E分別是AB和AC邊上的中點，

/.DEIIBC,DE=-^BC,

標二，

一］一

故選D.

【點評】此胭考置了平面向量的知識以及三角形中位線的性質.注意掌握平行向量的意

義.

A.所有正方形都相似

B.有一個角為30。的等腰三角形都相似

C.所有等邊三角形都相似

D.有一個角為30。的直角三角形都相似

【分析】根據正方形的性質和相似的定義可對A進行判斷；利用3（）度可為頂角，也可為

底角可對B進行判斷：根據等邊三角形的性質和相似的判定方法對C進行判斷；根據直角

三角形相似的判定方法對D進行判斷.

故選B.

6.己知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列判斷中不正確的是（)

A.a<0B.b<0C.c>（）D.b2-4ac>0

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數圖象與系數的關系.

【分析】根據拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與y軸的交點、與x軸的交點逐項判斷

即可.

【解答】解：由圖象可知，開口向下，aVO,故A正確；

對稱軸在y軸的右側，根據左同右異，可知b>0,故B錯誤；

拋物線與y軸交于正半軸，可知c>0,故C正確；

拋物線與x軸有兩個交點，可知b2?4ac>0,故D正確；

故選：B.

【點評】本題主要考查拋物線圖象與系數的關系.能夠根據圖象正確確定出各系數的取值

范圍是解決此題的關鍵，此外，此題注意數形結合思想的運用.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.已知線段a=9cm、b=4cm,那么線段a、b的比例中項c=6cm.

【考點】比例線段.

【分析】根據比例中項的定義，列出比例式即可得出中項，注意線段不能為負.

【解答】解：根據比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線

段的乘積.

所以C2=4X9,x=±6,（線段是正數，負值舍去），

故答案為：6.

【點評】此題考查了比例線段；理解比例中項的概念，這里注意線段不能是負數.

8.拋物線y=x2-2x+3的圖象與y軸的交點坐標為（0,3）.

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】令x=0求出y的值，然后寫出即可.

【解答】解：令x=0,則y=3,

所以，拋物線與y軸的交點坐標為（0,3）.

故答案為：（0,3）.

【點評】本題考杳了二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握拋物線與坐標軸的交點的求

解方法是解題的關鍵.

9.線段AB=4cm,點P為線段AB的黃金分割點，且AP>BP,則AP的長為（2遙-2）

cm.

【考點】黃金分割.

【分析】根據黃金分割點的定義和AP>RP得出^R.代入數據即可得出AP的

長度.

【解答】解：由于P為線段AB=4的黃金分割點，

且AP>BP,

貝ljAP=^^—x4=（2^/5-2）cm.

故答案為：（2證?2）cm.

【點評】本題考查了黃金分割.應該識記黃金分割的公式：較短的線段二原線段的

與作，較長的線段;原線段的近二1

22

10.小王在樓下點A處看到樓上點B處的小明的仰角是35。，那么點B處得小明看點A處

的小王的俯角等于空度.

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】兩點之間的仰角與俯角正好是兩條水平線夾角的內錯角，應相等.

【解答】解：從點A看點R的仰角與從點R看點A的俯角互為內錯角，大小相等.

點B處的小明看點A處的小李的俯角是35度.

故答案為：35。.

【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應用，主要考查仰角、俯角的概念，以及仰

角與俯角的關系.

11.如果非零向量W與E滿足等式W二-3E那么向量W與％的方向

相反.

【考點】*平面向量.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】由于Z=-3總E與-3%方向相反，則W與E的方向相反.

【解答】解：:E與-E方向相反，?.?E與-3芯方向相反，

.?.之二-3三，二^與石的方向相反.

故答案為：相反.

卜點評】本題考查了平面向量的方向性，是基礎題型，比較簡單.

12.如果斜坡的坡比i=l：3,坡角為a,那么cola=3.

【考點】解直角三角形的應用■坡度坡角問題.

【分析】坡比二坡角的正切值，進而可求出a的余切值.

【解答】解：由題意，得：lana=i=W，

cota=—tana=3.

【點評】此題主要考查坡比、坡角的關系，坡角的正切等于坡比.

13.一個矩形的周長為20,設其一邊的長為x,面積為S,則S關于x的函數解析式是

S=x(10-x)(OVxVlO)(請注明定義域)

【考點】根據實際問題列二次函數關系式.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】易得矩形的另一邊長，則面積二兩邊長的乘積，根據邊長為正數可得自變量的取

值.

【解答】解：.?.矩形的周長為20,其一邊的長為x,

另一邊長為10-x,

S=x(10-x)(0<x<10).

故答案為S=x(10-x)(0<x<10).

【點評】考查列二次函數關系式：得到矩形的另一邊長是解決本題的突破點.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點，則B高F的值是2.

【考點】相似三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.

【分析】由題意得出DE=CE=±D,

由平行四邊形的性質得出ABIICD,AB=CD,

△ABFs^CEF,得出對應邊成比例，即可得出結果.

【解答】解：:E是DC的中點，

DE=CE喙D，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ABIICD,AB=CD,

△ABF-△CEF,

?BF_Ag_CD_?

-EF-CFCF

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質；熟練掌握平行四

邊形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵.

15.底角為150，腰長為6的等腰三角形的面積是立

【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質.

【分析】根據題意畫出相應的圖形，過C作CD垂直于BD,交BA的延長線與點D,由

AB=AC,利用等邊對等憑可得NB=NACB,再由NDAC為三角形ABC的外角，根據三角

形的外角性質得到NCAD=/B+NACB,求出NCAD=3。。，在直角三角形ACD中，根據

30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊AC的長求出CD的長，即為BA邊上的高，

最后利用三角形的面枳公式即可求出三角形ABC的面積.

【解答】解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

R------------------------------C

由題意可知：AB=AC=6,

ZB=ZACB=15\

過C作CD_LBD,交BA的延長線與點D,

??NCAD為△ABC的外角,

ZCAD=ZB+ZACB=150+15°=3O\

在直角三角形ACD中，AC=6cm,ZCAD=30°,

/.CD=,AC=3,

則SAABC=^BA.CD=X6X3=9.

故答案為：9.

【點評】此題考查了含30。角的直角三角形的性質，三角形的外角性質，以及等腰三角形

的性質，解題的關鍵是作出相應的輔助線CD,靈活運用各種性質來解決問題.

16.在△ARC中，AD是邊RC上的中線，G是重心，如果AG=32,那么線段DG的長是

16.

【考點】三角形的重心.

【專題】計算題.

【分析】由于G是重心，可運用重心的性質(重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的

2倍)可得AG=2DG,然后根據條件"AG=32"就可求出DG.

【解答】解：:AD是邊BC上的中線，G是重心，

/.AG=2DG.

???AG=32,

DG=16.

故答案為16.

【點評】本題考查的是重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重

心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

17.已知拋物線y=x2?2x+c經過點A(1,yi)和B(2,y2),比較yi與y2的大小：yig

y2(選擇"〉"或"〈"或填入空格).

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】根據二次函數的性質，當拋物線開口向上時，物物線有最小值即可判斷.

【解答】解：.??拋物線y=x2-2x+c開口向上，對稱軸為x=-2=l,

.,.點A(1,yj)是頂點，

???拋物線開口向上，拋物線有最小值，

yi<y2?

故答案為v.

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析

式.

18.在平面直角坐標系中，△ABC的頂點分別是A(-1,0),B(3,0),C(0,2),已

知??動直線y=m(0<m<2)與線段AC、BC分別交于D、E兩點，而在x軸上存在點P,

4

使得△DEP為等腰直角三角形，那么m的值等于懣1.

【考點】等腰直角三角形；坐標與圖形性質.

【專題】動點型；存在型.

【分析】因為△ABC的頂點分別為A(-1,0)B(3,0),C(0,2),動直線y=m(0

<m<2)與線段AC,BC分別交于D,E,要使△DEP為等腰直角三角形，(1)DE二EP,

（或DP）,ZDEP（或NEDP）=90。或（2）PD=PE,NEPD=90。，由直線方程和等腰直角

三角形的性質及勾股定理求解.

【解答】解：ADEP為等腰直角三角形分兩種情況：

（1））DE=EP,（或DPDzDEP（或NEDP）=90。時,

設D（X],m）,E（X2>m）,

22

（Xj-x2）=m,

由已知得CA方程：y=2x+2,

2

CB方程：y=-A+2,

0

二得：4(m-2)2=m2,

4

解得：m產w，n[2=4（與0<m<2不符舍去），

4

..m--；

（2）PD=PE,ZEPD=90?時,

_2

則（上_11）=m2,

2

_22

（x2x1）=4m,

/.4（m-2）2=4m2,

解得：m=l,

綜上：當m/或m=l時，△DEP為等腰直角三角形，故答案為：券1.

【點評】此題考查的知識點是等腰直角三角形的性質運用及坐標與圖形的性質，關鍵是確

定等腰直角三角形的兩種情況，然后分別求解.

三、（本大題共7題，滿分78分，其中第19?22題各10分，第23、24題各12分，第25

題14分）

19.求值：cos30°?tan600+cot45°?sin450.

【考點】特殊角的三角函數值.

【分析】把特殊角的銳角三角函數值代入計算.

【解答】解：原式=零乂?+1*1

2

【點評】此題考查了特殊角的銳角三角函數值的計算，要能夠熟記各個數據.

20.用配方法求拋物線y=2x2-4x的頂點坐標和對稱軸.

【考點】二次函數的三種形式.

【分析】運用配方法把二次函數的?般式化為頂點式，根據二次函數的性質確定對稱軸和

頂點坐標.

【解答】解：y=2x2-4x

=2（x-1）2-2,

「?頂點坐標是（I,-2）,對稱軸是直線x=l.

【點評】本題考查的是二次函數的三種形式和性質，正確運用配方法把二次函數的一般式

化為頂點式是解題的關鍵，掌握二次函數的對稱軸和頂點坐標的確定.

21.如圖，水壩的橫斷面是梯形，迎水坡BC的坡角NB=30。，背水坡AD的坡度為

1：亞，壩頂DC寬25米，壩高CE是45米，求：壩底AB的長、迎風坡BC的長以及

BC的坡度.（答案可以帶上根號）

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】應用題.

【分析】要求BC的長和坡度，直角三角形BCE中，有NB的度數，有CE的高，BC的

長和坡度便可求得.BE的長也可得到.要求得AB的長，只要求出AF和BE的長即

可.直角三角形AFD中，有AD的坡度，有DF的長，那么AF也不難求出，再加上前面

得出的BE的長，AB的長就求出來了.

【解答】解：..?而言，.?.AF=45加，

???奈cot30°=V5,BE=45V3?

AB二EF+AF+BE=25+45揚45V5（米），

451

又???音sin30°二尚，BC=90（米），

DC2

,.ZB=30。,BC的坡度為tan30°=I：%.

答：壩底AB的長為25+45行45加（米）、迎風坡BC的長為90米，BC的坡度為I：

V3.

【點評】此類題可把條件和問題轉化到直角三角形中，使問題得到解決.

22.如圖，已知兩個不平行的向量tb-先化簡，再求作：2（￡與）-“看玲.

（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）

【考點】*平面向量.

【分析】首先利用平面向量的運算法則，化簡原式，再利用三角形法則畫出向量.

【解答】解：原式=2:衛-"^-2%

一個一

二d-3上.,

如圖：AB=a?AC=3b?

則厘即為所求.

【點評】此題考查了平面向量的運算.注意掌握三角形法則是解此題的關鍵.

23.如圖，已知點F在AB上，且AF：BF=1：2,點D是BC延長線上一點，BC：

CD=2：1,連接FD與AC交于點N,求FN：ND的值.

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】證明題.

【分析】過點F作FEIIBD,交AC于點E,求出痣FH二之1得出FE二1微BC,根據已知推出

DCJ5

CD^1BC,根據平行線分線段成比例定理推F出N簫F言F，代入化簡即可.

乙IMULJJ

【解答】解：過點F作FEIIBD,交AC于點E,

.EF=AF

…BC-AB，

/AF：BF=I：2,

.AF_1

AB3

.FE_1

BC3

UPFF.=-RC.

?/BC：CD=2：1,

/.CD=,BC,

---FEIIBD,

2

■而畝至3,

即FN：ND=2：3.

證法二、連接CF、AD,

AF：BF=1：2,BC：

BF=BC=_2

AB"BE=1,

zB=zB,

△BCF”△BDA,

器券得，ZBCF=ZBDA,

AEBE3

FCllAD,

△CNF-△AND,

FNCF2

前一IT虧

【點評】本胭考置了平行線分線段成比例定理的應用，注意：平行線分的線段對應成比

例，此題具有一定的代表性，但是一定比較容易出錯的題目.

24.已知一個二次函數的圖象經過A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)三點(如圖).

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)求tan/BAC的值；

(3)若點D在x軸上，點E在(1)中所求出的二次函數的圖象上，且以點A、C、D、E

為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D、E的坐標.

【考點】二次函數綜合題.

【專題】綜合題.

【分析】（1）設二次函數解析式為y=ax2+bx+c,利用待定，系數法列式計算出a、b、c的

值，從而得解；

（2）過點C作CM1.AB于點M,先求出點M的坐標，然后根據三角形函數的定義列式

進行計算即可；

（3）根據拋物線的對稱怛結合平行四邊形的性質可得AEIIx軸，從而得到點E與點B重

合，然后根據平行四邊形的對邊相等求出CD的長度，再分點D在點C的左邊與右邊兩種

情況求解，從而得到點D的坐標.

【解答】解：（1）設二次函數解析式為y=ax2+數+c,

c=3

）16a+4b+c=3?

a+b+c=0

ra=l

解得b二-4,

c=3

???二次函數的解析式為y=x2-4x+3；

（2）如圖，過點C作CMJLAB于點M,

.??點M的坐標為（1,3）,

⑶叱BAC%也

（3）???點D在x軸上，點E在二次函數的圖象上，

了.以點A、C、D、E為頂點的平行四邊形中AEIICD,

???點E與點B重合，

.??點E的坐標為（4,3）,

/.AE=4-0=4,

根據平行四邊形的對邊平行且相等CD=AE=4,

又,?,點C的坐標為（1,0）,

??.①當點D在點C的左邊時，AC是對角線，1?4=-3,

點D的坐標為（-3,0）,

②當點D在點C的右邊時，AC是平行四邊形的邊，1+4=5,

點D的坐標為（5,0）,

綜上所述點D的坐標為（-3,0）或（5,0）,點E的坐標為（4,3）.

【點評】本題是對二次函數的綜合考查，包括待定系數法求二次函數解析式，銳角函數的

三舛函數，平行四邊形的性質，在確定平行四邊形的頂點時，判斷出點E與點B重合是解

題的關鍵.

4

25.（14分）已知在△ABC中，ZA=45°,AB=7,tanB=］，動點P、D分別在射線AB、

J

AC±,J&ZDPA=ZACB,設AP=x,△PCD的面積為y.

（1）求仆ABC的面積；

（2）如圖，當動點P、D分別在邊AB、AC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函

數的定義域；

（3）如果△PCD是以PD為腰的等腰三。角形，求線段AP的長.

c

D

APB

【考點】解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定與性質.

【專題】動點型.

【分析】（1）過C作CHJ_AB于H,在R/ACH、RsCHB中，分別用CH表示出

AH、BH的長，進而由AB=AH+BH=7求出CH的長，即可得到AH、BH的長，由三角形

的面積公式可求得△ABC的面積；

（2）由NDPA=NACB,可證得△DPA-△BCA,根據用似三角形得出的成比例線段可求

得AD的表達式，進而可得到CD的長；過P作PE_LAC于E,根據AP的長及NA的度

數即可求得PE的長；以CD為底、PE為高即可求得△PCD的面積，由此可得出y、x的

函數關