課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十一)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)而應(yīng)的點(diǎn)位于(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若復(fù)數(shù)1—2i是關(guān)于x的方程/一ax+b=O(a,A￡R)的一個(gè)根，則|a+歷|=()

A.3B.y[2l

C.aD.29

C解析：由題意可知，(1—2i)2—a(l—2i)-FZ?=O,所以b—a—3+(2a—4)i=0,故

a=2,b=5.則|a+Z>i|=12+5i|

3.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()

A.i(l+i)2B.i2(l-i)

C.(1+i)21).i(l+i)

C解析：A項(xiàng),i(H-i)2=i(l+2i+i2)=iX2i=-2,不是純虛數(shù).B項(xiàng)，i2(l-i)

=-(l-i)=-l+i,不是純虛數(shù).C項(xiàng)，(l+i)2=l+2i+i2=2i,是純虛數(shù).D項(xiàng)，i(l

+i)=i+/=—1+i,不是純虛數(shù).

4.(2021?北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(l-i)-z=2,則z=()

A.1B.i

C.l-iD.14-i

92?(1+i)

D解析：由題D"J得z=[_j=(l_i)(l+i)=l十4故選D,

2

5.(2021?廣東三校段考)已知i是虛數(shù)單位，z=*,則復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)為()

A.l+iB.l-i

C.-l-iD.-l+i

92(I—i)一

A解析：因?yàn)閦=Y^y=(［二j)所以z=l+i.故選A.

6.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2—i)=(2+i)(3-4i),貝ij|z|等于()

A.乖B.3

C.5D.25

C解析：由題意z(2—i)=(2+i)(3-4i)=10-5i,則廠)/2.：)

5,所以|z|=5.

7.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)/=與普"的虛部為（）

3

-

2B.

D.

AC.

9

2-

12一|_422+(一m)2_3(1-i)_3-3i_33.

B解析:

1+i=1+i=(l+i)(l-i)=2=2~2L

3

的虛部為一宗故選B.

8.復(fù)數(shù)為，Z2分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)M,黑，且|?+Z2|=|ZLZ2|,線(xiàn)段加％的中點(diǎn)必

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為4+3i（i是虛數(shù)單位）,則|ZF+|Z2「=（）

A.10B.100

C.5^2D.50

B解析：由|勿十力|=|?一及|可知，瀛工訕z,故△〃叫屈為直角三角形，故有|為「十

|為|2=|施「+|威r=|疝娟=4|威2=]00,故選民

B組新高考培優(yōu)練

9.（多選題）（2021?邯鄲二模）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（2+i）z+5i=0,則（）

A.z的虛部為一2

B.~=l+2i

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D.|z|=25

AD解析：由z=;）1=-1—2i,虛部為一2,故A正確；z=—l+2i,故B錯(cuò)誤：z

乙I1

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,故C錯(cuò)誤；但|=點(diǎn)|4=（鄧）4=25,故D正確.故選

AD.

10.（多選題）（2021?青島二模）已知熨數(shù)Ii（i為虛數(shù)單位），二為之的共桅復(fù)

數(shù).若復(fù)數(shù)%=——，則下列結(jié)論正確的是（）

Z

A.冽在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于笫四象限

B.\zo\=l

c.冽的實(shí)部為:

D.zo的虛部為半

皿、似垢出的*m-i()一了3-2」i+i?1鏡.

ABC解析：由題意為=鋪+i=(#+i)(#—i)=4=5一2】,”對(duì)應(yīng)點(diǎn)

坐標(biāo)為由一明，在第四象限，A正確；1切=\^})2+(一坐了=1，B正確；及的實(shí)部

為J,C正確，虛部是一雪，D錯(cuò)誤.故選ABC.

乙乙

11.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+Ai(a￡R,力WR)對(duì)應(yīng)向量0Z(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)|0Z|=r,

以射線(xiàn)公為始邊，0Z為終邊旋轉(zhuǎn)的角為〃，則2=廠(恒$〃+isin〃).法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：zi=n(cos即+isin即)，z2=r2(cos外+isin02),則a&=

mzdcosl。1+%)+isin(%+&)],由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：/=[r(cos〃

+isin〃)]"=/(cos〃"+isin〃〃)，則(-l+4i)”=()

A.1024-1024-\/3iB.-1024+1024-73i

C.512-512731D.-512+512^31

D解析：根據(jù)要數(shù)乘方公式z"=[r(cos〃+isin〃)]"=/(cos〃"+isin〃。)，得

12.若發(fā)數(shù)z=由(i是虛數(shù)單位)在更平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是________.

(-1,1)解析：由題意得z;色-:一""，因?yàn)閦在復(fù)平面

1-T1(1十1)(1—1)乙

a+1>0,

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以、八所以一1<水1.

U-a>0,

13.已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對(duì)復(fù)數(shù)z的陳述如

e

下(i為虛數(shù)單位)：甲：z+z=2；乙：z—z=2^/3i；丙：z?z=4；丁：芻卷.在

甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個(gè)人的陳述正確，則復(fù)數(shù)z=l+i.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（三十二）

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）

A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐

B.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱

C.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)

D.—個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐

D解析：從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)把等腰梯形分成了兩個(gè)直

角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一

個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖.

2.如圖，一平面圖形的直觀圖是一個(gè)等腰梯形。切a且該梯形的面積為地，則原圖形

的面積為（）

A.2B./

C.2^2D.4

D解析：由斜二測(cè)畫(huà)法知原圖形仍為梯形，上、下兩底長(zhǎng)度不變，高為宜觀圖中梯形

高的左倍,故原圖形的面積為出乂4

-p=4.

3.校長(zhǎng)為a的正四面體的表面積是（）

A迫2nW2

A.手aB.-TTcf

O14

C.平看D.y[3a~

D解析：校長(zhǎng)為a的正四面體的四個(gè)面都是正三角形，正四面體的表面積是4X平，

4.（2021?江蘇高三期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺

數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑.意思是：球的體積，乘16,除以9,

再開(kāi)立方，即為球的直徑&由此我們可以推測(cè)當(dāng)時(shí)球的表面積S的計(jì)算公式為（）

97°97

A.S=-（fB.S=-a

oZ

9,11e

Cr.Sc=^dnD.5c=770

214

A解析：因?yàn)閥^=d,所以/=器=等窗，所以n=半，所以5=4刀（胃=4乂

21（f27/_

TX7=T^-故選AA?

5.（多選題）（2021?重慶清華中學(xué)月考）等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該三角形

繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）

A./JiB.（1+隹）n

C.2鏡nD.（2+小）Ji

AB解析：如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1,高為1,母線(xiàn)就是直

角三角形的斜邊隹，所以所形成的幾何體的表面積是S=nr7+n/=nXIX^2+1XI2

=（鏡+l）n.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的

高坐，兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)都是直角三角形的直角邊，母線(xiàn)長(zhǎng)是1,所以形成的幾何體的表面積

5-2XJirJ=2XITX平X1=啦n.綜上可知形成幾何體的表面積可以為（鏡+1）n或小

五.故選AB.

6.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2,圓心角為小的扇形，則該圓錐的表面積為

5JI1

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則有2"r=彳義2,解得廣=j,所以圓錐攸表面

乙乙

2

積為nX2x1+n=可.

7.（2022-濟(jì)南高三月考）已知體積為8的正方體內(nèi)接于球0,則球。的表面積為

12n解析：由題意可知正方體的邊長(zhǎng)是2,則球〃的直徑為2#,因此半徑是卡，

則球的表面積是4兀#=12兀.

B組新高考培優(yōu)練

8.《算數(shù)書(shū)》是我國(guó)現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其

周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)￡與高力，

計(jì)算其體積P的近似公式餐工小,用該術(shù)可求得圓周史口的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得工的近

似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線(xiàn)長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值為9,則該圓錐體積的

近似值為（）

A.mB.2^3

C.3小D.3

2

A解析：圓錐的體積D（白力=￡小物力，解得g3,則設(shè)所求圓錐的底

2

面直徑與母線(xiàn)長(zhǎng)為x（x>0）,則底面半徑定，則S=n伶）+511解得x

=2,設(shè)高為力，則/=泉311/?=3n?（3=坐.故選A.

9.張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六

等于八分之五.」知三棱錐4以刀的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，底面a力，BC1CD,

且川片C、g木，8C=2,利用張衡的結(jié)論可得球。的表面積為（）

A.30B.Kh/io

C.33D.12限

B解析：因?yàn)闅W_1斂所以即=3,又/EL底面閨9,所以球。的球心為側(cè)棱4〃的

2

中點(diǎn)，從而球。的直徑為小.利用張衡的結(jié)論可得卡=*則兀=4歷，所以球。的表面

積為4月性5=10丸=10標(biāo).故選B.

10.（2021?廣東高三二模）已知一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面的圓周在半徑為24的同一個(gè)球的

球面上，則該圓柱體積的最大值為（）

A.32JiB.32：

C.10nD.24n

2

A解析：設(shè)圓柱底面圓半徑為八高為力，則行+（&=（2/產(chǎn)所以#=12—，2〉0,

所以0<水4/，所以圓柱體積//=n/A=12nA-y#,所以P=12n-|n/A令V=0,

解得方=4,所以當(dāng)方￡94）時(shí)，r>0；當(dāng)力14,4仍）時(shí)，r<0.

所以1/=12n方一十力3在（0,4）上單調(diào)遞增，在（4,4小）上單調(diào)遞減，所以KHX=48n—j-

X64=32兀.故選A.

11.在空間中，定義“點(diǎn)到幾何圖形的距離”為：這個(gè)點(diǎn)到幾何圖形上各點(diǎn)距離中的最

小值.現(xiàn)有邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,則到定點(diǎn)A距離為1的點(diǎn)圉成的幾何體的體積為

該正方形力式'〃區(qū)域（包括邊界以及內(nèi)部的點(diǎn);記為億則到。距離等于1的點(diǎn)所

圍成的幾何體的體積為_(kāi)________.

48+與解析：到定點(diǎn)力距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體是半徑為1的球，其體

oJ

4JT4n

積1/=丁乂/=由題意可知，幾何體為組合體，是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體和四個(gè)高為

OO

2,底面半徑為1的半圓柱及四個(gè)半徑為1的四分之一球，其體積為l，=2X2X2+4X：X”

Z

2,14H,16H

XrX2+4X-X—X1J=8+-

JJ

12.如圖（1）是一水晶飾品，名字叫梅爾卡巴，其充應(yīng)的幾何體叫星形八面體，也叫八

角星體，是一種二復(fù)合四面體，它是由兩個(gè)有共同中心的正四面體交叉組合而成，且所有面

都是全等的小正三角形，如圖（2）所示.若一星形八面體中兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)均為2,則

該星形八面體的體積為.

V2解析：由題知星形八面體體積為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的大正四面體與四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小

正四面體的體積之和，故體積為嚕X2?+4X烝X13=、2

13.若反產(chǎn)是三棱柱力跖48￡側(cè)棱能和CG上的點(diǎn)，RB\E=CF,三棱柱的體積為加,

求四棱錐4跖心的體積.

解:如圖所示,連接/出，AC\.

因?yàn)樗岳阈蔚拿娣e等于梯形/"陽(yáng)的面積.

又四棱錐小陽(yáng)T的高與四棱錐小B,EFG的高相等，

所以K+strr=V=TV.

A-BiEF(A乙A-BB\aC

又V=；SA，V=SA=m,

A-AMf\C\6/\A\li\C\-AAxAIiC-A\!i\a/\J1M61?AAi

所以/=1，

A-Aima3

所以P=v-V

A-BB\CICABaA\Bia

…\2mm

所以l^??7r=-X—=-?

乙JJ

即四棱錐/卜陽(yáng)T的體積是*

?1

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（三十三）

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.四條線(xiàn)段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

A解析：首尾相連的四條線(xiàn)段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定四個(gè)平面.

2.已知直線(xiàn)搭力分別在兩個(gè)不同的平面明。內(nèi)，則“直線(xiàn)a和直線(xiàn)。相交”是“平

面。和平面￡相交”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

A解析：若直線(xiàn)石和直線(xiàn)人相交，則平面。和平面￡相交；若平面。和平面萬(wàn)杵交，

那么直線(xiàn)a和直線(xiàn)。可能平行，異面或相交.故選A.

3.（2022?威海模擬）如圖，在正方體力“力毋G〃中，E、F分別為8C,跖的中點(diǎn)，

則下列直線(xiàn)中與直線(xiàn)爐相交的是（）

A.直線(xiàn)B.直線(xiàn)力行

C.直線(xiàn)4〃D.直？豆片石

I）解析：通過(guò)圖象易知：直線(xiàn)力4、直線(xiàn)力由、直線(xiàn)與直線(xiàn)￡尸不在同一平面內(nèi),

直線(xiàn)8￡與所在同一平面內(nèi)且不平行，故直線(xiàn)8G與印相交.故選D.

4.若空間中四條兩兩不同的直線(xiàn)入，A,A,h,滿(mǎn)足h-Lh,73±7O貝!下列

結(jié)論一定正確的是（）

A.

B.h//1,

C.人與人既不垂直也不平行

D.4與人的位置關(guān)系不確定

D解析：構(gòu)造如圖所示的正方體力加取力為力〃，為44,A為45,當(dāng)取

1為8G時(shí),h//lu當(dāng)取4為班時(shí)，7il7o故排除A,B,C,故選D.

5.空間中有三條線(xiàn)段力反BC,CD,旦/ABC=/BCD,那么直線(xiàn)融與切的位置關(guān)系是

（）

A.平行

B.異面

C.相交或平行

D.平行或異面或相交均有可能

D解析：如圖，可知力8,⑦有相交、平行、異面三種情況.故選D.

6.已知力比34臺(tái)。4是棱長(zhǎng)為2的正方體，E,F,G分別為力M,a、的中點(diǎn).，過(guò)

E,F,G的平面截正方體的截面面積為（）

A.小B./

C.3小D.372

C解析：如圖，分析正方體結(jié)構(gòu)可以得知，該截面為一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正六邊形，此正

六邊形分成6個(gè)全等的三角形，所以其面積為6X：X*XMX乎=3第.故選C

7.在三棱錐S月比?中，G,G分別是△弘〃和△$1。的重心，則直線(xiàn)GG與戊、的位置

關(guān)系是________.

平行解析：如圖所示，連接SG并延長(zhǎng)交AB于M連接SG并延長(zhǎng)交力。于A；連接J/V.

29

由題意知SV為△$加的中線(xiàn)，且SG=0%SV為△$；4c的中線(xiàn)，且SG=wSV,所以在

OO

SGcz,

△S"中,全濟(jì),所以須〃瞬易知腑是△板的中位線(xiàn)’所以楸.〃闈所以GG〃

BC.

8.如圖，已知圓柱的軸截面/I防4是正方形，。是圓柱下底面弧力3的中點(diǎn)，G是圓柱

上底面弧力石的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)AG與回所成角的正切值為_(kāi)_______.

鏡解析：取圓柱下底面弧力〃的另一中點(diǎn)〃，連接G〃，AI).

因?yàn)椤Ｊ菆A柱下底面弧腦的中點(diǎn)，所以AD〃BC,所以直線(xiàn)於與月〃所成的角即為異面

直線(xiàn)NG與灰、所成的角，因?yàn)镚是圓柱上底面弧月溜的中點(diǎn)，所以G〃垂直于圓柱下底面，

所以CWA.AD.因?yàn)閳A柱的軸截面制，M是正方形，所以G1)=^2.AI),所以直線(xiàn)力G與切所

成角的正切值為、P，所以異面直線(xiàn)力G與理所成角的正切值為啦.

9.如圖，在三棱錐八/1砥中，ALL底面/儂〃是陽(yáng)的中點(diǎn).已知/劭6三個(gè)，/區(qū)=2,

乙

AC=2y/i,PA=2.求：

（1）三棱錐A月砥的體枳；

（2）異面直線(xiàn)BC與/僅所成角的余弦值.

解：（1）8亞=［乂2乂2#=2m，三棱錐尸/I8C的體積為仁;必應(yīng)?為=：義2:）＜2=

4m

3?

所以/1比'是異面直線(xiàn)BC與力。所成的角（或其補(bǔ)角）.

在△力加'中，DE=2,AE=yf2,40=2,

+龍一A?22+2,--23

cosNADE-------------=--------=-

2?AD*DE2X2X24'

R

故異面直線(xiàn)BC與力〃所成角的余弦值為?

B組新高考培優(yōu)練

10.在直三棱柱月給444中，若NBAC=90°,AB=AC=AA^則異面直線(xiàn)剛與居所

成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90。

C解析：如圖，延長(zhǎng)。到點(diǎn)〃，使得4?=4C,連接ZH,創(chuàng)，則四邊形為平行

四邊形，所以/的歸就是異面直線(xiàn)的?與力G所成的角.又A\D=A\B=DB,所以的為等

邊三角形，所以N為歸=60°.故選C.

11.（多選題）在直四棱柱4884844中，底面力6⑦是邊長(zhǎng)為4的正方形，力4=3,

則（）

A.異面直線(xiàn)/I歸與所成角的余弦值為攣

0

3

B.異面直線(xiàn)與6〃所成角的余弦值為￡

0

C.4%平面笈〃。

12

【）.點(diǎn)打到平面4做的距離為三

ACD解析：因?yàn)?6〃〃C,所以/方〃。或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)力/與所成角.又

==2=

因?yàn)锽\D\4*^2>〃6^5,56^5,所以CQSB\D\CQn-r?,故A正確，B

，LJ\L）\?Lf\CD

錯(cuò)誤.因?yàn)榱?〃〃C,4員平面84C,〃化平面笈〃C,所以/I歷〃平面8〃。，故C正確.設(shè)

點(diǎn)笈到平面4微的距離為h.因?yàn)閂&ABD尸VK-ABA,即:X91歷?44?

12

4???力，解得力=干，故D正確.故選ACD.

5

12.（多選題）如圖是一兒何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形力優(yōu)〃為矩形，/：；尸分別為必,

力的中點(diǎn).在此幾何體中，給出下列結(jié)論，其中正確的是（）

A.直線(xiàn)4少與直線(xiàn)。'異面

B.直線(xiàn)應(yīng)1與直線(xiàn)異面

C.直線(xiàn)環(huán)'〃平面板

D.平面比EJ_平面

BC解析：將平面展開(kāi)圖還原成直觀圖如圖所示.

P

AB

因?yàn)樨啊ǚ謩e為以，陽(yáng)的中點(diǎn)，所以EF〃AD.又四邊形相切為矩形，所以力〃〃仇?，

所以￡尸〃84所以反C,F,右四點(diǎn)共面.所以直線(xiàn)4￡'與直線(xiàn)C尸共面，不是異面直線(xiàn)，故

A錯(cuò)誤.因?yàn)椤辍昶矫媲?"t平面刃〃，點(diǎn)￡不在直線(xiàn)";上，皮平面為〃，所以直線(xiàn)跖

與直線(xiàn)力6為異面直線(xiàn)，故B止確.因?yàn)镋F〃BC,8Cu華曲P8G用平面PBC,所以靖〃平

面PBC,故C正確.假設(shè)平面/如歸_平面處〃，即平面以抄工平面砌〃，又平面伙77泊平面

PAD=EF,作做LM垂足為M可得q/J_平面8圓但由題中條件無(wú)法證得〃歸_平面比石

故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.

13.如圖所示，在四面體力應(yīng)力中作截面4若對(duì)與"的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M版與加

的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)此A尸與〃。的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)X.給出以下說(shuō)法：

①直線(xiàn)機(jī)比平面PQR

②點(diǎn)4在直線(xiàn)腑上：

③M.MK,力四點(diǎn)共面.

其中說(shuō)法正確的是.

①②③解析：由題意知，必￡留.歸做KGRP,從而點(diǎn)MN,佗平面&W.所以直

線(xiàn)拗亡平面八小，故①正確.同理可得點(diǎn)機(jī)A；餐平面8⑦.從而點(diǎn)MN,4在平面/W

與平面時(shí)的交線(xiàn)上，即點(diǎn)/在直線(xiàn).MV上，故②正確.因?yàn)樗本€(xiàn)朗M從而點(diǎn)MA；K,

月四點(diǎn)共面，故③正確.

14.在正方體力W9/由C〃中，點(diǎn)f在線(xiàn)段力力上運(yùn)動(dòng)，則異面直線(xiàn)俯與⑦所成角的

取值范圍是________.

（（），y解析：連接見(jiàn)，。以圖略），則綏〃所以4M（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)

〃戶(hù)與笫所成的角，點(diǎn)尸與/；重合時(shí)，/小DP最大,為白當(dāng)點(diǎn)尸與4無(wú)限接近時(shí)，AMP

0

趨近于零，故異面直線(xiàn)以與切所成角的取值范圍是(0,f.

15.如圖，在側(cè)棱長(zhǎng)為3的正三棱錐/1-成〃中，每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，在該三

棱錐的表面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)R且點(diǎn)P到點(diǎn)8的距離始終等于2/，求動(dòng)點(diǎn)P在三棱錐表面形

成的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在三棱鞋表面形成的曲線(xiàn)是/汨第，如圖所示,

則BE=BH=2m.

,JTnJTn

所以NHBA=K，zm=--r=—,

o4b1Z

所以發(fā)產(chǎn)2/JI＞同理仔=*n?

在直角三角形次右中，N〃恬A"=AE=7(2S)2-32=4,

乙

所以血=/xj-="|乂?

在等邊三角形8⑦中，NCBD=j

所以Gh2小><2=蟄.?

OO

「Lisif/UAA“*x/s\/3\/312*X/5SA/S

則nil所求曲線(xiàn)的長(zhǎng)度為211十211十、兀+Q兀=一23T.

bDZ3Z

16.如圖，在四棱錐版中，ZTL底面月8a9,加⑦是直角梯形，ADVDC,AB//DC,

AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)￡是陽(yáng)的中點(diǎn).

(1)線(xiàn)段為上是否存在一點(diǎn)G,使得點(diǎn)〃C,E,G共面？若存在，請(qǐng)證明；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若自然2,求三楂錐月力優(yōu)的體積.

B

D

（1）證明：存在處的中點(diǎn)G滿(mǎn)足條件.

連接GE,GD,則G6是三角形E國(guó)的中位線(xiàn)，所以GE//AB.

又由已知月8〃磨即以GE〃DC,所以G,E,C,〃四點(diǎn)共面.

=

（2）解：因?yàn)椤?是外的中點(diǎn)，所以PAC=Vn-A€E~^VpACn>=?%-必/1.

VE乙乙

_2

由題易知ACX.BC,所以S&ABC=-AC-BC=-X也X也=1,以ACB=-PC?S^n(=T,

所以勿也=鼻.

O

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（三十四）

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.給出下列關(guān)于互不相同的直線(xiàn)/,/〃，〃和平面叫B,7的三個(gè)命題：

①若/與勿為異面直線(xiàn)，7ca,kB,則。〃￡：

②若。〃萬(wàn)，lua,仁B,則1//nh

③若ac。=1,8ny=耽yGa=〃，J//y,則切〃〃.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2

C.1D.0

C解析：①中當(dāng)。與萬(wàn)不平行時(shí)，也可能存在符合題意的/,心②中/與勿也可能異

'1//y,

面；③中,/ua,=/〃〃，同理，/〃勿，則勿〃〃，正確.

aAy=n,

2.（2022?遼寧大連測(cè)試）已知直線(xiàn)/,/〃，平面%B,九則下列條件能推出/〃加

的是（）

A.lua,］仁B,a〃萬(wàn)

B.。〃￡,aOY=8Cy=m

C.1//a,/nda

D./ua,aCl

B解析：選項(xiàng)A中，直線(xiàn)/,/〃可能平行也可能異面；選項(xiàng)B中，根據(jù)面面平行的性質(zhì)

定理，可推出/〃勿，B正確：選項(xiàng)C中，直線(xiàn)/,勿可能平行也可能異面；選項(xiàng)D中，直線(xiàn)

1，R可能平行也可能相交.故選B.

3.多（選題）以下命題中，正確的命題有（）

A.在平面。內(nèi)有兩條直線(xiàn)和平面￡平行，那么這兩個(gè)平面平行

B.在平面。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)和平面￡平行，那么這兩個(gè)平面平行

C.平面a內(nèi)△力比'的三個(gè)頂點(diǎn)在平面￡的同一側(cè)且到平面￡的距離相等且不為0,那么

這兩個(gè)平面平行

D.平面。內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面￡的距離相等且不為0,那么這兩個(gè)平面平行或相交

CD解析：如圖1,作明￡交線(xiàn)的無(wú)數(shù)條平行線(xiàn)，可知A,B錯(cuò)誤；

對(duì)C,由題意可知/山〃8,BC〃B,ABCBC=B,由面面平行的判定定理可知。〃￡,C

正確；對(duì)D,參考答案C,假設(shè)。內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)位于點(diǎn)火處，而其余點(diǎn)均位于直線(xiàn)加上，則兩

個(gè)平面平行；如圖2,。內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)位于點(diǎn)力處，而其余點(diǎn)均位于直線(xiàn)小上，可知兩個(gè)平

面相交，I）正確.故選CD.

4.設(shè)。，￡為兩個(gè)平面，則的充要條件是（）

A.。內(nèi)有一條直線(xiàn)與萬(wàn)平行

B.。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與月平行

C.。內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與8平行

D.。內(nèi)有一條直線(xiàn)與月內(nèi)的一條直線(xiàn)平行

C解析：對(duì)于A,。內(nèi)有一條直線(xiàn)與￡平行，則。〃￡或。與￡相交；對(duì)于B,。內(nèi)有

無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與￡平行，則￡或。〃對(duì)于C,。內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與8平行，WIB,

反之也成立；對(duì)于D,。內(nèi)有一條直線(xiàn)與6內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則。〃萬(wàn)或。與8相交，所

以。〃尸的充要條件是。內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與萬(wàn)平行.故選C.

5.（多選題）已知。，3是兩個(gè)平面，勿，"是兩個(gè)直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.如果跟J_a,〃〃2,那么勿_L〃

B.如果〃，加_La,/?〃￡，那么。J,?

C.如果。〃￡,g那么m//B

D.如果/〃a,n"S旦a〃B,那么m〃/7

AC解析：對(duì)于A,若s_La,〃〃a,則禮L〃，故A正確；對(duì)于B,若勿_L〃，

n〃B,則a〃。或a,￡相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若a〃B、ga,則m〃5，故C正

確；對(duì)于D,若加〃%〃〃日且。〃8,則勿，〃平行、相交或異面，故D錯(cuò)誤.故選AC.

6.（多選題）（2021?蘇州月考）已知。，￡是兩個(gè)不同的平面，m,〃是兩條不同的直線(xiàn)，

且/〃，Ra,m,rA8,給出下列四個(gè)論斷：①。〃￡；@m///?；③/〃〃a；@n//B.以其

中三個(gè)論斷為條件，剩余論斷為結(jié)論組成四個(gè)命題.其中正確的命題是（）

A.①②③n④

B.①③④=>②

C.①②④n③

D.②③④n①

AC解析：對(duì)A選項(xiàng)，若①。〃萬(wàn)，②加〃〃，③勿〃。，且所以有④〃〃￡成立，

故A正確；對(duì)B選項(xiàng)，若①。〃￡,③加〃a,@n//￡：則/〃，〃可能相交、平行或異面，

故B錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，若①a〃8,@m//n,?n//B,且加a,所以有③勿〃a成立，故C

正確；對(duì)D選項(xiàng)，若②加〃小③力〃a,④〃〃B,則平面a,￡可能相交、平行，故D錯(cuò)誤.故

選AC.

7.在四面體/1-M?中，題”分別是△4以，△頗的重心，則四面體的四個(gè)面中與胡V

平行的是.

平面力協(xié)與平面力比'解析：如圖，取位的中點(diǎn)笈

連接儲(chǔ)應(yīng)；由于MN分別是△?面的重心，所以月色做分別過(guò)M爪則刈/：

MA=1：2,EN：BN=1：2,所以MN//AB.因?yàn)?氏平面/劭…MW平面ABD,/I氏平面ABC,

MW平面力比，所以J/V〃平面力劭，楸〃平面N8C.

8.如圖所示，P是△/1比所在平面外一點(diǎn)，平面。〃平面力闈。分別交線(xiàn)段必，PB,

PC于■點(diǎn)、A',B',。.若PA':/W=2：3,則以”:S△，產(chǎn)

4：25解析：因?yàn)槠矫妗！ㄆ矫媪Ρ龋凰?C//AC,A1B'HAB,B'C"BC,

所以:8楓=（泌’：PA2.

又PA'：AA'=2:3,所以PA'：PA=2：5,所以鼠，&c:S△檄=A:25.

9.如圖，在四棱柱然⑦48G〃中，底面力比力為菱形，E,夕分別是線(xiàn)段44BC：

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)G,使得ZU=4G.證明：GB〃平面DEF.

證明：連接力C,BC則“C,陽(yáng)交于點(diǎn)以圖略）.

因?yàn)榛?0=〃4,〃4=4￡

所以康』=4G,所以四邊形比41G是平行四邊形，所以G8ZQC.

又犧平面45⑦，46t平面力歸⑦

所以G4〃平面A\B0.

又點(diǎn)〃，E,尸均在平面力歸⑦內(nèi)，所以。〃平面龐尸.

B組新高考培優(yōu)練

10.已知校長(zhǎng)為1的正方體4%3月心G〃，M是跖的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)夕在正方體內(nèi)部或表

面上，且冊(cè)〃平面4處，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）

A.-B.m

乙

C.1D.2

A解析：如圖所示，E,F,G,M分別是14,4〃，BG,陽(yáng)的中點(diǎn),

則用〃月加EM//AB,所以所〃平面力做，瓊”/平面48及,且EFCEIf=E,所以平面力以

〃平面EA6M故點(diǎn)〃的軌跡為矩形的雙，珈;二臺(tái)仃"所以M=乎，所以Seix==

當(dāng).故選A.

乙

11.（多選題）如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容耀/版7A48C〃內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器

底面一邊比'于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形

B.水面必［第所在四邊形的面積為定值

C.棱4〃始終與水面所在平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，應(yīng)'?斯是定值

ACI）解析：由題圖，顯然A是正確的，B是錯(cuò)的；對(duì)于C,因?yàn)?。〃比；BC//FG,所

以4。〃而且4ZW平面廳如所以40〃平面跖%（水面），所以C是正確的；因?yàn)樗嵌?/p>

19J/

量的（定體積及，所以S△腳?BC=V,即彳跖?跖?戊=〃所以跖?如'=方,（定值），即D是

乙DC

正確的.

12.如圖,在正方體仍辦力由E〃中，”是4〃的中點(diǎn),則直線(xiàn)物與平面44匕的位置

關(guān)系是；直線(xiàn)物與平面以石5的位置關(guān)系是___________.

相交平行解析：在平面力中，四邊形力4切是梯形，且力％,也9是兩腰，則直

線(xiàn)場(chǎng)與直線(xiàn)AA1相交，所以直線(xiàn).跖與平面AACG相交.在正方體ABCD-中,平面AADD

〃平面BRCC因?yàn)殛?平面14〃〃，所以〃平面BCGR.

13.如圖，矩形，仍Q所在平面與以胸為直徑的圓所在平面垂直，。為雨中點(diǎn)，加是圓

周上一點(diǎn)，且NOTU30°,31,BC=2.

(1)求異面直線(xiàn)/I。與以/所成角的余弦值：

(2)設(shè)點(diǎn)產(chǎn)是線(xiàn)段川/上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足AP=4PM,若直線(xiàn)加〃平面BPD,求實(shí)數(shù)4的值.

解：(1)取力〃的中點(diǎn)也連接G；.極；OM,〃V(圖略).

因?yàn)榱﹃?yáng)9為矩形，0,N分別為灰；力〃的中點(diǎn)，所以10〃CM

所以異面直線(xiàn)力。與CV所成角就是CV與CM所成的銳角或直角.

因?yàn)槠矫?以血1平面歐儀平面/I閱9rl平面式期=灰?.

在矩形力四中，MZ1比；.?％七平面/I仇力，

所以旗U平面BCM.

又〃化平面灰劭，所以用_LM

在△秋W中，NJ@-90°,。仁陽(yáng)=1,所以MV=啦.

又M是圓周上點(diǎn)，且NC冽U30°,所以CJU1.

在△.右M中，盜上正，由余弦定理可求得

1+2-2_^2

cosNJ￡V=

2X1XA/2-4

所以異面直線(xiàn)力。與川所成角的余弦值為牛.

⑵連接必PD,連接副和力。交于點(diǎn)。，連接圖(圖略).

因?yàn)橹本€(xiàn)小〃平面質(zhì)，直線(xiàn)。公平面力6￥,平面初9n平面力CJU微所以以加放

因?yàn)榫匦瘟榱Φ膶?duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。為中點(diǎn)，

所以圖為△/”修的中位線(xiàn)，所以夕為AM中點(diǎn).

又AP=人9所以4的值為1.

14.如圖，平面田訓(xùn)分別與空間四邊形月應(yīng)卷中的劭，AD,AC,BC交于E,F,G,H,

且月6〃平面夕加/,I力〃平面)6〃，CD=a,AB=b,CDLAB.

(1)求證：四邊形MW為矩形；

(2)點(diǎn)G在什么位置時(shí)，￡慟最大？

⑴證明：因?yàn)槲稹ㄆ矫?汨%平面冰次/n平面力優(yōu)?=做平面猷wn平面〃比三陽(yáng)

所以尺7〃①，EH〃CD,所以FG〃EH,同理可證分'〃G〃，

所以四邊形所砌為平行四邊形.

又因?yàn)樵聫腖切，所以/汛L&7,所以四邊形始切為矩形.

（2）解：設(shè)4G=x,AC=nu則"=3，￥=吃~~所以初:當(dāng):，公，

a1nbmmm

所以篇w=6/7,GF=-xy^-{m—x）=-r{mx—=~^—（x4--,

Z7mm加|_12j4

ni,八abnfab

所以三i*=刀時(shí),r