高中數學《函數的零點》

上海市甘泉外國語中學蔡逢禎

【教學目標】

1.理解函數零點的概念，掌握“函數零點存在”的判定方法，初步學會用“二

分法”求函數的零點；

2.經歷函數零點的探索過程，體會“數形結合”、“特殊到一般”、“逼近”等

數學思想和方法；

3.在合作學習、問題解決的過程中，感悟數學思維的嚴謹，逐步形成良好的

數學品質.

【教學重點】

理解函數零點的概念，學會用“二分法”求函數的零點.

【教學難點】

理解零點存在的判定方法.

【教學過程】

一、引入課題

問題(1)求方程J—2x-3=0的根

(2)函數/(》)=必一2》-3的圖像與》軸交點的橫坐標；

(3)兩者之間有何關系？

二、探索新知

1.函數零點的概念

一般的，對于函數y=/(x)(xwZ>),如果存在實數c(cc￡)),當x=c時,

/(c)=0,那么就把x=c叫做函數,=/(x)(xe￡))的零點.

2.方程的根與函數零點的關系

方程〃x)=0有實數根0函數y=的圖像與x軸有交點門函數

y=有零點.

4

練習：求下列函數的零點⑴/(x)=3x-2；(2)g(x)=x-—.

三.歸納結論

觀察函數/（X）的圖像，并回答以下問題.

問題（3）此函數有沒有零點？

（4）有幾個零點？

（5）為什么是零點？有何判斷依據?

1.在區間［a,句上__（有/無）零點;f（a）f（b）0（＜或＞）.

2.在區間［瓦c］上__（有/無）零點；/（b）于（c）0（（或＞）.

3.在區間［c,d］上__（有/無）零點；于（c）f（d）0（＜或＞）.

猜想：若函數在區間［a,同上圖像是連續的，如果有成立，那么函

數y=區間（a,份上有零點.

零點存在的判定方法：如果函數y=/（x）在定義區間［a,目上的圖像是一條連

續不斷的曲線，且有〃“）/伍）＜0,那么在區間（a力）內至少存在一個實數c,使

/（c）=0,也就是在3功內,函數y=〃x）至少有一個零點.

思考辨析：

函數y=〃x）在區間［a,可上的圖像是連續不斷的一條曲線，

（1）若〃a）〃b）＞0,函數y=在區間（°力）上一定沒有零點嗎？一定有

零點嗎？

（2）若㈤＜0,函數y=/（x）在區間（a力）上只有一個零點嗎？可能有

幾個？

（3）在滿足定理的條件下，能否增加條件，可使函數y=〃x）在區間（〃力）上

只有一個零點？

【例題】有一塊邊長是13厘米的正方形金屬薄片，如果先在它的四個角上都剪

去一個邊長為x厘米的小正方形，然后做成一個容積為140立方厘米的無蓋長方

體鐵盒（如圖），那么》是多少（圖中單位：厘米，結果精確到0.1）?

4/—52/+169140=0

求這個三次方程在內的實數根，就是求函數

/(x)=4x3—52/+169X—140fo<x<y|的零點.

請學生利用計算器，用描點法作出函數/(x)在區間0,上的大致圖像。

從表格和圖像中可以看出，函數/(x)在區間(1,2)、(3,4)內各有一個零點X、

問題(6)%這個零點在⑶4)內，它的范圍能否再精確些?

引導學生尋找求零點的辦法，并小組討論完成表格：

7?⑶./(3.5)<0,

3+4、-

1取(3,4)的中點為X=----=3.5/(^)=7(3.5)=-14所以/(x)在(3,3.5)

2

內有零點

/()■/()<0,

取(_____,_____)所以/(好在(____,_____)

2x-______/區)=/()=_____

2內有零點

的中點工2

取(_____,_____)/()?/()<0,

3&二________f(x3)=/()=_____所以/(%)在(____,_____)

的中點當內有零點

取(_____,_____)f()-/()<0,

4%=--------/(%)=/()=_____所以/(%)在(____,_____)

的中點%內有零點

通過表格，我們得到的結論是：/(%)在區間(3,4)內的零點的近似值是3.2

二分法：對于在區間［〃,可上連續不斷且滿足的函數y=〃x),通

過不斷地把函數/(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近