數(shù)列核心知識總結

核心知識一、數(shù)列的有關的概念

(1)數(shù)列的有關概念

①數(shù)列的定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)

列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

②數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列｛為｝是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…，〃｝)到實數(shù)集R的函

數(shù)，其自變量是序號〃，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第〃項記為如=/(〃).

③數(shù)列的表示法：解析式法、表格法、圖象法.

④數(shù)列的通項公式和遞推公式

(1)如果數(shù)列｛小｝的第〃項小與它的序號〃之間的對應關系可以用一個式子

來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.

(2)如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那

么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

⑵數(shù)列的前〃項和S,,與小關系

若數(shù)列｛m｝的前〃項和為S”，通項公式為跖”則跖=

Si,〃=1,

Sn—Sn-\9n>2,

常見方法：

①利用a”=S「Si(〃N2)轉化為只含S”，ST的關系式，再求解；

②利用*一5"-1=。口這2)轉化為只含斯，的一1的關系式，再求解.

(3)數(shù)列的函數(shù)特性

(1)數(shù)列的單調性

從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項起,

每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列.特別地，各項都相等的數(shù)列叫做

常數(shù)列.

常見判斷單調性方法：

①用作差比較法，根據(jù)斯+1—斯的符號判斷數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列

或是常數(shù)列.

②用作商比較法，根據(jù)管(斯>0或a“vo)與1的大小關系進行判斷.

③結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷.

(2)求數(shù)列的最大項或最小項的常用方法

①將數(shù)列視為函數(shù)/(x)當xWN*時所對應的一列函數(shù)值，根據(jù)/(x)的類型作

出相應的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出/(X)的最值，進而求出數(shù)列

的最大項或最小項.

②通過通項公式斯研究數(shù)列的增減性，確定最大項及最小項.

③臨界項法，在數(shù)列｛劣｝中，若。〃最大，則｛""[即"(〃22),

、斯與。〃+]

1，

若。〃最小，則JV(心2).

Cln'^-Cln+i

(3)解決數(shù)列周期性問題

根據(jù)給出的關系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求

有關項的值或者前〃項的和.

核心考點二、等差數(shù)列

1.等差數(shù)列的概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等

于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,

公差通常用字母d表示.

(2)等差中項：由三個數(shù)a,A,〃組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差

數(shù)列.這時，A叫做a與匕的等差中項且a+b=2A.

2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式

(1)通項公式：a”=ai+(〃一l)d.

“"八八，〃(〃—1)n(ai+a”)

(2)刖n項和公式：Sn=nai+----?----d=-----?-----.

3.等差數(shù)列與函數(shù)的關系

(1)通項公式：當公差時，等差數(shù)列的通項公式斯=m+(〃-l)d=a〃+

ax-d是關于n的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差。若公差d>0,則為遞增數(shù)

列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

4

是關

.于

(2)前〃項和：當公差dWO時，272

〃的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

4.常用性質

1.已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，工是其前〃項和.

(1)〃〃=am+(〃—m)d(幾,m￡N*).

(2)若p+q=s+f,貝U劭+的=〃5+即特別地，若夕+夕=2m，貝U20機=劭+%(〃,

q,s,3〃z￡N").

(3)若｛仇｝是等差數(shù)列，則｛p斯十夕兒｝也是等差數(shù)列.

(4)以，以TW，四斗2加，…仍是等差數(shù)列，公差為

(5)數(shù)列修｝成等差數(shù)列；數(shù)列S?,Sh—Sn，SNLS?n，…成等差數(shù)列.

(6)奇偶項性質

〃為偶數(shù)2k時〃為偶數(shù)2%-1時

s偶+s奇=s?

S偶—S奇=kds^-sn=ak（中間

項）

S奇_k

—(中間兩

S偶%+]S偶k—\

項)

2.兩個等差數(shù)列｛如｝,｛a｝的前〃項和S,，4之間的關系為黑二=胃.

I2n~\人

5.等差數(shù)列的判定與證明的常用方法

①定義法:斯+1一如=d(去是常數(shù),〃?N*)或許一“”1=40是常數(shù)，“GN*,

〃22)臺｛小｝為等差數(shù)列.

②等差中項法：2斯+產(chǎn)詼+為+2(〃GN*)臺｛斯｝為等差數(shù)列.

③通項公式法：atl=an+b(a,匕是常數(shù)，臺｛小｝為等差數(shù)列.

④前n項和公式法：Sn=arr+bn｛a,為常數(shù))<=>｛?,｝為等差數(shù)列.

6.求等差數(shù)列前n項和最值的常用方法

(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前〃項和的最值，n

GN*.

(2)圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定〃的值，使取得最值.

(3)項的符號法(鄰項變號法)：

fdm20?

當0>0,d<0時，滿足彳的項數(shù)機使得S”取得最大值為S”；

M+1W0

當0<0,#>0時，滿足彳的項數(shù)m使得S”取得最小值為S”.

lflm+1^0

核心考點三、等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等

于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通

常用字母q表示(qWO).

(2)等比中項：如果在a與8中間插入一個數(shù)G,使a,G,〃成等比數(shù)列，

那么G叫做。與匕的等比中項，此時，G2=ab.

2.等比數(shù)列的有關公式

(1)通項公式：an=aiq"'.

nct\9Q=1,

a\(1-^)a\—anq

｛l—q=Lq

3.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系

(1)當戶1時，斯=，*可以看成函數(shù)是一個不為0的常數(shù)與指

數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列｛④｝各項所對應的點都在函數(shù)'=附'的圖象上.

(2)等比數(shù)列的單調性

當g>l,0>0或0<夕<1,aiVO時，｛如｝是遞增數(shù)列；

當4>1,0Vo或OVqVl,卬>0時，｛斯｝是遞減數(shù)列；

當夕=1時，｛斯｝是常數(shù)列.

(3)等比數(shù)列｛&”｝的前〃項和S”=A+BC"OA+8=0,公比q=C(A,B,C均

不為零).

4.常用性質

1.若"+〃=p+q=2左（小，〃，p,q,攵￡N”），則a加?斯=即?他=次.

2.若｛斯｝,｛仇｝（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛近｝。#0）,（洲，｛斯也｝,

〔對仍是等比數(shù)列.

3.在等比數(shù)列｛斯｝中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即斯，為+

k，an+2k>a=+3幻…為等比數(shù)列，公比為，

4.等比數(shù)列｛跖,｝中，S*表示它的前％項和.當&W0,左WN*時，有S2k

-Sk>S3A—S2&,…也成等比數(shù)列，公比為

mn

5.Sm+n=Sm+qSn=Sn+qSm；6.當?shù)缺葦?shù)列項數(shù)為偶數(shù)時，冬?=q；

s奇

5.等比數(shù)列的證明方法

①定義法：若智=式4為非零常數(shù)）或匹=以4為非零常數(shù)且〃22）,則｛小｝

ClnUn-1

是等比數(shù)列.

②中項公式法:若數(shù)列｛%｝中a〃WO且若+1=斯?斯+2（〃。4）,則數(shù)列｛詼｝是

等比數(shù)列.

③通項公式法：若數(shù)列的通項公式可寫成an=c-cf'\c,q均為不為0的常

數(shù)，〃dN*）,則｛a“｝是等比數(shù)列.

④前n項和公式法：若數(shù)列｛小｝的前〃項和S“=k/—任攵為常數(shù)且左WO,q

70,1）,則｛斯｝是等比數(shù)列.

核心考點四數(shù)列求和

數(shù)列求和的常用方法

（1）公式法

…wk,,y-n（ai+斯）,n（?—1）d

①等差數(shù)歹U｛aa｝的刖〃項和Sn=2=1+2-

neti>q=1,

ai（1-^9

｛1—q'產(chǎn)L

⑵組求和與并項求和：一般地，如果｛斯｝是等差數(shù)列，｛兒｝是等比數(shù)列，求

如，〃為奇數(shù)，

數(shù)列｛出士為｝或Cn=',工,申就的前〃項和S,時，可采用分組求和法求和.如

[bn,〃為偶數(shù)

果C"=(—l)"?a”，求金的前"項和時，可采用并項求和法求解.

(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相

互抵消，從而求得前〃項和.

(4)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的

對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前〃項和即可用錯位相減法求解.

(5)倒序相加法：如果一個數(shù)列｛%｝的前〃項中首末兩端等“距離”的兩項

的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求

解.

(4)裂項求和常見形式

模型1：等差型

1—L)

〃(〃+1)nn+\n(n+k)knn+k

1l11、n21

(3)-----=一(z-----------)(4)1+-------------------

4n2-l22n-{2〃+14?2-l-4(2n+1)(2〃-1)

小2〃+111

(3)------------—■----------(6)”1『I

n2(n+1)2n2(n4-1)2“2("+2)24

模型2：根式型

(1)j----------j==A/H+1-(2)/1-----=—(A/M+T-A/W)

_______1_______(n+l)\/n-ny/n+l_(n+l)Vn-nV?+l_11

(3)

(7?+l)Vn++1[(〃+1)耳]-(〃\/〃+l)2"(〃+D&，〃+1

模型3：指數(shù)型

2"_(2向_1)_(2"-1)_]_I

(2,,+l-l)(2n-l)-(2,,+1-l)(2"-l)-2n-l-2,,+1-1

(2)(3=；MT)!止1-占)

k+2_2(〃+1)-〃/2__}_______]

〃(〃+1)-2"一+一17一^71)三一〃?2'1-("+1)?2〃

(4〃-1)3"J_9

(4)

〃(〃+2)25+2)

模型4：和型

（1）（_]）*=（_]—+，）⑵Q"+DT上一d

4n--12〃-12〃+1n（n+1）nn+1

核心考點五、函數(shù)的通項公式

方法1公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列利用通項公式求解

方法2S.與％關系：.條件中出現(xiàn)S“的表達式或含S“的等式。一般步驟：

①根據(jù)〃=1時，H=q,求q