高中數學B版4.4幕函數教學設計

教學課時：第1課時

教學目標：

1、通過具體實例，引導學生了解幕函數模型的實際背景，認識

數學與生活之間的聯系；

2、結合的圖像，理解它們的變化規律，了解暴函數；

3、通過研究塞函數的圖像和性質，使學生經歷觀察發現、歸納

類比、抽象概括等思維過程，進一步體驗從特殊到一般、數形結合思

想在解決數學問題中的作用。

4、通過合作探究與交流，激發學生學習的熱情，培養他們手腦

并用、勤于思考、樂于交流的學習習慣和勇于探索的治學精神。

教學重點：

基函數的圖像和性質。

教學難點:

指數不同引起的幕函數圖像的位置和形狀變化。

教學過程：

一、設置情境

【問題1】填空：

(1)如果一個正方體的棱長是a,那么該正方體的體積；

(2)如果一個正方形的面積是s,那么該正方形的邊長o

預設答案：

(1)V=a3；(2)1=Vs

【問題2］如果我們拋開實際問題，將這兩個表達式分別寫成y=x3,

y=Jx,你能發現這兩個表達式具有統一的形式嗎？你熟悉的函數中

還有哪些函數具有這種形式特征？

預設答案：統一形式為y=xm（m是常數），具有這種形式特征

的其它函數有正比例函數y=x,反比例函數y=x-l,二次函數y=x2。

建議：如果學生不能發現統一的形式，可把y=Jx寫成y=xl/2,再問

學生。

【設計意圖】引導學生感知幕函數是普遍存在的，有研究的必要

性。同時一，進一步培養學生的分析和歸納能力。

二、幕函數的定義

一般地，函數y=xa叫做事函數，其中a是常數。上面提到的函

數N=x,y=x-l,y=x2,y=x3,y=xl/2都是幕函數。

【問題3］給出下列函數，其中是幕函數的為o

預設答案：（1）（2）o

【設計意圖】學生既熟悉了幕函數的基本形式，尤其是與指數函

數的不同，又復習了有理指數幕運算。

三.幕函數的圖像和性質

【探究11我們最熟悉的事函數就是y=x,y=x-l,,右圖中展示

了它們的圖像，結合這些圖像，你觀察到了什么？所得到的結論能否

推廣到其它的幕函數？如果是所有幕函數都具有的結論，請證明；如

果僅適用于一些基函數，就要至少舉出兩個符合的幕函數例子。請相

鄰的兩位同學合作填寫下表：

【設計意圖】這個問題完全是開放式的，學生的回答一定是多種多樣

的。研究幕函數的圖像和性質的途徑很多，而數學解決問題的一個重

要思想方法就是把未知向已知轉化，把陌生問題向熟悉問題轉化。既

然有一些幕函數的圖像和性質學生已經很熟悉了，為什么不從熟悉的

塞函數入手呢？希望學生通過觀察特殊事函數的圖像概括得到相應

的性質，再推廣到某一類（或全部）的基函數，經歷觀察發現、歸納

類比、抽象概括等思維過程，進一步體驗從特殊到一般、數形結合思

想在解決數學問題中的作用。另外用小組合作的形式，便于啟發對方,

開拓思路。

【探尋結果展示】教師巡視課堂，收集學生填寫的不同的信息，

由幾組學生分別回答一條，老師隨之寫在黑板上，對敘述不準確的要

及時更正，對學生未提及的可追問，比如所給圖像中未出現不具有奇

偶性的幕函數，如果學生沒有提到就可提醒學生，有沒有既不是奇函

數也不是偶函數的基函數呢？如果學生想不到的話，可提醒學生回憶,

什么樣的函數一定不具有奇偶性這樣就能從定義域不關于原點對

稱的函數思考，給出具體函數，比如y=xl/2。如果學生注意到了幕函

數在第一象限的單調性情況，但未提及y=xO,可提醒學生有沒有在(0,

+8)上不增不減的幕函數？

將學生的回答和老師的補充匯總成下面內容：

【概括總結】

1.觀察圖像的時候，應該有意識地去關注什么？要研究性質,

應該有意識地去研究哪些方面?

所以實際上，前面的表格我們仍然沒有填全，比如說漸近線，比如說

值域。

2.對于幕函數只需關注其在第一象限的圖像即可，其它象限的圖

像由奇偶性的結論得到.而奇偶性的判斷不需要去記什么結論，只要

會用定義判斷即可。其中，遇到分數指數塞時先化成根式，以便于求

出定義域，之后再判斷奇偶性。

3.以上的結論有些可以證明，有些不好證明，比如第4條結論,

可以說我們是用幾何直觀代替了邏輯推理.那么第4條結論到底對不

對呢？繼續研究。

【探究2】將全體學生分成兩組，組1的相鄰兩個同學合作填寫

表1,并作出y=x3的圖像；組2的相鄰兩個同學合作填寫表2,并作

出y=xl/2的圖像。

【探究結果展示】（略），不過在學生展示的過程中，可提問學

生為什么選取這些x值？

【設計意圖】希望學生用較為陌生的函數圖像來應用和驗證上面

的結論.在求出定義域后，判斷函數的奇偶性，重點是畫出第一象限

的圖像，所以X值可不取負數。同時，呼應了問題1中的兩個函數。

【探究3】請自己舉幾個基函數的例子，利用作圖軟件作出這些

函數的圖像，驗證前面的結論，并且你有沒有新的發現？

【設計意圖】借助信息技術強大的作圖功能，甚至可以有基函數

圖像變化的動態演示，如下圖：

使學生很方便地觀察幕函數的整體變化情況，包括對細節的把握,

可以進一步培養學生歸納概括的能力。至于為什么前面要有探究2而

不是直接進行探究3,是希望學生在不方便運用信息技術的時候，要

具備先分析性質、再進行描點、作圖的能力。

【概括總結】基函數的圖像與性質：

（1）所有幕函數在區間（0,+8）上都有定義，因此在第一象

限內都有圖像，并且圖像都通過點（1,1）。

（2）如果a>0,則幕函數的圖像通過原點，并且在區間［0,+

8)上是增函數.

(3)如果aVO,則基函數在區間(0,+8)上是減函數，且在

第一象限內，當x從右邊趨向于原點時一，圖像在y軸右方且無限地逼

近y軸；當x無限增大時，圖像在x軸上方且無限地逼近x軸。

(4)塞函數y=xa在第一象限內，當a<0,0<a<l,a=l,a>l

時的圖像如圖所示，可用熟悉的基函數圖像來記憶。

四、應用練習

例1.已知幕函數f(x)分別滿足下列條件，按要求回答問題：

(1)若圖像過點(9,3),則這個幕函數的解析式為

f(x)=;

(2)若定義域和值域都是R,則這個幕函數的解析式可以為

f(x)=;

(3)若值域為［0,+8),則這個幕函數的解析式可以為

f(x)=。

【設計意圖】使學生進一步明確幕函數的定義、圖像和性質。尤

其是(2)和(3),答案不唯一，培養學生的逆向思維和發散思維。

例2.比較下列各題中兩個值的大小：

(1)2.31.12.51.1；(2)(a2+2)-1/3和2-1/3；

機動：(3)0.40.5和0.50.4；(4)已知xl/3>yl/3,比較x,y

的大小。

【設計意圖】引導學生抓住每題中兩個實數指數塞的共性或聯系，

構建幕函數或指數函數，進一步熟悉利用函數的單調性比較大小的方

法。

五、課堂小結

今天我們學習了幕函數的定義、圖像、性質及簡單應用，又一次

感受到了函數的圖像和性質之間的關系，即：函數的性質可以指導我

們作圖，反過來又可以通過觀察函數的圖像進一步研究函數的性質。

希望同學們可以總結幕函數、指數函數、對數函數三種不同的函數在

研究圖像和性質時解決方法的共性以及性質上的差異。

六、布置作業

1.閱讀課本第35