Page18一.選擇題（共8小題）1.從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取2球,下列情況中互斥而不對立的兩個事件是A.至少有一個紅球，至少有一個白球B.恰有一個紅球，都是白球C.至少有一個紅球，都是白球D.至多有一個紅球，都是紅球【答案】B【解析】【詳解】由題意所有的基本事件可分為三類：兩個紅球，一紅一白，兩個白球．易知A選項的事件不互斥；C，D兩個選項中的事件為對立事件；而B項中的事件一是互斥，同時還有“兩個紅球”的事件，故不對立．故選B點睛：“互斥事件”與“對立事件”的區別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.2.對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據共面向量的推論判斷.【詳解】A選項：，故A錯；B選項：，故B正確；C選項：，故C錯；D選項：，故D錯.故選：B.3.向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底，，下的坐標為，則在基底的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，根據空間向量基本定理即可建立關于，，的方程，解方程即得，，．【詳解】設；由題意可知，，解得；在基底下的坐標為．故選：A．4.如圖，四面體中，點為中點，為中點，為中點，設，，，若可用，，表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量的線性運算計算即可.【詳解】由題意可得，而.故選：B5.在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據已知條件，結合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：的面積，，，則，，，，，，，，．故選：D．6.如圖，某電子元件由，，三種部件組成，現將該電子元件應用到某研發設備中，經過反復測試，，，三種部件不能正常工作的概率分別為，，，各個部件是否正常工作相互獨立，則該電子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設上半部分正常工作為事件，下半部分正常工作為事件，該電子元件能正常工作為事件，根據相互獨立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根據對立事件及獨立事件的概率公式計算可得.【詳解】設上半部分正常工作為事件，下半部分正常工作為事件，該電子元件能正常工作為事件，則，，，所以，所以，即該電子元件能正常工作的概率是.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是利用對立事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式求出.7.已知二面角的棱上兩點，，線段與分別在這個二面角內的兩個半平面內，并且都垂直于棱.若，，，.則這兩個平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合圖象可得，再利用空間向量數量積的運算律可得兩平面夾角的余弦值.【詳解】由題可知，、在直線上，，，且，，如下圖，故，，，，，，因為，故，故，解得，所以平面和平面的夾角的余弦值是.故選：A8.在空間直角坐標系中，定義：經過點且一個方向向量為的直線方程為，經過點且法向量為的平面方程為，已知：在空間直角坐標系中，經過點的直線方程為，經過點的平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意可得直線的方向向量與平面的法向量，進而可得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】經過點的直線方程為，即，故直線的一個方向向量為，又經過點的平面的方程為，即，故的一個法向量為.設直線與平面所成角為，則.故選：A二.多選題（共3小題）9.設為古典概率模型中的兩個隨機事件，以下命題正確的為（）A.若，，則當且僅當時，是互斥事件B.若，，則是必然事件C.若，，則時是獨立事件D.若，且，則是獨立事件【答案】ACD【解析】【分析】根據互斥事件，獨立事件和必然事件的定義逐個分析判斷【詳解】對于A，因為，所以是互斥事件，所以A正確，對于B，若事件為“拋骰子點數出現1或2”，則，若事件為“拋骰子點數出現的是小于等于4”，則，而此時不是必然事件，所以B錯誤，對于C，因為，，，，所以，得，所以，所以是獨立事件，所以C正確，對于D，因為，所以，因為，，所以PAB=所以是獨立事件，則也是獨立事件，所以D正確，故選：ACD10.已知空間三點，，，則下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.點到直線的距離為D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據題意，由空間向量的坐標運算，代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】，，，因為，所以A正確；，在方向上的投影向量為，所以B錯誤；在方向上的投影向量的長度，點到直線的距離為故C正確；，的面積，故D正確；故選：ACD．11.正方體的棱長為，為底面的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段的中點，則（）A.與是異面直線B.平面平面C.存在點使得D.當為線段中點時，過、，三點的平面截此正方體所得截面的面積為【答案】BD【解析】【分析】選項A，可證明與共線；選項B，利用面面垂直的判定定理證明；選項C，假設結論成立能推出矛盾；選項D，截面是等腰梯形，可求面積.【詳解】因為、、共線，又，即、、、共面，因此與共面，故A選項不正確；正方體中，，，，、平面，平面，因為平面，∴平面平面，故B選項正確；已知為線段上的動點（不包括兩個端點），設，假設存在點使得，則有：解得，與重合，與已知矛盾，故C選項不正確；當為線段中點時，為線段中點，連接，如圖所示：有，得，因為，同理,過、、三點的平面截此正方體所得截面為等腰梯形，正方體的棱長為2，，，，過點作，交于點，由，，從而可得等腰梯形高為，∴截面等腰梯形的面積為，所以過、、三點的平面截此正方體所得截面的面積為，故D選項正確；故選：BD.三.填空題（共3小題）12.在用隨機數（整數）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機產生的隨機整數，并且代表男生，用代表女生．因為是選出4個，所以每4個隨機數作為一組．通過模擬試驗產生了20組隨機數：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為______．【答案】##【解析】【分析】根據題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】在20組數中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138滿足要求，共10個，由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為．故答案為：13.已知平面內一點，點在平面外，若的一個法向量為，則到平面的距離為______________．【答案】1【解析】【分析】依題意求得，再利用點到平面的距離公式即可得解.【詳解】因為，點，所以，又的一個法向量為，所以到平面的距離為.故答案為：1．14.的內角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據三角恒等變換以及余弦定理可得，即可利用面積可得有根，即可利用判別式求解.【詳解】由可得，即，由于，故，由于，故，因此，故，，的面積為，故，由于，，故，令,將代入可得，化簡得，將代入，且可得，則，解得，或，（舍去）故最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由可得有實數根，利用判別式求解.四.解答題（共5小題）15.如圖，在四棱錐中，平面，，為棱的中點．（1）求證：//平面；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點為，證明//，即可由線線平行證明線面平行；（2）過作平面的垂線，結合幾何特點求得，再求線面角的正弦值即可.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：在△中，因為分別為的中點，故//；又，故//，則四邊形為平行四邊形，//；又面面，故//面.【小問2詳解】過點作延長線的垂線，垂足為，連接，如下所示：由（1）可知，//，故平面也即平面；因為//，則；又面面，故；又面，故面；又面，則，又；面，故面，則即為與平面的夾角；在△中，因為，則，；在△中，因為，，則；又，，即直線與平面所成角的正弦值為.16.2023年，某省實行新高考，數學設有4個多選題，在給出的A，B，C，D四個選項中，有兩項或三項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．現正在進行數學學科期中考試．（1）根據以往經驗，小李同學做對第一個多選的概率為，做對第二個多選題的概率為，對第三個多選題的概率為．求小李同學前三個多選題錯一個的概率．（2）若最后一道數學多選題有三個正確的選項，而小智和小博同學完全不會做，只能對這道題的選項進行隨機選取，每個選項是否被選到是等可能的，若小智打算從中隨機選擇一個選項，小博打算從中隨機選擇兩個選項．（i）求小博得2分的概率；（ii）求小博得分比小智得分高的概率．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（2）（i）利用古典概型的概率公式計算可得；（ii）設小博得分為，小智得分為，求出，，，，再根據獨立事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】設事件為小李同學前三個多選題錯一個題，則.【小問2詳解】（i）因為最后一道數學多選題有三個正確的選項，不妨設正確答案為，而小博打算從中隨機選擇兩個選項，則共有種，其中選中錯誤答案的有種，所以小博得2分的概率.（ii）設小博得分為，由（i）可知，，設小智得分為，則，，設小博得分比小智得分高為事件，則.17.如圖，在三棱柱中底面為正三角形，．（1）證明：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據數量積的運算律及定義得到，即可得證；（2）取的中點，連接交于點，連接、，即可得到為異面直線與所成角或其補角，再由余弦定理計算可得.【小問1詳解】因為，所以，所以，即.【小問2詳解】取的中點，連接交于點，連接、，則為的中點，所以，所以為異面直線與所成角或其補角，在等邊三角形中，在平行四邊形中，所以，所以，因為，，所以，在矩形中，所以，在中由余弦定理，所以異面直線與所成角的余弦值為.18.2023年10月26日，中國的神舟十七號載人飛船與“天宮”空間站成功對接，形成三艙三船組合體．某地區為了激發當地人民對天文學的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，這人按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一組有10人．（1）根據頻率分布直方圖，估計這人的第60百分位數（精確到0.1）；（2）現從第四組和第五組用分層隨機抽樣的方法抽取6人，擔任“黨章黨史”宣傳使者．①有甲（年齡36），乙（年齡42），且甲、乙確定入選，從6人中要選擇兩個人擔任組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上組長的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為42和1，估計這人中35－45歲所有人年齡的平均數和方差．【答案】（1）（2）①；②平均數為38，方差約為10.【解析】【分析】（1）先確定第60百分位數所在小組，再根據求百分位數公式進行計算；（2）①求出從第四組和第五組所抽人數，寫出樣本空間，利用古典概型求概率公式進行計算；②根據數據求出第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數，從而利用局部方差和整體方差的公式進行求解.【小問1詳解】設第60百分位數為，因為，，所以位于第三組：內，所以.【小問2詳解】①由題意得，第四組和第五組抽取人數之比為，即第四組4人，記為A，B，C，甲，第五組2，記為D，乙，對應的樣本空間為：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15個樣本點，設事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9個樣本點.所以；②設第四組的宣傳使者的年齡平均數分為，方差為，設第五組的宣傳使者的年齡平均數為，方差為，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為，方差為，則即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為，，即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為.據此估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡的平均數為38，方差約為10.19.如圖，在多面體中，側面為菱形，側面為直角梯形，為的中點，點為線段上一動點，且．（1）若點為線段的中點，證明：平面；（2）若平面平面，且，問：線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據中位線和平行四邊形性質得到，然后根據線