試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學沖刺練習一次函數中面積存在性問題1．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與直線交于點，與x軸分別交于點和點C．點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F．(1)填空：_________________________________；(2)求的面積；(3)當點E落在y軸上時，求點E的坐標；(4)若為直角三角形，求點D的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象經過點，且與正比例函數的圖象交于點，與x軸交于點C．(1)求m的值及直線的解析式：(2)求的面積；(3)已知經過某一定點，且與x軸交于點E，當時，直接寫出該定點與點E的距離．3．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸、y軸相交于點A、點B，直線與相交于點，與x軸相交于點，與y軸相交于點E，點P是y軸上一動點．(1)求直線的表達式；(2)連接．①當的面積等于面積的一半時，求出點P的坐標；②當時，請直接寫出點P的坐標為____．4．如圖，直線與直線相交于點．(1)確定直線的函數表達式．(2)直線與直線與軸分別相交與、兩點，求的面積．(3)直接寫出關于的不等式的解集．5．已知，一次函數與軸交點，與軸交于點，點與點關于軸對稱．(1)求直線的函數解析式；(2)設點是軸上一個動點，過點作軸的平行線，交直線于點，交直線于點，當的面積是時，求點的坐標；(3)已知是的角平分線，在線段上找一點，使得，求點的坐標．6．如圖，直線與過點的直線交于點，與軸交于點．(1)求的值；(2)求的面積；(3)若點在直線上，且使得是直角三角形，直接寫出點的坐標．7．如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸，軸分別交于點，點，與直線：交于點，直線交軸于點．(1)求的值及直線的函數表達式；(2)求四邊形的面積．8．直線和直線分別交軸于點，，兩直線交于點．(1)求的值；(2)求的面積；(3)根據圖象直接寫出當時，自變量的取值范圍．9．在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，直線交軸于點，交軸于點．(1)如圖1，連接，求的面積；(2)如圖2，在直線上存在點，使得，求點的坐標；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，過點作的垂線交軸于點，點在直線上，在平面中存在一點，使得，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，請求出點的坐標．10．如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點．且經過定點，直線與交于點．(1)求的面積；(2)在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由：(3)平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標（并請寫出求出其中一個點的過程）．11．如圖，點A、B的坐標分別為，，直線與坐標軸交于、兩點．(1)求不等式的解集；(2)求四邊形的面積．12．如圖，已知點，點，將線段繞點順時針旋轉，點落在點處，點是軸上一動點．(1)求直線的解析式；(2)連結、．若，求點的坐標；(3)連結、交線段于點，且．求的面積．13．綜合應用如圖，一次函數的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與一次函數的圖象于點C．(1)A點的坐標是，B點的坐標是．(2)若不等式的解集是．①連接，求的面積；②若一次函數的圖象與x軸交于點D，當是以為腰的等腰三角形時，求直線的表達式．14．如圖所示，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．

(1)求A、B兩點的坐標；(2)若P是x軸上的點，且，求的面積．15．如圖，點A，B的坐標分別為，，點P是線段上的一個動點，過點P的直線交x軸于點C，交y軸于點D，連接．

(1)求直線的表達式；(2)當是直角三角形時，求m的值；(3)在點P的運動過程中，探索并說明和面積的數量關系．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學沖刺練習一次函數中面積存在性問題》參考答案1．(1)，4，8；(2)20；(3)(4)或【分析】此題考查一次函數的綜合知識，待定系數法求函數解析式，折疊的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，熟記各知識點并綜合運用是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可；（2）利用三角形面積公式直接計算即可；（3）過點作軸于，軸于，則，，由折疊得，利用勾股定理列得，代入計算即可得到的長，由此得到答案；（4）分兩種情況：①當時，過作x軸于，得到，從而得到答案；當時，由折疊得，，設，則，利用勾股定理得到，求出m，再求即可得到答案．【詳解】（1）解：將代入直線中，得，解得，∴直線的解析式為，將點的坐標代入，得，∴，將點的坐標代入直線中，得，解得，故答案為：，4，8；（2）∵直線的解析式為：，當時，，∴，∵，∴，∵，∴的面積；（3）過點作軸于，軸于，則，，由折疊得，∴，∴，解得（負值已舍去），又在軸負半軸，∴；（4）分兩種情況：①當時，如圖，由折疊得，∴，過作軸于，∴，∵，∴，∴；②當時，如圖，由折疊得，，∴，由、兩點坐標可得：，設，則，∴，∴，解得，∴，∴，綜上，或．2．(1)，(2)8(3)或【分析】此題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數的圖象和性質、勾股定理求兩點坐標距離，分類討論和數形結合是解題的關鍵．（1）把代入中求出m的值，得到點B的坐標，再利用待定系數法即可求出直線的解析式；（2）求出點的坐標為，根據三角形面積公式即可得到答案；（3）根據一次函數解析式可得過定點，根據x軸上的點E，，則，進而根據勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：把代入中，解得，∴，將，代入中，得解得，∴直線的解析式為；（2）令，解得，∴點的坐標為，∴；（3）∴當時，，∴該定點為，∵∴當時，該定點與點E的距離為：當時，該定點與點E的距離為：綜上所述，該定點與點E的距離為或3．(1)(2)①或；②或【分析】（1）將點代入直線得，利用待定系數法可得直線的表達式：（2）①先由直線可得，由直線得，即可得的面積；設點的坐標為，分兩種情況：Ⅰ點在軸正半軸時，Ⅱ點在軸負半軸時，利用三角形的面積公式分別求解即可；②設點的坐標為，分兩種情況：Ⅰ點在軸正半軸時，Ⅱ點在軸負半軸時，分別求解即可．【詳解】（1）解：將點代入直線得，，點，設直線的解析式是，點，，解得，直線的表達式為；（2）解：①直線與軸相交于點，∴當時，，則，直線與軸相交于點，∴當時，，則，，，點，；設點的坐標為，Ⅰ、點在軸正半軸時，如圖，，，，點的坐標為；Ⅱ、點在軸負半軸時，，，，，點的坐標為；綜上，點的坐標為或；②設點的坐標為，Ⅰ、點在軸正半軸時，過點作軸于，，，，，直線，令，則，，，，，，，，設點的坐標為；Ⅱ、點在軸負半軸時，由圖得當點與點重合時，，點的坐標為；綜上，點的坐標為或．故答案為：或【點睛】本題是一次函數與幾何綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，坐標與圖形，相似三角形的判定與性質，數形結合以及分類討論是解題的關鍵．4．(1)(2)9(3)【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式的知識，解題的關鍵是能夠根據題意確定直線的解析式，再結合圖象解不等式．（1）將代入，得出，即，再代入即可求解．（2）分別求得的坐標，然后根據三角形的面積公式，即可求解；（3）根據函數的圖象確定不等式的解集即可．【詳解】（1）將代入，∴∴，∴，將代入得解得；，∴；（2）解：在中，當時，，則在中，當時，，則∴又∵∴的面積為．（3）根據函數圖象可得不等式的解集為．5．(1)直線的函數解析式為(2)點的坐標為或(3)點的坐標為【分析】（1）先求出的坐標，對稱性求出點坐標，待定系數法求出的函數解析式即可；（2）設，則、，過點作于點，利用，進行求解即可；（3）方法一：作于點，利用等積法求得，再證明，利用相似三角形的性質求解即可．方法二：作于點，利用等積法求得，過點作，延長交軸于，連接，如圖所示，在中，由勾股定理求出，再利用等積法求得，在等腰中，設，則，即，建立方程解得，在中，由勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】（1）解：對于，由得，則，由得，解得，則，∵點與點關于軸對稱，∴，設直線的函數解析式為，則，解得．∴直線的函數解析式為；（2）解：設，則、，過點作于點，如圖所示：∴，，∴，解得，∴點的坐標為或；（3）解法一：∵，，∴，，∴，作于點，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，即，解得，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴點的坐標為．解法二：∵，，∴，，∴，作于點，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，即，解得，過點作，延長交軸于，連接，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，，，，則，，在中，，，，則由勾股定理可得，，，解得，在等腰中，設，則由勾股定理可知，即，，解得，在中，．∴點的坐標為．【點睛】本題考查一次函數的綜合應用，涉及相似三角形的判定和性質、角平分線的性質、勾股定理、等面積法求線段長等知識．正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．6．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據函數圖象上點的坐標特征，將點代入求解即可；（2）先確定，根據兩點間的距離得，，，繼而得到，推出，再利用三角形的面積公式即可得出結論；（2）分兩種情況：①當時，②當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵點在直線上，∴，∴，∴的值為；（2）∵直線與軸交于點，當時，得：，解得：，∴，由（1）知：，∴，，，又∵，，∴，∴，∴，∴的面積為；（3）①當時，由（2）知：，此時點與點重合，∴點的坐標為，②當時，即，此時點的橫坐標為，如圖，∵直線，當時，得：，∴點的坐標為，綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題考查函數圖象點的坐標特征，勾股定理的逆定理，兩點間的距離，直角三角形的定義等知識點．利用分類討論的思想解決問題是解題的關鍵．7．(1)，直線的解析式為(2)四邊形的面積為13【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征．（1）將代入可得，從而得出點C的坐標，再根據待定系數法即可求出一次函數解析式；（2）過點作軸于點，根據一次函數圖象上點的坐標特征求出的值，令，即可求出點D的坐標，即可得出，再將四邊形分成一個三角形和一個梯形，分別求面積即可得出答案．【詳解】（1）解：∵直線：過點，，解得，，，把點，代入直線：中，，解得，直線的解析式為：；（2）如圖1所示，過點作軸于點，，，，，，則，直線：交軸于點，令，則，，則，，四邊形的面積為13．8．(1)，(2)5(3)【分析】本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么它們的自變量系數相同，即k值相同．（1）先把代入可求出m的值，從而確定C點坐標，然后把C點坐標代入即可求出k的值；（2）先確定A點和B點坐標，然后根據三角形面積公式求解；（3）觀察函數圖象得到當時，直線都在直線的下方．【詳解】（1）把代入，得：，所以C點坐標為，把代入，得：，解得；（2）當時，，則；當時，，則，所以的面積；（3）由圖象可得，∵兩直線交于點，∴當時，．9．(1)11(2)(3)點的坐標為【分析】（1）對于直線，令，則，故點，同理可得點的面積，此題得解；（2）證明，則，得等式，解答即可得到點坐標；（3）設的坐標為，分別求得，利用求得點的坐標為，求出直線的表達式為；分點在點的上方、點在點的下方兩種情況，利用平移的性質分別求解即可．【詳解】（1）解：直線，令，則，故點；，令，則，令，即，解得：，故點，則，∴的面積；（2）解：由題意，，觀察圖象可知，點只能直線在的右側，過點作的垂線交于點，過點作軸的平行線交過點與軸的平行線于點，交過點與軸的平行線于點，設點，點，∵，故，∵，∴，∵，∴，∴，故，解得，故點；（3）解：設的坐標為，∵，∴，設的坐標為，則：，化簡得：，解得：，∴點的坐標為，設直線的表達式為，將點的坐標代入得：，解得：，故直線的表達式為，當在上方時，點向右平移2個單位向上平移個單位得到，∴右平移2個單位向上平移個單位得到，∵在直線上，故滿足條件，當在點下方時，同理得，此時不在直線上，不滿足條件，綜上，點的坐標為．【點睛】本題考查的是一次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、平行四邊形的性質、三角形全等、面積的計算等，解答本題的關鍵是熟練掌握數形結合思想的運用．10．(1)6(2)存在，點E的坐標為(3)存在，點Q的坐標為或或【分析】（1）利用待定系數法求得兩直線的解析式，再求得點A和點D的坐標，根據三角形面積公式即可求解；（2）作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，則的周長最短，先求得直線的函數解析式，即可求得點E的坐標；（3）根據平行四邊形的對邊平行且相等，分為平行四邊形的邊和平行四邊形的對角線兩種情況討論，結合點坐標的平移即可求解．【詳解】（1）∵直線與x軸交于點A，且經過定點，∴，解得：，∴直線．∵直線經過點，∴，∴，把代入，得到．∴，對于直線，令，得到，∴，∴．對于直線，令，得到，∴，∴．∵，∴；（2）解：在x軸上存在一點E，使的周長最短．如圖，作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，則的周長最短．根據軸對稱圖形的性質可知的坐標為．設直線的函數解析式為．將代入，得，解得，∴直線的函數解析式為．令，得到，解得，，∴點E的坐標為．（3）解：，，，，當為平行四邊形的邊時，，∴∴點的橫坐標為：或，點Q的坐標為或，當為平行四邊形的對角線時，，點C向右平移2個單位，向下平移2個單位到點A，則點D向右平移2個單位，向下平移2個單位到點Q，∴點Q的坐標為，即；綜上，點Q的坐標為或或．【點睛】本題考查的是一次函數的交點問題，軸對稱圖形的性質，坐標與圖形面積，平行四邊形的性質等知識，第二問利用軸對稱的性質找到點E的位置是解題的關鍵，第三問利用平行四邊形的性質和點坐標的平移是解題的關鍵．11．(1)(2)4【分析】本題考查的是待定系數法求一次函數解析式、利用二元一次方程組求兩條直線的交點、利用函數圖象解不等式，掌握待定系數法的一般步驟、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求出直線的解析式，利用二元一次方程組求出點的坐標；根據函數圖象寫出不等式的解集；（2）根據坐標軸上點的特征求出兩點的坐標，根據三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得，故直線的解析式是，則解得，故點的坐標是；由圖象可知，時，的圖象在的圖象的上方，故不等式的解集是；（2）解：當時，，當時，，則點的坐標是，點的坐標是，∴．12．(1)(2)，(3)【分析】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，角平分線的性質，勾股定理是解題的關鍵．（1）過點作軸交于，證明，求出，再由待定系數法求函數的解析式即可；（2）求出直線的解析式，由，可設直線的解析式為，將點代入求解即可；（3）作點關于直線的對稱點，連接與軸交于，與線段交于，設，，由勾股定理得，①，②，聯立①②可得，，即可求，再求三角形的面積即可．【詳解】（1）如圖1，過點作軸交于，，，，，，，，，，，，，，，設直線的解析式為，，解得，；（2）設直線的解析式為，，解得，，，設直線的解析式為，，，解得，，當時，則有，解得：，，；（3）如圖2，作點關于直線的對稱點，連接與軸交于，與線段交于，由對稱性可知，，，，，，設，，①，②，聯立①②可得，（不合題意的值已舍去），，，．13．(1)，(2)①；②或或【分析】本題考查了一次函數綜合知識，難度適中，解題的關鍵是掌握分類討論思想的運用．（1）由一次函數的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，可求A、B兩點的坐標；（2）①由不等式的解集是，可得點的橫坐標為1，再根據點在得點的坐標為，即可求解；②分兩種情況討論：當時，當時，分別求解．【詳解】（1）∵一次函數的圖象與軸交于點B，∴令時，，∴，∴令時，，解得：．∴，故答案為：，．（2）①由不等式的解集是，可得當時，函數的函數值大