學霸筆記：20212022學年六年級數學上冊舉一反三系列（人教版）六上第六單元《百分數（一）》（2）重難點題型（解析版）【題型12分量÷對應分率=單位“1”（工作量問題）】【例12】小明打一份稿件，第一天完成全部工作量的15％，第二天完成了25頁，還剩下總工作量的60％沒有完成，這份稿件有多少頁？解：25÷（160％15％）=25÷（40％15％）=25÷25％=100（頁）。答：這份稿件有100頁【變式121】（1）一個打字員打一篇稿件，第一天打了總數的14解：18÷（40%1=18÷15%=120（頁）。答：這篇稿件有120頁。點撥：第一天打了總數的14，第二天打了總數的40%，根據分數減法的意義，第二天比第一天多打了全部的（40%14），又第二天比第一天多打18頁，根據分數除法的意義，這篇文章共有18÷（40%（2）一份稿件，甲獨打印10天完成，乙單獨打印5天只能完成這份稿件的13解：50%÷（110+1=12÷（110+=12÷=3（天）。答：兩人合作，3天可打印完這份稿件。【變式122】有一桶油，第一次取出全桶油的25%，第二次比第一次多取5千克，還剩20千克。這桶油原有多少千克？解：（20+5）÷（125%25%）=25÷0.5=50（千克）。答：這桶油原有50千克。點撥：一桶油總重：單位“1”，第一次取出：25%，第二次取出：25%+5千克，剩余：20千克。找到分量對應的分率，利用分量÷對應的分率=單位“1”，進行解答。【變式123】六年級三個班級同學植樹，六①班植樹棵數占總棵數的40%，六②班和六③班植樹棵數的比是2：3，六①班比六②班多植樹48棵，六③班植樹多少棵？解：設總棵數為單位“1”，則六②班和六③班植樹棵數總數為：140%=60%，所以，六②班：60%÷（2+3）×2=0.24，六③班:60%÷（2+3）×3=0.36，六①：六②班:六③班=0.4：0.24：0.36=10：6：9。六③班植樹:48÷（106）×9=108（棵）。答：六③班植樹108棵．點撥：把總棵數看成單位“1”，六①班植樹棵數占總棵數的40%，六②班和六③班植樹的總棵數就占60%；六①班、六②班和六③班植樹棵數的比是10：6：9，求出六①班比六②班多植總棵數的幾份對應的數量是48棵，由此用除法求出總棵數，進而求出六③班植樹的棵數。【題型13百分數的應用（反比關系問題）】【例13】走一段路，爸爸用15分，明明用12分，明明的速度比爸爸快（C）%。A.125B.80C.25D.20解：（112115=25%。故選：C。點撥：本題考查的主要內容是路程、時間和速度的應用問題；根據“一個數比另一個數多或少幾分之幾”的應用題進行分析；【解題方法提示】把這段路的長度看作單位“1”，則明明每小時行全程112，爸爸每小時行全程的115；那么明明的速度比爸爸的速度快：（1121提示：本題出錯率極高。往往誤寫算式為：（1512）÷15。【變式131】電視臺派人前往現場采訪，如果速度提高25%，可比原定時間提前6分鐘到達；如果每小時少行10千米，則將多用13解：路程一定，速度與時間成反比關系，由“如果每小時少行10千米，則將多用13原來速度：每小時少行10千米的速度比：（1+13=4：3，原來速度：10÷（43）×4=40（千米/時），由“如果速度提高25%，可比原定時間提前6分鐘到達”，知，原來時間：速度提高25%后的時間：（1+25%）：1=5：4，原來用時：6÷60÷（54）×5=0.5（小時），電視臺與采訪現場相距：40×0.5=20（千米）。答：相距20千米。點撥：認真體會兩個條件的同價應用技巧。【變式132】相同一段路程，轎車3小時行完，客車4小時行完，客車的速度比轎車的速度慢（）。A.75%

B.33.3%

C.25%解：同一路程，轎車要3小時，則每小時行總路程13客車要4小時，則每小時行總路程14客車的速度比轎車的速度慢：（1314=112÷=25%。故答案為：C.【變式133】一件工作，計劃5天完成，實際只用4天完成，工作效率提高了（）%．解：（1415=120÷=25%。答：工作效率提高了25%，【題型14百分數的應用（尋找不變量，統一單位“1”）】【例14】某校原有科技書、文藝書共6300本，其中文藝書占20%。后來又買進一些文藝書，這時文藝書占總數的30%，又買來文藝書多少本？解：科技書：6300×（120%）=6300×80%=5040（本），后來，文藝書、科技書共：5040÷（1﹣30%）=5040÷70%=7200（本），買進的文藝書：72006300=900（本）。答：后來又買進900本文藝書。點撥：原來文藝書占6300本的20%，則科技書點（1﹣20%），利用已知單位“1”用乘法，求出科技書本數；這些科技書，占后來總本數的（1﹣30%），利用未知單位“1”用除法，求出后來的總本數；后來的總本數減去原來的總本數就是后來買進的文藝書的本數。【變式141】（1）養兔場養的黑兔和白兔共64只，其中黑兔占25%，后來又買進一些黑兔，現在黑兔數量占黑白兔總數的40%，又買進多少只黑兔？解：64×（125%）÷（140%）64=16（只）。答：又買進16只黑兔。點撥：買進一些黑兔后，白兔的數量沒有發生變化。白兔的只數占原來黑兔和白兔總只數的（125%），求白兔的只數用乘法。（2）一個裝有彩球的口袋，紅球占總數量的512，后來又放進18個紅球，這時紅球占現在總量的2解：開始，紅球占其他彩球的：57后來，紅球占其他彩球的：21其他彩球：18÷（257=18÷9=14（個）。紅球：2×14=28（個），共：14+28=42（個）。答：現有彩球42個。點撥：利用不變量其他彩球的個數，進行解答。【變式142】一棵桃樹上有若干個桃子，一只猴子偷吃桃子。第一天偷吃這棵桃樹上桃子的110；第二天偷吃了剩下的19，第三天偷吃了剩下的18解：10÷[（1110）×（119）×（118=10÷[910×89×78×67×56×45×=10÷1=10×10=100（個）。答：原來桃樹上有100個桃子。點撥：10個桃子對應[（1110）×（119）×（118【變式143】學校里買回四種圖書，科技書的本數是文藝書的本數的34（或改成75%），連環畫的本數是其余三種書的本數的13，史地書的本數是其余三種書的本數的14（或改成解：文藝書占總數的：（111+311+4）÷（1+=（1141=1120×=1135四種書共有：80÷（11351=80÷4=80×35=700（本）。答：買回的四種書共有700本。點撥：四種書的總數是單位“1”，先將題中的分數根據分數的意義進行轉化，連環畫是其余三種書的13，則連環畫占總數的14；史地書是其余三種書的14，則史地書占總數的15；那么科技書和文藝書共占總數的114根據科技書是文藝書的34，求出文藝書占總數的1120×47根據“已知一個數的幾分之幾，求這個數”，用比較量÷對應分率=單位“1”的量，求出四種書共有：80÷（11351【題型15百分數的應用（鹽水或糖水濃度問題）】【例15】一種鹽水的含鹽率是10%，鹽與水的比是（）A.1：10B.1：11C.1：9解：含鹽率10%，表示：鹽10，鹽水100，鹽10010=90。鹽：水=10：90=1：9。答：鹽與水的比是1：9;故選C．點撥：根據“鹽水的含鹽率是10%，”把鹽看做10份，鹽水是100份，則水是（10010）份，鹽和鹽水的比即可求出．【變式151】甲容器盛有4千克含鹽15%的鹽水，乙容器盛有6千克含鹽10%的鹽水．把兩個容器的鹽水混合在一起，含鹽率是多少？解：甲容器含鹽：4×15%=4×0.15=0.6（千克），乙容器含鹽：6×10%=6×0.1=0.6（千克），混合在一起共含鹽：0.6+0.6=1.2（千克），混合在一起總重量：4+6=10（千克），混合在一起含鹽率：1.2÷10×100%=0.12×100%=12%。答：含鹽率是12%。【變式152】下面四杯糖水中，最甜的一杯是（D）。A.糖和水的比是1:9B.20克糖配成200克糖水C.200克水中加入20克糖D.含糖率12%解：A：1÷（1+9）×100%=10%B：20÷200×100%=10%C：20÷（20+200）≈9%D：12%故D中的糖水，所以糖水最甜。點撥：最甜，就是含糖率最高。【變式153】有一杯300g的糖水，含糖率是60%。明明覺得這杯糖水太甜了，想再加一些水變成含糖率是40%的糖水，需要加水多少克？（說明：含糖率指糖占糖水的百分之幾）解：300×60%=180（克），180÷40%300=150（克），答：需要加水150克。點撥：首先，根據求一個數的百分之幾是多少用乘法計算，用300g乘以60%即可得到這杯水含多少g糖；然后，用糖的克數除以最終的含糖率40%可得最終糖水的總量，進而得到加水量。【題型16百分數的應用（盈虧問題）】【例16】一件商品的進價加上40元是定價，一位顧客買這種商品打九折（按定價的90%出售），商場還賺12元，這種商品的進價是多少錢？解法1：定價：（4012）÷（190%）=28÷10%=280（元）。進價：28040=240（元）。答：這種商品的進價是240元。點撥：盈虧問題中的“盈、盈”型，（大盈小盈）÷分配差=定價。如果不打折（即按定價100%出售），那么盈利40元；打九折（按定價90%），盈利12元。按盈盈問題公式，求出定價，定價減40元，得進價。解法2：（40×90%12）÷（190%）=24÷10%=240（元）。答：這種商品的進價是240元。點撥：分量÷對應分率=單位“1”。公式簡單，解答過程不容易思考與理解。解法3：設進價為x元，則（x+4）×90%x=12，x=240。答：這種商品的進價是240元。點撥：方程法，小學階段列方程簡單，解方程難。綜上，利用盈虧問題解答問題，比較簡單。【變式161】有一種商品如果按現價降低10%出售，盈利200元；如果按現價降低20%出售后，則虧損220元。這種商品的進價是多少元？解：現價：（200+220）÷[（110%）（120%）]=420÷0.1=4200（元）；進價：4200×（120%）+220=3360+220=3580（元）。答：這種商品的進價是3580元。點撥：盈虧問題中的“盈、虧”型，（盈+虧）÷分配差=現價。分配差為[（110%）（120%）]，而不是（20%10%），雖然值相等，但含義不同。【變式162】百貨商場出售一臺洗衣機，如果按定價的90%出售，商場賺80元；如果按定價的75%出售，商場賠70元。這臺洗衣機的定價是多少元？解：（80+70）÷（90%75%）=150÷15%=1000（元）。答：這臺洗衣機的定價是1000元。點撥：思考，如何求進價？【變式163】蘇寧電器商場處理一批TCL電視機，如果打七五折銷售，就要虧損750元；如果降價15%，還可盈利350元，這種TCL電視機進價是多少元？解：定價：（750+350）÷[（115%）75%]=1100÷10%=11000（元），進價：11000×75%+750=8250+750=9000（元）。答：這種TCL電視機進價是9000元。點撥：盈虧問題中的“盈、虧”型，（盈+虧）÷分配差=定價。注意，分配差為[（115%）75%]，求出定價后，再求進價。【題型17百分數的應用（一倍量問題）】【例17】715解：60%=35（157）÷（53）=4，同時加的數為：3×47=5，或5×415=5。答：分子、分母同時加的這個數為5。點撥：715的分子、分母同時加上一個數后，差仍然是157=8，60%=35的分母、分子差為53=2，8÷2得到一份為4，所在35約分前的分子為：3×4=12，減去7【變式171】把一個數去掉百分號，就比原來增加49.5，這個數原來是多少？解法1：49.5÷（1001）=0.5。答：這個數原來是0.5。點撥：把一個數的百分號去掉后，擴大到原來的100倍，根據差倍問題公式，求解答案。附：差倍問題公式較小數=差÷（倍數1）較大數=較小數×倍數解法2：設這個數原來是x，去掉百分號為100x，100xx=49.599x=49.5x=0.5。答：這個數原來是0.5。【變式171】甲、乙兩桶油，甲桶中的油相當于乙桶的50%，從乙桶倒3升油給甲桶，此時，甲桶中的油相當于乙桶的80%，那么原來甲桶中有油多少升？解：原來甲桶油相當于兩桶油和的：50%÷（1+50%）=13，后來甲桶油相當于兩桶油和的：80%÷（1+80%）=49兩桶油的質量：3÷（49原來甲桶油重：27×13答：原來甲桶油有9升。【變式173】同學們從學校往景點走，這段路分為上坡、平路、下坡三段，各占全程的10%、20%、30%。走這三段路所用時間比是4:5:6。已知上坡速度是每小時3千米，路程全長12千米，問：到達目的地一共要多少小時？解：上坡、平路、下坡三段路程之比：10%：20%：30=1：2：3，上坡：12÷（1+2+3）×1=2（千米）。上坡路用時：2÷3=23全程用時：23=23×1=2.5（小時）。答：到達目的地一共要2.5小時。點撥：上坡、平路、下坡三段各段路程的長度比是1:2:3，不妨把上坡、平路、下坡三段路程分別看作是1份，2份，3份。那么一共全長是（1+2+3）份，對應總長度12千米，所以每1份長度是：12÷（1+2+3）=2（千米）。則上坡的路程長2千米。因為上坡速度是每小時3千米，可求出上坡的時間，再根據走這三段路所用時間比是4:5:6，求用的總時間。【題型18百分數的應用（容斥原理）】【例18】五年級同學訂閱《中國少年報》和《作文輔導報》這兩種報紙，訂閱報紙的人數占年級總人數的40%。訂閱《中國少年報》的人數占訂閱人數的40%，訂閱《作文輔導報》的人數占訂閱人數的34解：3415÷（75%+40%1）÷40%=15÷15%÷40%=250（人）。答：五年級有250人．點撥：根據容斥原理求出15人對應的分率，未知單位“1”用除法，利用分量÷對應的分率=單位“1”，求出訂報紙人數，再用訂閱報紙的人數除以40%就是全年級的人數。【變式181】某電視機廠計劃五月份生產5000臺電視機，實際上半月生產了計劃的35，下半月生產了計劃的7解：5000×（35+7答：這個月實際超額生產電視機1500臺。【變式182】某電視機廠計劃五月份生產6000臺電視機，實際上半月完成了計劃的35，下半月完成了計劃的62%。該廠這個月實際超額生產電視機多少臺？解：6000×（35+62%=6000×22%=1320（臺）。答：該廠這個月實際超額生產電視機1320臺。【變式183】商店對某飲料提出“第二杯半價”的促銷辦法，那么，若賣出兩杯這種飲料，就相當于按原件的（75）%銷售。答案：75。解：根據題意可知，第二杯飲料半價，所以買兩杯飲料共付1.5杯飲料的錢。而按原價需付2杯飲料的錢，則：1.5÷2=75%。即：賣出兩杯這種飲料，就相當于按原價的75%銷售。【題型19百分數的應用（方程思想）】【例19】某商場購進西瓜500個，運輸途中破裂一些，未破裂的西瓜賣完后，利潤率為40%，破裂的西瓜只能降價出售，虧了60%。最后發現，總利潤為32%，破裂了多少個西瓜？解：設碰裂了x個西瓜，由題意得：（500x）×（1+40%）+（160%）x=500×（1+32%）解得，x=40。答：運輸過程中破裂了40個西瓜。【變式191】某店原來將一批蘋果按100%的利潤定價出售。由于定價過高，無人購買，不得不按38%的利潤重新定價，這樣售出了其中的40%。此時，因害怕剩余水果腐爛變質，不得不再次降價，售出了剩余的全部水果，結果實際獲得的總利潤是原定利潤的30.2%，那么第二次降價后的價格是原定價的百分之幾？解：設第二次降價后，按x%的利潤定價，則38%×40%+（140%）x%=100%×30.2%0.152+0.6x%=0.3020.6x%=0.15x=25，所以此時的定價是：1+25%=125%，125%÷200%=62.5%。答∶第二次降價后的價格是原來定價的62.5%。【變式192】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，出發時他們的速度之比是3:2，他們第一次相遇后，甲速度提高了20%，乙速度提高了30%，這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有28千米，那么A、B兩地相距多少千米？解：相遇前甲、乙速度比為3:2，相遇時甲、乙分別走了全程的35和2相遇后，甲、乙速度比為（3×120%）:（2×130%）=18:13，A、B兩地間的距離為：28÷（3525×=28÷14=90（千米）答：A、B兩地間的距離是90千米。【變式193】成本是0.25元的練習本1200本，按40%的利潤定價出售，售完80%后，剩下的練習本打折銷售，售完全部練習本，結果獲得的利潤是預定的86%．剩下的練習本是打幾折出售的？解：設剩下的練習本是打x折出售的，可得：0.25×1200×40%×80%+[0.25×（1+40%）×x0.25]×1200×（180%）=0.25×40%×1200×86%96+（0.35x0.25）×1200×20%=103.296+（0.35x0.25）×240=103.296+84x60=103.284x=67.2x=80%．答：剩下的練習本是打8折出售的．【題型20百分數的應用（連比問題）】【例20】甲與乙的比是5:6，乙與丙的比是4:5，乙比丙少百分之幾？丙比甲多百分之幾？解：依據題意得知，5:6=10:12，4:5=12:15。甲、乙、丙之比是10:12:15，乙比甲少：（1512）÷15=3÷15=0.2=20%，丙比甲多：（1510）÷10=5÷10=0.5=50%。答：乙比丙少20%，丙比甲多50%。點撥：依據比的基本性質，比的前后項同時乘2，得出甲:乙:丙=10:12:15，那么就可以分別把甲、乙、丙看作10、12、15；要求乙比丙少百分之幾，就是乙、丙之差再除以丙，據此解答；要求丙比甲多百分之幾，就是甲、丙之差再除以甲，據此解答。 【變式201】一個水果店購進蘋果的重量比橘子的多25%，橘子與菠蘿的重量之比是6:5，蘋果比菠蘿多160千克，商店購進菠蘿多少千克？解：蘋果：橘子：菠蘿=6（1+25%）：6：5=15：12：10。菠蘿：160÷（1510）×10=320（千克）。答：商店購進菠蘿320千克。點撥：思維順序如下，先排序：估計就是比橘子多，橘子比菠蘿重；找單位“1”：設菠蘿為“5”；再用單位“1”表示其他量：橘子為6，蘋果為6（1+25%）=7.5；然后求三個量連比：蘋果：橘子：菠蘿=7.5：6：5=15：12：10。再求出一份量，乘所占份數，即得答案。【變式202】甲、乙、丙三人合購一臺空調，甲付錢數的13等于乙付錢數的14，等于丙付錢數的2解：甲:乙:丙=6:8:5，140÷（65）×（6+8