專題6.5數列的綜合應用課標要求考情分析核心素養1.能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題,感受數學模型的現實意義與應用；2.了解等差數列與一元一次、二次函數、等比數列與指數函數的聯系,感受數列與函數的共性與差異,體會數學的整體性.新高考近3年考題題號考點數學抽象數學運算邏輯推理2023(Ⅰ)卷//2024(Ⅱ)卷19數列的新定義問題2023(Ⅰ)卷21數列與概率統計的綜合2023(Ⅱ)卷18數列不等式的證明2022(Ⅰ)卷17數列不等式的證明2022(Ⅱ)卷//1.數列與函數的綜合數列是一種特殊的函數，它的圖象是一些孤立的點，此類問題大部分要歸于對函數性質的研究，解題時要注意數列與函數的內在聯系，靈活運用函數的思想求解.2.數列與不等式判斷數列中的不等關系，可以利用數列的單調性比較大小，或者借助數列對應的函數的單調性比較大?。粩盗兄械暮愠闪栴}，可轉化為函數求最值問題解決；數列中的不等式證明問題，可構造函數進行證明，或者采用放縮法進行證明.3.數列在實際應用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數，則該模型是等差模型，這個固定的數就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的非零常數，則該模型是等比模型，這個固定的數就是公比.(3)遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮考查的是第n項an與第n+1項an+1的遞推關系還是前n項和Sn與前n+11.【人教A版選擇性必修二4.2.2練習5P24】記不超過x的最大整數為[x]，如[?0.5]=?1，[π]=3.已知數列{an}的通項公式an=[log28n]，設數列{anA.5 B.6 C.15 D.162.【人教A版選擇性必修二4.3.1例4P31】習近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環保、節能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業發展的方向．工業部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺16200元，第一年每臺設備的維修保養費用為1100元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益8100元．(1)每臺充電樁第幾年開始獲利？(2)每臺充電樁在第幾年時，年平均利潤最大．考點考點一數列與函數、不等式的交匯【典例精講】例1.(2023·重慶市期末)已知數列an滿足an+1=12an?12，aA.116,+∞ B.18,+∞ C.例2.(2024·山東省淄博市月考)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，aA.{an+1an}是遞增數列 B.{an+1例3.(2023·江蘇省南京市期末)設Sn是數列{an}的前n項和，Sn=32an?3n+1，則a【方法儲備】數列與函數、不等式的綜合問題關鍵在于通過函數關系尋找數列的遞推關系，求出數列的通項或前n項和，再利用數列或數列對應的函數解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明．1.數列與函數的綜合問題：①已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般是利用函數的性質、圖象研究數列問題；②已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.2.數列與不等式的綜合問題：1.函數法：即構造函數，通過函數的單調性、極值等得出關于正實數的不等式，通過對關于正實數的不等式賦特殊值得出數列中的不等式.2.比較法：作差或者作商進行比較.3.放縮法：一是在求和中將通項“放縮”為“可求和數列”；二是求和后再“放縮”.4.數列中不等式恒成立問題：數列中有關項或前n項和的恒成立問題，往往轉化為數列的最值問題；求項或前n項和的不等關系可以利用不等式的性質或基本不等式求解.【拓展提升】練11(2024·四川省德陽市月考)數列{an}的前n項和為Sn，且a1+3a2+…+3nA.[?3,4] B.[?22,22]練12(2024·安徽省合肥市月考)已知數列{an}(1)求證數列{1an(2)設Tn=a1a考點二數列的實際應用考點二數列的實際應用【典例精講】

例4.(2023·湖北省孝感市模擬)為響應國家號召，某地出臺了相關的優惠政策鼓勵“個體經濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優價廉，供不應求.據測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續，預計到2023年5月底他的年所得收入(扣除當月生活費且還完貸款)為

元(參考數據:1.211≈7.5，1.A.35200 B.43200 C.30000 D.32000例5.(2023·湖南省株洲市月考)已知數列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+1，bn=2n，設數列{an}和{bn}中的所有項分別構成集合A，B，定義集合A?B={x|x∈A且A.1630 B.1632 C.1908 D.1910【方法儲備】解答數列實際應用問題的步驟:1.確定模型類型：理解題意，判斷符合哪類數列模型，一般有等差數列模型、等比數列模型、簡單遞推數列模型．基本特征如下：=1\*GB2⑴等差數列模型：均勻增加或者減少；=2\*GB2⑵等比數列模型：指數增長或減少，常見的是增產率問題、存款復利問題；=3\*GB2⑶簡單遞推數列模型：指數增長的同時又均勻減少．如年收入增長率為20%，每年年底要拿出a(常數)作為下年度的開銷，即數列an滿足an+1=1.2a2.準確解決模型：解模就是根據數列的知識，求數列的通項、數列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時要注意運算準確．3.給出問題的回答：實際應用問題最后要把求解的數學結果化為對實際問題的答案，在解題中不要忽視了這點．【拓展提升】練21(2024·浙江省杭州市月考)某工廠去年12月試產1050個高新電子產品，產品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品.1月按去年12月的產量和產品合格率生產，以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%，產品合格率比前一個月增加0.4%.設從今年1月起(作為第一個月)，第

個月，月不合格品數量首次控制在100個以內.(參考數據：1．0510≈1.6，1．0511≈1.7，1．0512≈1.8練22(2024·湖北省咸寧市月考)三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓??一路走來，講述關于湖北的歷史人文、詩詞歌賦，為廣大網友帶來一場荊楚文化的饕餮盛宴，湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來了旅游熱潮，咸寧的大幕東源花谷，向陽湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來，現對3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節會部分游客做問卷調查，其中75%的游客計劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀念品;若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，則獲得2份文旅紀念品，假設每位來大幕東源花谷游覽的游客與是否參加“向陽花田”音樂會是相互獨立的，用頻率估計概率．(1)從大幕東源花谷的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數為X，求X的分布列及數學期望;(2)記n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為n+1個的概率為an，求{an}的前考點三數列的新定義問題考點三數列的新定義問題【典例精講】例6.(2023·浙江省溫州市聯考)（多選）定義Hn=a1+2a2+???+2n?1ann為數列an的“優值”.已知某數列A.數列an為等差數列 B.數列an為遞減數列

C.S20202020=20232 例7.(2023·湖北省十堰市模擬)若數列{an}的前n項和為Sn，bn=Snn，則稱數列{bn}是數列{an}的“均值數列”.已知數列{b(1)求數列{a(2)求實數m的取值范圍．【方法儲備】解數列中的新定義問題的解題步驟：=1\*GB3①讀懂定義,理解新定義數列的含義；=2\*GB3②利用新定義，求解數列模型：通過特例列舉(一般是前面一些項)尋找新定義數列的規律及性質,以及新定義數列與已知數列(如等差與等比數列)的關系,求解數列的通項，求和.【拓展提升】練31(2024·廣東省清遠市月考)（多選）歐拉函數φnn∈N?的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互質的正整數的個數(公約數只有1的兩個正整數稱為互質整數)，例如：φ3=2，φA.φ4?φ6=φ8 B.當n為奇數時，φn=n?1

C.數列φ2n練32(2024·湖南省長沙市月考)已知數列an滿足2an+1?a(1)求an(2)設an的前n項和為Sn，x表示不大于①求Sn②證明：當n≥2時，Sn1.(2024·四川省成都市月考)德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子．在其年幼時，對1+2+3+……+100的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成；因此，此方法也稱之為高斯算法．現有函數f(x)=4x4x+2，則A.1008 B.1009 C.2018 D.20192.(2024·江西省南昌市月考)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：223=223，338=338，4415=3.(2024·福建省龍巖市月考)（多選）已知數列an的首項為1，且an+1+an=(?1)n，Sn是aA.S2n=?n

B.數列an+(?1)n為等比數列

C.

【答案解析】教材改編1【人教A版選擇性必修二4.2.2練習5P24】解：∵an=[log28n]，

∴n=1時，a1=3；n=2時，a2=2；n=3，4時，an=1；n=5，6，7，8時，an=0；∴S8=7．

n=9，10，11，12，13，14，15時，an=?1．n=16時，an=?1．n≥17時，教材改編2【人教A版選擇性必修二4.3.1例4P31】解：(1)每年的維修保養費用是以1100為首項，400為公差的等差數列，

設第n年時累計利潤為f(n)，則fn=8100n?1100n+400nn?12?16200=?200n2+7200n?16200=?200n2?36n+81，

開始獲利即f(n)>0，∴?200(n2?36n+81)>0，

即n2?36n+81<0，解得18?93<n<18+9例1解：由an+1=12an?12，an+1+1=12(an+1)，

∴{an+1}是以12為首項，12為公比的等比數列，即an+1=12n,??an=12n?1，

若對任意的正整數n，(n?3)(an例2解：由題意易得an>0，由anan+2=an+12+n得an+2an+1=an+1an+nanan+1>an+1an≥a2a1=2，所以A正確;

因為an=anan?1?an?1an?2?a2a例3解：當n=1時，a1=S1=32a1?32，得a1=18．

當n≥2時，Sn?1=32an?1?3n，Sn=32an?3n+1，

兩式相減得an=32an?32an?1?2×3n，得an=3an?1+4×3n，所以a練11解：根據題干，a1+3a2+…+3n?1an=n·3n，①

當n≥2時，a1+3a2+…+3n?2an?1=(n?1)·3n?1，②

①?②得：當n≥2時，3n?1·an=n?3n?(n?1)·3n?1=(2n+1)·3n?1，

∴當n≥2時，an=2n+1，當練12解：(1)∵a1a2???an=1?an(1)，

∴a1a2???anan+1=1?an+1(2)，

由(2)(1)得：an+1=1?an+11?an，即an+1=12?an，an+1?1=an?12?an，

例4解：設2022年6月底小王手中有現款為a1=(1+20%)×8000?800=8800元，

設2022年6月底為第一個月，以此類推，

設第n個月底小王手中有現款為an，第n+1個月月底小王手中有現款為an+1，

則an+1=1．2an?800，即an+1?4000=1.2(an?4000)，

所以數列{an+1?4000}是首項為例5解：∵a30=91，

b6=64<91<b7=128，

所以S30中要去掉數列bn的項最多6項，

數列bn的前6項分別為2,4,8,16,32,64，

其中4,16,64三項是數列an和數列bn的公共項，

所以cn前30項由an練21解：設從今年1月起，各月的產量及不合格率分別構成數列an,bn，

由題意，知an=1050×則從今年1月起，各月不合格產品數量是an又an+1所以當n<6時，anbna1計算可知a12a13所以，當13≤n≤24時,a所以，從今年1月起(作為第一個月)，第13個月，月不合格品數量首次控制在100個以內．練22解：(1)由題可得每位游客只游覽大幕東源花谷的概率為34，得到1份文旅紀念品;

既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會的概率為14，獲得2份文旅紀念品，

則X的可能取值為3，4，5，6，

其中P(X=3)=(34)3=2764，P(X=4)=CX3456P272791E(X)=3×2764+4×2764+5×964+6×164=154；

(2)因為n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為n+1個，

則只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽花田”音樂會，

于是an=Cn1?例6解：依題意可得Hn=a1+2a2+…+2n?1ann=2n，

∴a1+2a2+…+2n?1an=n?2n．

a1+2a2+…+2n?1an+2nan+1=(n+1)?2n+1，

∴2n例