第五節：數的運算（二）簡便運算運用運算定律進行簡算【例1】1.計算4.8×12.5＝0.6×（8×12.5），運用到的運算定律是（）；計算4.8×12.5＝4×12.5＋0.8×12.5，運用到的運算定律是（）。A.乘法交換律、加法結合律 B.乘法分配律、乘法交換律 C.乘法結合律、乘法分配律 D.加法結合律、乘法分配律【答案】C【解析】【分析】把4.8化為（0.6×8）再利用乘法結合律，（8×12.5）結合在一起剛好是100，可以使計算更加簡便；把4.8化為（4＋0.8）利用乘法分配律，兩個數的和乘同一個數，可以把兩個加數分別和這個數相乘，再把結果相加，這樣計算更加簡便，據此解答?！驹斀狻?.8×12.5＝0.6×8×12.5＝0.6×（8×12.5）＝0.6×100＝60分析可知，計算4.8×12.5＝0.6×（8×12.5），運用到乘法結合律。4.8×12.5＝（4＋0.8）×12.5＝4×12.5＋0.8×12.5＝50＋10＝60分析可知，計算4.8×12.5＝4×12.5＋0.8×12.5，運用到乘法分配律。故答案為：C【點睛】整數乘法運算定律對于小數乘法同樣適用，運用運算定律可以使計算更加簡便、準確?！咀兪?】2.用簡便方法計算。88×125【答案】11000【解析】【分析】把88拆成80與8的和，再利用乘法分配律進行計算即可。【詳解】

【例2】3.下圖豎式計算中所使用的運算定律是（）。A.加法結合律 B.乘法結合律 C.乘法分配律 D.乘法交換律和結合律【答案】C【解析】【分析】由算式可知，求3.14×12的結果，把12拆成10＋2，然后根據乘法分配律，兩個數的和與一個數相乘，可以把它們與這個數分別相乘，再相加。據此解答即可?！驹斀狻坑煞治隹芍喊沿Q式化為脫式為：3.14×12＝3.14×（10＋2）＝3.14×10＋3.14×2＝31.4＋6.28＝37.68所以所使用的運算定律是乘法分配律。故答案為：C【點睛】本題考查小數乘法，明確小數乘法的計算方法是解題的關鍵?！咀兪?】4.計算793×62的時候，要先用793×6，再用793×2，再把兩個結果一加。（）【答案】×【解析】【分析】計算三位數乘兩位數時，先用兩位數個位上的數去乘三位數，得數的末尾和三位數的個位對齊。再用兩位數十位上的數去乘三位數，得數的末尾和三位數的十位對齊。最后把兩次的積加起來；據此解答即可?！驹斀狻坑嬎?93×62的時候，要先用793×2，得數的末尾和三位數的個位對齊。再用793×6，得數的末尾和三位數的十位對齊。再把兩個結果加起來。故答案為：×?！军c睛】熟練掌握三位數乘兩位數的計算方法是解決本題的關鍵?！纠?】5.用簡便方法計算。9999×2222＋3333×3334【答案】33330000【解析】【分析】把9999看作是3333與3的積，利用乘法結合律，把9999×2222變為：（3333×3）×2222＝3333×（3×2222）；把3334看作是3333與1的和，利用乘法分配律，把3333×3334變為：3333×（3333＋1）＝3333×3333＋3333×1；最后再利用乘法分配律，即可簡算【詳解】9999×2222＋3333×3334＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1）＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1＝3333×（6666＋3333＋1）＝3333×10000＝33330000【變式3】6.計算。111×3.7＋999×0.7【答案】1110【解析】【分析】經過觀察算式，發現999里面有9個111，可以把999拆分為111×9，然后先計算9×0.7，原式化為：111×3.7＋111×6.3，此時再運用乘法分配律即可。【詳解】111×3.7＋999×0.7＝111×3.7＋111×9×0.7＝111×3.7＋111×6.3＝111×（3.7＋6.3）＝111×10＝1110運用運算性質進行簡算【例4】7.計算。（1）（2）5800÷4÷25（3）860÷（5×43）（4）12400÷25【答案】（1）；（2）58；（3）4；（4）496【解析】【分析】（1）先去掉小括號，再交換后面兩個分數的位置，然后按照從左往右的順序計算；（2）利用除法性質簡便計算；（3）先去掉括號，再交換后面兩個數的位置，然后按照從左往右的順序計算；（4）先把12400化為（124×100），再計算（100÷25）的商，最后計算124×（100÷25）的積，據此解答。【詳解】（1）＝＝＝＝（2）5800÷4÷25＝5800÷（4×25）＝5800÷100＝58（3）860÷（5×43）＝860÷5÷43＝860÷43÷5＝20÷5＝4（4）12400÷25＝124×100÷25＝124×（100÷25）＝124×4＝496【變式4】8.計算。（1）7.75－2.46＋3.25－7.54（2）20.5÷1.25÷0.8【答案】（1）1；（2）20.5【解析】【分析】（1）先根據加法交換律交換第二項和第三項的位置，注意帶著符號搬家；再根據加法結合律及減法的性質進行簡算。（2）根據除法的性質進行簡算?！驹斀狻浚?）7.75－2.46＋3.25－7.54＝7.75＋3.25－2.46－7.54＝（7.75＋3.25）－（2.46＋7.54）＝11－10＝1（2）20.5÷1.25÷0.8＝20.5÷（1.25×0.8）＝20.5÷1＝20.5特殊的簡算9.計算：【答案】【解析】【分析】本題主要考查應用拆分法簡算的能力。算式中的每個加數都可以拆分成兩個數的差，即，，，，…其中一部分分數可以互相抵消，使計算簡便?！驹斀狻浚?－＋－＋－＋－＋?＋－＝1－＝10.計算?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥恳驗椋?，＝，＝，＝，＝，然后把原式化為，然后運用加法交換律和結合律進行計算即可。詳解】＝＝＝11.想一想，算一算?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹斀狻克悸芬龑ㄟ^觀察可以發現這個算式中的每個加數都為單位分數（分子為1），且分母從2開始依次乘2。畫正方形圖理解算法如下：從圖中可以看出：如果先借來一個就得到“1”，然后從1中把借來的減去即為所求結果。正確解答：＝1－＝（1）畫圖有助于找到轉化的方法。（2）對于一些復雜的算式，可以根據算式中各數的特點，把原算式轉化成簡單的算式。12.計算。【答案】【解析】【分析】通過觀察可知，后一個分數是前一個分數的，可把每個分數拆成兩個分數相減的形式，然后通過加減相互抵消，求出結果?！驹斀狻浚剑剑剑?3.計算。805＋798＋801＋802＋797＋794【答案】4797【解析】【分析】在計算805＋798＋801＋802＋797＋794時，觀察數字的特點，可根據“湊整法”把每個加數看作是和它接近的數800來進行計算?！驹斀狻?05＋798＋801＋802＋797＋794＝800＋5＋800－2＋800＋1＋800＋2＋800－3＋800－6＝800×6＋（5－2＋1＋2－3－6）＝4800＋（5＋1－6）＋（2－2）－3＝4800＋0＋0－3＝4800－3＝479714.計算。1000＋997＋1002＋995＋998＋1003【答案】5995【解析】【分析】先把1002化為1000＋2，把1003化為1000＋3，再利用加法交換律和加法結合律簡便計算，據此解答。【詳解】1000＋997＋1002＋995＋998＋1003＝1000＋997＋1000＋2＋995＋998＋1000＋3＝1000＋1000＋1000＋997＋3＋998＋2＋995＝（1000＋1000＋1000）＋（997＋3）＋（998＋2）＋995＝3000＋1000＋1000＋995＝5995建議用時：30min一、填空。15.（）（）（）（）。【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】根據分數四則運算各部分之間關系：加數＝和－另一個加數，被減數＝減數＋差，一個因數＝積÷另一個因數，被除數＝商×除數進行解答即可?！驹斀狻?－＝；1＋＝；1÷＝；1×＝?！军c睛】此題考查的是分數四則運算各部分之間關系，靈活運用四則運算各部分之間關系是解題關鍵。16.在括號里填上“＞”“＜”或“＝”。1.98×0.99（）1.989.24×0.21（）9.24÷0.21.1.96×9.9（）196×0.992.55÷3.5（）2.55÷5÷0.7【答案】①.＜②.＜③.＜④.＝【解析】【分析】小數乘法計算中：一個數（0除外）乘小于1的數，積小于這個數；一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數；小數除法計算中：一個數（0除外）除以小于1的數，商大于這個數；一個數（0除外）除以大于1的數，商小于這個數；只有小數點位置不同兩個乘法算式比較大小時，只比較因數中的小數位數即可；根據除法性質，連續除以兩個數（0除外），等于除以這兩個數的積；據此解答。【詳解】因為0.99小于1，所以1.98×0.99＜1.98；因為0.21小于1，所以9.24×0.21＜9.24，9.24÷0.21＞9.24，即9.24×0.21＜9.24÷0.21；算式1.96×9.9與196×0.99不同之處在積的小數位數，1.96×9.9的結果是三位小數，196×0.99的計算結果是兩位小數，所以1.96×9.9＜196×0.99；因為2.55÷5÷0.7＝2.55÷（5×0.7）＝2.55÷3.5；所以2.55÷3.5＝2.55÷5÷0.7。【點睛】此題考查了小數乘除法的計算與比較大小，關鍵能夠掌握便捷的比較方法。17.0.5×6.2×0.4＝6.2×（0.5×0.4）運用了乘法（）律。【答案】交換和結合【解析】【分析】根據乘法交換律，兩數相乘，交換因數的位置，積不變，觀察算式，交換了0.5和6.2的位置；再根據乘法結合律，三個數相乘，先算前兩個數或先算后兩個數，積不變，為了簡便運算，先求出0.5和0.4的積。據此填空即可?！驹斀狻坑煞治隹芍?.5×6.2×0.4＝6.2×（0.5×0.4）運用了乘法交換和結合律?！军c睛】本題考查小數乘法運算定律，熟記乘法交換律和結合律是解題的關鍵。18.李明在計算10×（＋0.5）時，錯算成10×＋0.5，兩個得數相差（）。【答案】4.5【解析】【分析】此題用特值法，假設＝1.5，然后分別求出兩個算式的結果，再相減即可?！驹斀狻考僭O＝1.510×（＋0.5）＝10×（1.5＋0.5）＝10×2＝2010×＋0.5＝10×1.5＋0.5＝15＋0.5＝15.520－15.5＝4.5則兩個得數相差4.5?！军c睛】本題考查小數乘法，運用特值法可快速解題。19.，，則m÷n＝（）。【答案】2.4【解析】【分析】根據小數除法的計算方法及商不變的性質，將m和n的小數點同時向右移動11位，商不變，則此時m÷n＝96÷40，據此填空即可?！驹斀狻?6÷40＝2.4則m÷n＝2.4【點睛】本題考查小數除法，明確小數除法的計算方法是解題的關鍵。二、選擇。20.A÷0.1＝B×10（A、B兩數均不為0），那么A、B兩數的關系是（）。A.A是B的10倍 B.B是A的10倍 C.A是B的20倍 D.A等于B【答案】D【解析】【分析】一個不為0的數除以0.1相當于這個數擴大到原來的10倍，利用等式的性質2，等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等，等式兩邊同時乘0.1，即可求得A、B兩數的關系，據此解答。【詳解】A÷0.1＝B×10（A、B兩數均不為0）A÷0.1×0.1＝B×10×0.1A＝B所以，A、B兩數的關系是A等于B。故答案為：D【點睛】靈活運用等式的性質2是解答題目的關鍵。21.下列各式中，與2.5×4.4結果相等的是（）。A.2.5×4×0.4 B.2.5×5－0.6 C.2.5×4＋0.4 D.2.5×4×1.1【答案】D【解析】【分析】先求出2.5×4.4的結果，再分別求出各項的結果，然后與原式的結果對比即可。【詳解】2.5×4.4＝11A．2.5×4×0.4＝10×0.4＝4B．2.5×5－0.6＝12.5－0.6＝11.9C．2.5×4＋0.4＝10＋0.4＝10.4D．2.5×4×1.1＝10×1.1＝11故答案為：D【點睛】本題考查小數乘法運算定律，熟練運用乘法結合律和乘法分配律是解題的關鍵。22.關于“運算定律和性質”，下面說法正確的是（）A.使用運算定律，一定能讓計算過程簡便B.25×44＝25×4×11，該題運用了乘法分配律進行簡便計算C.×111＝×110＋，該題運用了乘法結合律進行簡便計算D.78﹣4.7＋22﹣15.3，該題綜合運用加法交換律與減法的性質，可以使計算簡便【答案】D【解析】【詳解】A：運用運算定律可以使計算簡便，可以改變原來的運算順序，但是不一定能讓計算過程簡便；原選項說法錯誤；B：25×44＝25×4×11，運用了乘法結合律；原選項說法錯誤；C：×111＝×110＋，該題運用了乘法分配律；原選項說法錯誤；D：78﹣4.7＋22﹣15.3＝78＋22﹣4.7﹣15.3所以加法交換律與減法的性質，原選項說法正確；故答案為：D23.同學們在計算時，出現了下面4種不同的計算方法，其中正確的是（）。A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】括號中兩個分數的分母都是12的因數，計算時可以利用乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac簡便計算，據此解答?！驹斀狻浚剑?0＋9＝19故答案為：B【點睛】本題主要考查乘法運算定律的應用，整數乘法運算定律對于分數乘法同樣適用。24.，這是應用（）計算的。A.乘法交換律 B.乘法結合律 C.乘法分配律【答案】C【解析】【分析】乘法交換律：交換兩個因數的位置，積不變；乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或先把后兩個數相乘，積不變；乘法分配律：兩個數相加（或相減）再乘另一個數，等于把這個數分別同兩個加數（減數）相乘，再把兩個積相加（相減），得數不變；據此解答。【詳解】根據分析，乘法交換律與乘法結合律適用于只有乘法的運算中，題目中的分數的分母是19，將因數39拆分成含有19公倍數的加法算式，再用乘法分配律進行簡算。故答案為：C【點睛】此題考查了分數乘法計算時使用運算定律判斷，關鍵熟記各個運算定律的特征。25.如圖，兩條直線相交形成四個角，可以用推理說明圖中的∠1＝∠3，推理過程：因為：∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°（平角等于180°）所以：∠1＋∠2＝∠2＋∠3，也就有：∠1＝∠3，這里運用了（）。A.加法交換律 B.等式的性質 C.加法結合律 D.加法的性質【答案】B【解析】【分析】根據平角的意義，有∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，然后利用等式的基本性質：等式的兩邊同時加或減去同一個數，等式的大小不變，據此解答。【詳解】∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°（平角等于180°）所以∠1＋∠2＝∠2＋∠3，也就有：∠1＝∠3，這里運用了等式的性質。故答案為：B【點睛】本題主要考查角的度量以及等式的性質，關鍵是利用平角的意義進行推理計算。26.小樂在計算（□）時，看成了□，結果會（）。A.不變 B.多 C.少 D.少【答案】D【解析】【分析】利用乘法分配律去掉（□）的括號，再比較所求結果與□的大小關系，并計算出差?！驹斀狻浚ā酰健酰健酰酰尽酢酰ā酰健酰酰剑ā酰酰ǎ接缮峡芍蠼Y果比原來少。故答案為：D【點睛】整數乘法的運算定律對于分數乘法同樣適用。三、脫式計算，能簡算的要簡算。27.脫式計算，能簡算的要簡算。0.45×37＋64×0.45－0.4567×9.9＋3.3×9937.5×＋75%×37.5【答案】45；990；37.5；；8；【解析】【分析】（1）利用乘法分配律簡便計算；（2）根據積的變化規律，把67×9.9化為6.7×99，再利用乘法分配律簡便計算；（3）先把百分數化為最簡分數，再利用乘法分配律簡便計算；（4）先把化為，再利用乘法分配律簡便計算；（5）先去掉小括號，再利用加法交換律計算同分母分數，然后計算中括號里面的分數減法，最后計算括號外面的分數除法；（6）先把化為，再把分數除法化為分數乘法，最后利用乘法分配律簡便計算。【詳解】（1）0.45×37＋64×0.45－0.45＝0.45×（37＋64－1）＝0.45×100＝45（2）67×9.9＋3.3×99＝6.7×99＋3.3×99＝（6.7＋3.3）×99＝10×99＝990（3）37.5×＋75%×37.5＝37.5×＋×37.5＝37.5×（＋）＝37.5×1＝37.5（4）＝＝＝＝（5）＝＝＝＝＝8（6）＝＝＝＝＝＝28.脫式計算，能簡算的要簡算。99999×77778＋33333×66666【答案】9999900000【解析】【分析】先把66666化為3×22222，再利用乘法分配律簡便計算，據此解答?！驹斀狻?9999×77778＋33333×66666＝99999×77778＋33333×3×22222＝99999×77778＋99999×22222＝99999×（77778＋22222）＝99999×100000＝999990000029.脫式計算，能簡算的要簡算。【答案】11110【解析】【分析】先把帶分數化為整數和真分數的和，再利用加法交換律計算同分母分數加法，然后把分數加法化為分數乘法求出