暑假5升6奧數專題：長方體和正方體綜合（試題）小學數學五年級下冊人教版一、選擇題1．把3個相同的小長方體拼成了1個15cm高的大長方體，表面積減少了，那么原來1個小長方體的體積是（

）。A．180 B．120 C．602．一個長方體表面積是130平方厘米，底面積是20平方厘米，底面周長是18厘米那么這個長方體的體積是（

）立方厘米。A．100 B．110 C．180 D．3603．莆田木雕是傳統藝術。如圖，一塊長方體木料沿高截去2厘米，變成一個正方體，表面積減少48平方厘米，原來長方體的體積是（

）。A．216立方厘米 B．72立方厘米 C．264立方厘米 D．288立方厘米4．一個長方體的長寬高都減少，它的體積減少（

）。A． B． C． D．5．如圖，在二行三列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子（相對面上分別標有1點和6點，2點和5點，3點和4點），在每一種翻動方式中，骰子不能后退。開始時骰子如圖（1）那樣擺放，朝上的點數是2；最后翻動到如圖（2）所示的位置，此時骰子朝上的點數不可能是下列數中的（

）。A．5 B．4 C．3 D．16．用棱長1cm的小正方體拼成如右圖的大正方體，并把它的表面涂上顏色。在這個拼成的大正方體中，沒有涂色的小正方體有多少塊？（

）A．1塊 B．2塊 C．3塊 D．4塊二、填空題7．一根長方體木料，長2m，寬0.5m，厚2dm，把它鋸成4段，表面積最少增加()dm2。8．一個底面是正方形的長方體，如果高增加1厘米，它的表面積就增加8平方厘米，如果這個長方體的高是15厘米，原來這個長方體的體積是()立方厘米。9．用一根鐵絲圍一個長12cm、寬10cm、高5cm的長方體框架，至少需要鐵絲()cm，這個長方體的體積是()cm3。如果將這根鐵絲改圍成一個正方體框架，這個正方體框架的表面積是()cm2。10．將一個表面涂色的大正方體每條棱長都平均分成4份，在沿線將它切開，一面涂色的小正方體有()個，沒有涂色的小正方體有()個。11．一個長方體，如果長減少3cm，剛好變成了一個正方體，表面積比原來減少了120cm2，原來這個長方體的體積是()，表面積是()。12．一個長方體如圖所示，沿橫截面切開兩次變成了三個相同的正方體，這時表面積增加了100平方厘米，這個長方體的體積是()。13．一個棱長都是整厘米數的長方體的表面積是110平方厘米，已知它的六個面中有兩個面的面積是大于1平方厘米的正方形，它的體積是()立方厘米。14．如圖，在內側棱長為20厘米的正方體容器內裝滿水。將這個容器按圖傾斜放置在桌面上，流出的水正好裝滿一個內側棱長為10厘米的正方體容器。圖中線段AB的長度是()厘米。三、解答題15．一只長方體的玻璃缸，長6分米，寬5分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一塊底面直徑和高都是4分米的圓柱體鐵塊，缸里的水溢出多少升？16．如圖，一個棱長為25厘米的正方體密閉容器內裝有一些水，在容器的底部粘著一個底面積為125平方厘米的長方體實心鐵塊，容器內水面高度恰好與鐵塊的上表面持平。把容器倒置過來后，仍有一部分鐵塊在水面以下，此時水面的高度為15厘米。這個長方體實心鐵塊的高度是多少厘米？17．一個長方體，它的高減少5厘米，就成為一個正方體，這時表面積比原來減少100平方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米？18．小丁有一塊長方體橡皮泥，長8厘米，橫截面是一個邊長為0.6厘米的正方形，如果要捏一個棱長為1.2厘米的小正方體，需要把這個長方體橡皮泥削去多少厘米？19．在一個長15分米，寬12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把兩條長6分米，寬3分米，高7分米的石柱立著放入池中，現在水深是多少？20．同學們，六年的小學時光即將結束，你一定學到了很多數學知識，掌握了很多本領吧！相信只要善于思考，靈活運用自己學過的知識，現在的你也能解決一些看似復雜的問題哦，一起來試試吧！小林家里有一個長方體水箱（如圖1），他以每分鐘25升的速度向這個水箱里注水。水箱的底面有一塊隔板（垂直于底面，不考慮厚度），將水箱隔為A、B兩個部分。過了一會兒，小林發現B部分的底有一個洞，水按每分鐘10升的速度往下漏。（如圖2）表示從注水開始A部分水的高度變化情況，觀察并思考下面的問題：

（1）隔板的高度是（

）分米。（2）注水36分鐘共漏出（

）升水。（3）小林調整了隔板高度，變為4分米，注水速度加快到每分鐘30升，漏水速度不變，其他條件也不變化，需要多少分鐘能使水箱A部分的水位達到8分米？

參考答案：1．C【分析】把3個相同的小長方體拼成了1個15cm高的大長方體，表面積減少了48cm2，減少的面積是小長方體的4個底面面積積，求出底面積，再乘高，求出3個長方體的體積之和，再求出一個小長方體體積即可。【詳解】（立方厘米）所以原來1個小長方體的體積是60立方厘米。故答案為：C【點睛】本題考查長方體的表面積和體積，解答本題的關鍵是掌握長方體的表面積和體積計算公式。2．A【分析】根據題意，要求長方體的體積，必須要知道長方體的長、寬和高，用表面積減去上下兩個底面面積，可求出剩下的四個側面面積：分別為長乘高的兩個面和寬乘高的兩個面，則側面積表示為：S＝2ah＋2bh，底面周長可以表示為：（a＋b）×2，將側面積公式變形為：S＝2h（a＋b），用四個面的面積除以底面周長可以求出長方體的高，再根據體積公式：V＝Sh求出長方體體積即可。【詳解】四個側面面積為：130－20×2＝130－40＝90（平方厘米）長方體高為：90÷18＝5（厘米）長方體體積為：20×5＝100（立方厘米）所以，該長方體體積為100立方厘米。故答案為：A【點睛】本題考查了長方體表面積和體積的計算，難度較大，主要是通過分析能求出長方體的高是解題的關鍵。3．D【分析】根據題意，長方體的高截去2厘米后，表面積減少48平方厘米，變成一個正方體，說明原來長方體的長、寬相等；減少的表面積是4個完全一樣的長方形的面積，長方形的寬是2厘米，長是原來長方體的長或寬，用減少的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以2，求出原來長方體的長、寬；再用長方體的長或寬加上2厘米，即是原來長方體的高；最后根據長方體的體積＝長×寬×高，求出原來長方體的體積。【詳解】長方體的長、寬是：48÷4÷2＝12÷2＝6（厘米）長方體的高是：6＋2＝8（厘米）長方體的體積是：6×6×8＝36×8＝288（立方厘米）原來長方體的體積是288立方厘米。故答案為：D【點睛】本題考查長方體表面積、體積公式的運用，關鍵是分析出減少的表面積是哪些面的面積，以此為突破口，求出原來長方體的長、寬、高是解題的關鍵。4．D【分析】一個長方體的長寬高都減少，也就是長、寬、高各縮小到原來的1－＝，則體積縮小到原來的××＝。將原體積看成單位“1”，用1減去縮小后的體積即可得解。【詳解】根據分析可知：1－＝則體積縮小到原來的：××＝縮小后的體積減少：1－＝故答案為：D【點睛】根據長方體的體積公式v＝abh和積的變化規律，積縮小的倍數等于因數縮小倍數的乘積。5．D【分析】根據正方體的特征可知，相對的面不相鄰；因為骰子只能向前，不能后退，所以有四種翻轉路徑，分四種情況討論。【詳解】如圖：路徑一：骰子滾動到位置①處，1點在下，則6點在上；滾動到位置②處，2點在下，則5點在上；滾動到③處，3點在下，則4點在上。路徑二：骰子滾動到位置①處，1點在下，則6點在上；滾動到④處，3點在下，則4點在上；滾動到③處，2點在下，則5點在上。路徑三：骰子滾動到位置⑤處，3點在下，則4點在上；滾動到④處，1點在下，則6點在上；滾動到③處，4點在下，則3點在上。路徑四：骰子滾動到位置⑤處，3點在下，則4點在上；滾動到④處，1點在下，則6點在上；滾動到①處，5點在下，則2點在上；滾動到②處，4點在下，則3點在上；滾動到③處，1點在下，則6點在上。所以最后朝上的可能性有3、4、5、6點，而不會出現1、2點。故答案為：D【點睛】本題考查正方體的特征，學生可以動手進行實物操作，培養學生的空間觀念。6．A【分析】沒有涂色的小正方體在大正方體的內部，用小正方體的總個數減去三面涂色的正方體個數（頂點上）減去兩面涂色的正方體個數（棱上）減去一面涂色的正方體個數（面上）解答即可。【詳解】小正方體總個數：3×3×3＝27（塊）三面涂色的小正方體個數（頂點上）：8塊兩面涂色的小正方體個數（棱上）：12塊一面涂色的小正方體個數（面上）：6塊沒涂色的小正方體個數：27－8－12－6＝1（塊）故答案為：A【點睛】本題考查根據圖形特征探索涂色的小正方體的塊數與大正方體的關系。7．60【分析】根據題意，把一根長方體木料鋸成4段，要鋸4－1＝3次；每鋸一次增加2個截面，鋸3次增加6個截面；要使表面積增加的最少，也就是平行與長方體的最小面鋸開，根據長方形的面積公式S＝ab，求出一個最小截面的面積，再乘6即可。注意單位的換算：1m＝10dm。【詳解】2m＝20dm0.5m＝5dm5×2＜20×2＜20×5（4－1）×2＝3×2＝6（個）5×2×6＝60（dm2）表面積最少增加60dm2。【點睛】掌握長方體切割的特點，明白要使表面積增加最少，要平行于長方體的最小面鋸開。8．60【分析】根據題意可知，一個長方體如果高增加1厘米，表面積就增加8平方厘米，那么增加的表面積是4個以長方體底面正方形的邊長為長，以增加的高度1厘米為寬的長方形面積之和，先用增加的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以增加部分的高度1厘米，就是長方體底面正方形的邊長；然后根據正方形的面積公式S＝a2，求出長方體的底面積，再根據長方體的體積公式V＝Sh，即可求出原來長方體的體積。【詳解】底面正方形的邊長：8÷4÷1＝2（厘米）體積：2×2×15＝4×15＝60（立方厘米）原來這個長方體的體積是60立方厘米。【點睛】首先應明確增加部分的面積是長方體的哪一部分，由此求出長方體底面正方形的邊長；然后利用長方體的體積計算公式解答。9．108600486【分析】根據題意，用一根鐵絲圍成一個長方體框架，那么鐵絲的長度等于長方體的棱長總和；根據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，即可求出這個鐵絲的長度；根據長方體的體積＝長×寬×高，求出這個長方體的體積。如果將這根鐵絲改圍成一個正方體框架，那么鐵絲的長度等于正方體的棱長總和；根據正方體的棱長總和＝棱長×12可知，正方體的棱長＝棱長總和÷12，求出這個正方體的棱長；再根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6，求出這個正方體框架的表面積。【詳解】長方體的棱長總和：（12＋10＋5）×4＝27×4＝108（cm）長方體的體積：12×10×5＝120×5＝600（cm3）正方體的棱長：108÷12＝9（cm）正方體的表面積：9×9×6＝81×6＝486（cm2）至少需要鐵絲108cm，這個長方體的體積是600cm3，這個正方體框架的表面積是486cm2。【點睛】本題考查長方體棱長總和、正方體棱長總和、長方體體積、正方體表面積公式的靈活運用，明確用同一根鐵絲圍成長方體或正方體框架，那么鐵絲的長度等于長方體或正方體的棱長總和。10．248【分析】根據題意，將一個表面涂色的大正方體每條棱長都平均分成4份，即每條棱有4個小正方體；一面涂色的小正方體位于大正方體每個面的中間，除去兩端各一個小正方體，每條棱上一面涂色的小正方體有（4－2）個，再根據正方體的表面積公式S＝6a2，即可求出一面涂色的小正方體的個數。沒有涂色的小正方體位于大正方體內部，內部每條棱上沒有涂色的小正方體有（4－2）個，再根據正方體的體積公式V＝a3，即可求出沒有涂色的小正方體的個數。【詳解】（4－2）×（4－2）×6＝2×2×6＝4×6＝24（個）（4－2）×（4－2）×（4－2）＝2×2×2＝8（個）一面涂色的小正方體有24個，沒有涂色的小正方體有8個。【點睛】本題考查正方體表面涂色的特點，明確三個面涂色的小正方體位于8個頂點處；兩面涂色的小正方體位于棱上（不包括8個頂點處的小正方體）；一面涂色的小正方體位于每個面的中間（不包括兩端的小正方體）；沒有涂色的小正方體在內部。11．1300cm3/1300立方厘米720cm2/720平方厘米【分析】根據題意，長方體的長減少3cm，表面積比原來減少了120cm2，減少的表面積是前后面與上下面共4個面的面積之和，因為長方體的長減少3cm，剛好變成了一個正方體，說明長方體的寬和高相等，那么減少的4個面完全相同；用減少的表面積除以4，求出減少的一個面的面積，再除以3，即可求出原來長方體的寬和高；然后用長方體的寬或高加上3cm，即是原來長方體的長；根據長方體的體積＝長×寬×高，長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據計算，即可求出原來這個長方體的體積和表面積。【詳解】原來長方體的寬、高：120÷4÷3＝10（cm）原來長方體的長：10＋3＝13（cm）體積：13×10×10＝1300（cm3）表面積：（13×10＋13×10＋10×10）×2＝（130＋130＋100）×2＝360×2＝720（cm2）原來這個長方體的體積是1300cm3，表面積是720cm2。【點睛】本題考查長方體表面積、體積公式的運用，利用減少的表面積和長減少3cm后變成一個正方體，求出原來長方體的長、寬、高是解題的關鍵。12．375立方厘米/375cm2【分析】根據題意，一個長方體沿橫截面切開兩次變成了三個相同的正方體，那么表面積增加了4個正方形截面的面積，用增加的表面積除以4，求出一個正方形截面的面積是100÷4＝25平方厘米；根據正方形的面積公式可知，25＝5×5，所以長方體的寬、高都是5厘米，長方體的長是5×3＝15厘米，然后根據長方體的體積公式V＝Sh，代入數據計算即可求出這個長方體的體積。【詳解】一個截面的面積：100÷4＝25（平方厘米）因為25＝5×5，所以長方體的寬、高都是5厘米；長：5×3＝15（厘米）體積：15×25＝375（立方厘米）這個長方體的體積是375立方厘米。【點睛】掌握長方體切割的特點，明確長方體切割成三個正方體，表面積增加4個正方形截面的面積，以此為突破口，求出一個截面的面積，進而求出長、寬、高，再利用長方體體積計算公式解答。13．75【分析】由于長方體中有兩個面為正方形，則長、寬、高中有兩條相等的棱，可設長為b，寬和高為a（a＞1），根據長方體表面積公式得：，化簡整理并分解因式得：（2b＋a）a＝55，由于a、b均為整數，且b＞1，則2b＋a和a都是55的因數，2a＋b＝11，a＝5符合題意；再解方程組可得b＝3，最后根據長方體體積＝長×寬×高，將數據代入即可。【詳解】解：設長為b厘米，寬和高為a厘米（b＞1）。（2b＋a）a＝55（2b＋a）a＝5×11當a＝5時，2b＋a＝112b＋5＝112b＋5－5＝11－52b＝62b÷2＝6÷2b＝3長方體體積：3×5×5＝75（立方厘米）【點睛】本題的關鍵是分解因數，得到長方體各邊的長。14．15【分析】如圖所示，把內側棱長為20厘米的正方體容器看作上下兩個長方體，流出水的體積等于上面長方體體積的一半，根據“正方體的體積＝棱長×棱長×棱長”求出倒出水的體積，下面長方體的體積＝內側棱長為20厘米的正方體的體積－倒出水的體積×2，AB相當于下面長方體的高，下面長方體的底面積為（20×20）厘米，最后根據“高＝長方體的體積÷底面積”求出線段AB的長度，據此解答。【詳解】倒出水的體積：10×10×10＝1000（立方厘米）下面長方體的體積：20×20×20－1000×2＝8000－2000＝6000（立方厘米）線段AB的長度：6000÷（20×20）＝6000÷400＝15（厘米）所以，圖中線段AB的長度是15厘米。【點睛】把大正方體分為兩個小長方體，把上面長方體的體積轉化為倒出水的體積的2倍，并掌握正方體和長方體的體積計算公式是解答題目的關鍵。15．44.24升【分析】已知長方體的玻璃缸沒有裝滿水，無水部分是一個長6分米，寬5分米，高（4－3.8）分米的長方體，根據長方體的體積＝長×寬×高，求出玻璃缸無水部分的體積；已知投入的圓柱體鐵塊的底面直徑和高，根據圓柱的體積公式V＝πr2h，求出這個鐵塊的體積；把鐵塊投入未裝滿水的玻璃缸中，玻璃缸先漲滿水，再溢出，所以溢出水的體積＝鐵塊的體積－玻璃缸無水部分的體積，然后根據進率：1立方分米＝1升，換算單位即可。【詳解】玻璃缸無水部分的體積：6×5×（4－3.8）＝6×5×0.2＝6（立方分米）鐵塊的體積：3.14×（4÷2）2×4＝3.14×22×4＝3.14×4×4＝50.24（立方分米）水溢出：50.24－6＝44.24（立方分米）44.24立方分米＝44.24升答：缸里的水溢出44.24升。【點睛】本題考查長方體、圓柱體積公式的運用以及體積、容積單位之間的換算。明確溢出的水是由哪些體積相減得到，然后根據體積公式列式計算。16．17厘米【分析】由題意可知，水的體積不變，設這個長方體實心鐵塊的高度是厘米。左圖中水面高度恰好與鐵塊的上表面持平，則水面高度是厘米，水的體積為（25×25×－125）立方厘米；右圖中鐵塊在水下的高度為[－（25－15）]厘米，水的體積為25×25×15立方厘米減去125×[－（25－15）]立方厘米，據此列方程解答。【詳解】解：設這個長方體實心鐵塊的高度是厘米。25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）]625－125＝9375－125×[－10]500＝9375－125＋1250500＝10625－125500＋125＝10625－125＋125625＝10625625÷625＝10625÷625＝17答：這個長方體實心鐵塊的高度是17厘米。【點睛】本題考查列方程解決問題，抓住水的體積不變得出等量關系，按等量關系列出方程。17．250立方厘米【分析】根據題意，長方體的高減少5厘米后，表面積減少100平方厘米，變成一個正方體，說明原來長方體的長、寬相等；減少的表面積是4個完全一樣的長方形的面積，長方形的寬是5厘米，長是原來長方體的長或寬，用減少的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以5，即可求出原來長方體的長、寬；再用長方體的長或寬加上5厘米，即是原來長方體的高；最后根據長方體的體積＝長×寬×高，求出原來長方體的體積。【詳解】原來長方體的長、寬：100÷4÷5＝25÷5＝5（厘米）原來長方體的高：5＋5＝10（厘米）原來長方體的體積：5×5×10＝250（立方厘米）答：原來的長方體的體積是250立方厘米。【點睛】本題考查長方體表面積、體積公式的運用，關鍵是分析出減少的表面積是哪些面的面積，以此為突破口，求出原來長方體的長、寬、高是解題的關鍵。18．3.2厘米【分析】根據題意，要捏一個棱長為1.2厘米的小正方體，根據正方體的體積公式V＝a3，即可求出小正方體的體積，也就是要捏成小正方體所需橡皮泥的體積；而這個正方體是原來長方體橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方體的體積等于截取一段長度后的長方體的體積；又已知長方體橡皮泥的橫截面是一個邊長為0.6厘米的正方形，根據正方形的面積公式S＝a2求出橫截面的面積，再根據h＝V÷S求出長方體橡皮泥的長度，再用原來的長度減去這個長度，即是要削去的長度。【詳解】小正方體的體積：1.2×1.2×1.2＝1.44×1.2＝1.728（立方厘米）長方體橡皮泥所需的長度：1.728÷（0.6×0.6）＝1.728÷0.36＝4.8（厘米）應削去：8－4.8＝3.2（厘米）答：需要把這個長方體橡皮泥削去3.2厘米。【點睛】本題考查正方體、長方體體積公式的靈活運用，明確正方體的體積和截取一段長度后長方體的體積相等是解題的關鍵。19．3.125分米【分析】根據題意可知，水池中水的體積不變，先根據長方體的體積＝長×寬×高，求出水池中水的體積；然后把兩條石柱立著放入池中，那么水池中水的底面積＝水池的底面積－兩條石柱的底面積，再根據長方體的高＝體積÷底