2.6.3函數的最值分層練習考點01：函數最值與極值的關系辨析1．判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）函數的最大值不一定是函數的極大值．()（2）函數在區間上的最大值與最小值一定在區間端點處取得．()（3）有極值的函數一定有最值，有最值的函數不一定有極值．()（4）若函數有兩個最值，則它們的和大于零．()【答案】正確錯誤錯誤錯誤【分析】利用極值與最值的關系判斷（1）；舉反例否定（2）,（3）,（4）.【詳解】（1）函數的最大值不一定是函數的極大值，可能是在區間端點處取得.判斷正確；（2）函數在區間上的最大值與最小值不一定在區間端點處取得，可能函數的極值．判斷錯誤；（3）函數在區間上有極大值，但沒有最小值.判斷錯誤；（4）函數在區間上最大值為0，最小值為，二者之和為小于0.判斷錯誤.故答案為：正確；錯誤；錯誤；錯誤2．函數的導函數的圖象如圖所示，則（

）A．是函數的極大值點B．在區間上單調遞增C．是函數的最小值點D．在處切線的斜率小于零【答案】B【分析】根據導函數圖象可判定導函數的符號，從而確定函數的單調性，得到極值點、最值點、切線斜率的正負．【詳解】根據導函數圖象可知：當時，，在時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，是函數的極小值點，故A錯誤，B正確；∴在上單調遞增，不是函數的最小值點，故C不正確；∴函數在處的導數大于，切線的斜率大于零，故D不正確.故選：B3．（多選）下列關于極值點的說法正確的是（

）A．若函數既有極大值又有極小值，則該極大值一定大于極小值B．在任意給定區間上必存在最小值C．的最大值就是該函數的極大值D．定義在上的函數可能沒有極值點，也可能存在無數個極值點【答案】BCD【分析】A選項可以舉出反例，C選項，可以結合函數的單調性，判斷出正確；D選項可以舉出例子，B選項，從函數的連續性上來進行解決.【詳解】A選項，例如，在處取得極小值，在處取得極大值，而，故極大值不一定大于極小值，A錯誤，C選項，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，根據極值的定義可知：在處取得極大值，也是最大值，C正確；對于D，無極值點，有無數個極值點，D正確；在R上為連續函數，因為連續函數在閉區間上必定存在最值，所以B正確；故選：BCD．考點02：由導數求函數的最值(不含參)4．函數在區間上的（

）A．最小值為0，最大值為B．最小值為0，最大值為C．最小值為，最大值為D．最小值為0，最大值為2【答案】B【分析】先求得函數的導數，進而得到在區間上單調性，即可求得在區間上最小值和最大值.【詳解】，所以在區間上單調遞增，因此的最小值為，最大值為.故選：B5．函數在區間上的最大值為.【答案】/【分析】利用函數的導數判斷函數的單調性，然后求解函數的最值即可．【詳解】函數，可得，可知恒成立，所以函數在區間上是增函數，所以，時，函數取得最大值：．故答案為：6．已知函數．(1)求的圖像在點處的切線方程；(2)求在上的值域．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）把點代入函數解析式，得切點坐標，通過求導，得到切線的斜率，根據直線的點斜式方程，求切線方程．（2）解不等式，得函數增區間，解不等式，得函數減區間，結合，確定函數單調性，求得最值，進而得出在上的值域．【詳解】（1）因為，所以，所以，，故所求切線方程為，即．（2）由（1）知，．令，得；令，得．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以．又，，因為，所以，即在上的值域為．考點03：已知函數最值求參數7．已知函數的最小值為0，則實數a的值為．【答案】1【分析】利用導數研究的單調性和最值，根據最小值求得的值.【詳解】的定義域為，，當時，，在區間上遞增，沒有最小值.當時，在區間遞減；在區間遞增.所以在區間上的最小值為.故答案為：8．已知函數在上的最大值為2，則．【答案】1【分析】先求導可知原函數在上單調遞增，求出參數后即可求出.【詳解】解：在上在上單調遞增，且當取得最大值，可知故答案為：19．已知函數.(1)求函數f(x)的單調區間；(2)若f(x)≥0對定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導數，然后對進行分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間；（2）利用（1）中函數的單調性，求得函數在處取得最小值，即可求實數的取值范圍.【詳解】（1）解：求導可得①時，令可得，由于知；令，得∴函數在上單調遞減，在上單調遞增；②時，令可得；令，得或，由于知或；∴函數在上單調遞減，在上單調遞增；③時，，函數在上單調遞增；④時，令可得；令，得或，由于知或∴函數在上單調遞減，在上單調遞增；（2）由（1）時，，（不符合，舍去）當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故函數在處取得最小值，所以函數對定義域內的任意x恒成立時，只需要即可∴.綜上，.考點04：函數單調性、極值與最值的綜合應用10．已知實數，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】的兩邊同時取自然對數得到，令，求導得到其單調性，求出的值域，求出答案.【詳解】對的兩邊同時取自然對數得，，令則，令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故在上取得極小值，也是最小值，且，故的值域為，所以的值域為.故選：D11．已知函數為實常數）．(1)若，求證：在上是增函數；(2)當時，求函數在上的最大值與最小值及相應的值；(3)若存在，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)當時，函數有最小值為，當時，函數有最大值為.(3)【分析】(1)利用導數大于零即可證明；(2)利用導數討論函數的單調性即可求解給定區間內的最值；(3)利用導數討論單調性與最值，即可解決能成立問題.【詳解】（1）由題可知函數的定義域，因為,所以，所以，令解得，所以在上是增函數.（2）因為,所以，所以，令解得，令解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數有最小值為，因為，所以當時，函數有最大值為.（3）由得，即，因為，所以，所以，且當時，所以在恒成立，所以，即存在時，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在單調遞減，單調遞增，所以，所以時，恒成立，所以，所以實數的取值范圍是.12．已知函數在處的切線斜率為2.(1)求的值；(2)求函數在上的最值.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）根據切線斜率求參即可；（2）根據導函數為正得出函數的單調性求出函數最值.【詳解】（1）因為，所以，由題得，故.（2）由（1）得，則，在上單調遞增，故最小值為，最大值為.考點05：由導數求函數的最值(含參)13．已知函數，當時的最大值為3，最小值為－6，則＝.【答案】【分析】利用函數導數得到函數的單調區間，進而得到的極小值，聯立解方程組解出即可.【詳解】由題可知，因為，，所以，令，即，解得，令，即，解得，所以在單調遞減，單調遞增，所以，又因為所以，所以所以解得所以.故答案為:.14．已知函數的最小值為0，則.【答案】【分析】求導，分類討論函數的單調性即可求解最值.【詳解】因為，所以.若，則在上單調遞減，無最小值.若，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，解得.故答案為：15．已知函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)當時，求函數的最大值．【答案】(1)在上為增函數；在上為減函數；(2)【分析】（1）直接利用函數的導數確定函數的單調區間．（2）求導根據函數的單調性即可求解最值．【詳解】（1）的定義域為，當時，，，當，解得：，當，解得：．在上為增函數；在上為減函數；（2）的定義域為，，當時，令，得，令時，得，的遞增區間為，遞減區間為．.1．圓柱的軸截面是周長為12的矩形，則滿足條件的圓柱的最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件確定，再將體積轉化為關于的三次函數，利用導數求體積的最大值.【詳解】圓柱的底面半徑為，高為，則，即，圓柱的體積，，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，當時，函數取得最大值，最大值.故選：A2．如圖所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，當等腰梯形ABDE的面積最大時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點D作于點C，繼而表示出ABDE的面積，化簡得，求導，根據導數的正負判斷單調性，繼而根據單調性得解.【詳解】如圖，過點D作于點C，設等腰梯形ABDE的面積為S，則，因為，，所以．則，令，得或，由于，所以，所以，此時．當時，；當時，．故當時，S取得極大值，也是最大值．故選：B．3．函數，若恒有，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知的最小值大于等于0，利用導數求函數的最值即得.【詳解】由題可得，由，可得，此時單調遞減，由，可得，此時單調遞增，∴，∴.故選：C.4．（多選）已知為自然對數的底數，函數，，則下列結論正確的有（

）A．若曲線與相切于點，則，B．若，，則曲線與相切C．若，則恒成立D．若，且的最小值為0，則【答案】ACD【分析】利用導數的幾何意義，以及利用導數求函數的單調性，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對，，對A：當時，，又，故在處的切線方程為，即，故此時，故A正確；對B：令，解得，又，故此時在處的切線方程為：，即，此時，故錯誤；對C：令，則，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.故，故，則正確；對D：若，則，，當時，恒成立，故單調遞增，不存在最小值，故舍去；當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.故，又其最小值為0故，解得，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查導數的幾何意義，以及利用導數研究函數的單調性和最值，屬綜合基礎題.5．已知不等式對任意恒成立，則實數的最大值是.【答案】【分析】依題意，恒成立，構造函數，利用導數求最小值.【詳解】不等式對任意恒成立，即對任意恒成立，設，，時，在上恒成立，在上單調遞增，無最小值，函數和函數在上都單調遞增，，，不恒成立.時，恒成立，此時，時，解得，解得，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，有最小值，故，，，綜上可知，實數的最大值為.故答案為：.6．已知函數，若在區間上單增且最大值為0，寫出一組符合要求的a，b，，.【答案】0（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】，求出當時，或，根據題意可知，取，而，即可求出值.【詳解】，令，解得或，若在區間上單調遞增，則，最大值為，則，不妨取，則，故答案為：0；.（答案不唯一）7．設函數在區間上的導函數為，在區間上的導函數為，若在區間上恒成立，則稱函數在區間上為“凸函數”；已知在上為“凸函數”，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】求出和，由題中所給定義，將參數分離，構造函數求解即可.【詳解】∵，∴，，若在為“凸函數”，則，，即，，設，則，∴在區間單調遞增，當時，，∴實數的取值范圍是.故答案為：[2,+∞)8．設函數，其中．若的圖像與x軸沒有公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】利用導數求得函數的最小值，由最小值大于0可得參數范圍．【詳解】的定義域是，．∵，∴．∴在上，，嚴格減；在上，，嚴格增．∴．∵的圖像與x軸沒有公共點，∴，∴．故答案為：．9．已知函數在區間上存在最小值，則實數．【答案】【分析】求出導函數，在上確定函數的單調性與最小值，由此確定，利用單調性得最小值，從而求得．【詳解】函數定義域是，因此，，時，，遞減，時，，遞增，，所以，此時在上遞增，，解得或（舍去），故答案為：2．10．已知，為正實數，函數在上的最大值為，則在上的最小值為．【答案】【詳解】試題分析：∵，為正實數，∴，即.則在上的最小值為.考點：導函數的應用、最值問題.11．已知函數．(1)若是函數的極值點，求在處的切線方程．(2)若，求在區間上最大值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據函數的導數在極值點出的函數值為零，求得的值，繼而可求得點的坐標，及切線的斜率，即可求得切線方程；（2）根據函數的單調性，分類討論比較和的大小，即可求得.【詳解】（1），又是函數的極值點，∴，即∴，∴，在處的切線方程為，即，所以在處的切線方程是（2），令，得，∴在單調遞減，在單調遞增而，①當，即時，②當，即時，綜上，當時，；當時，12．已知函數.(1)討論的最值；(2)設，若恰有個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求導得到，再分類討論求解函數的最值即可.（2）首先函數恰有個零點，即恰有個不等的實根，從而得到恰有個不等的實根，設，則，得到有兩個解，再設令，利用單調性和最值求解即可.【詳解】（1）由題得，，當時，，在上單調遞減，故無最值當時，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在處取得唯一的極小值，即為最小值，即，綜上所述，當時，無最值當時，的最小值為，無最大值.（2），函數恰有個零點，即恰有個不等的實根，即恰有個不等的實根，設，則，，單調遞增，有兩個解，即有兩個解.令，則，當時，，單調遞增當時，，單調遞減，又時，，且，，當時，，當時，僅有一個零點，的取值范圍為.1．已知函數在上單調遞減，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)設，求在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由題設條件可得，求出導數后就、、、分類討論后可求其范圍.（2）易得，求出其導數后就、、、分類討論后可得參數的取值范圍.【詳解】（1）由，得，則，，依題意須對于任意，有.當時，因為二次函數的圖像開口向上，而，所以須，即.當時，對任意有，符合條件；當時，對于任意，，符合條件；當時，因，不符合條件，故的取值范圍為.（2）因（i）當時，，在上取得最小值，在上取得最大值，（ii）當時，對于任意有.在取得最大值，在取得最小值.（iii）當時，由得，①若，即時，在上單調遞增，在得最小值；在取得最大值.②若，即時，在取得最大值，在或取得最小值，而，，則當時，在取得最小值，當