同濟大學《高等數學》教學課件演講人：XXX日期:函數與極限導數與微分積分學微分方程多元微積分級數理論目錄01函數與極限函數是一種特殊的二元關系，其中每一個自變量的值都對應唯一的因變量值。函數的定義描述函數在某區間內單調增加或減少的性質。函數的單調性根據函數的不同特性，可以將其分為一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等。函數的分類010302函數基本概念與性質定義函數在原點對稱的性質，分為奇函數和偶函數。函數的奇偶性04極限的定義與運算極限的概念極限是描述函數在某一點或無窮遠處的行為或趨勢的數學工具。02040301無窮小量與無窮大量介紹無窮小量與無窮大量的概念及其在極限運算中的應用。極限的運算法則包括極限的加法、減法、乘法、除法等基本運算法則。極限的存在性探討函數在某點處是否存在極限，以及判斷極限存在的充分必要條件。連續性與間斷點分析函數的連續性描述函數在某一點或某一區間內是否連續的性質。間斷點的分類根據函數在間斷點處的左右極限情況，將間斷點分為可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點等類型。連續函數的性質連續函數在其定義域內具有一些重要的性質，如介值定理、最值定理等。閉區間上連續函數的性質探討閉區間上連續函數的零點存在性、最值定理等性質，以及這些性質在微積分學中的應用。02導數與微分導數定義與幾何意義導數定義導數描述了函數在某一點的變化率，是極限概念在函數領域的具體應用。01幾何意義導數在幾何上表示了曲線在某一點的切線斜率，反映了曲線在該點的變化趨勢。02左導數與右導數分別表示從左側和右側趨近于某點時函數的導數，對于可導函數，左導數等于右導數。03微分法則與高階導數微分法則與高階導數基本初等函數的導數公式高階導數導數運算法則微分表達式與導數關系包括常數函數、冪函數、指數函數、對數函數等的基本導數公式。包括加法、減法、乘法、除法等運算法則，以及復合函數的求導法則。通過多次求導，可以獲得函數的高階導數，用于研究函數的更高階性質。微分表達式表示了函數在某一點的變化量，與導數有密切的關系。微分中值定理應用羅爾定理如果函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且區間端點處的函數值相等，則在開區間內至少存在一點使得導數等于零。拉格朗日中值定理如果函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則在開區間內至少存在一點使得該點的導數等于區間兩端點函數值的差與區間長度的比值?？挛髦兄刀ɡ砣绻麅蓚€函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且導數的值不為零，則在開區間內至少存在一點使得兩個函數在該點的導數之比等于兩個函數在區間兩端點的函數值之差與自變量之差之比。泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式是拉格朗日中值定理的推廣，它用多項式來近似表示函數，而麥克勞林公式是泰勒公式在特定點（通常是零點）的特殊情況。03積分學不定積分計算方法包括基本積分公式和積分法則，如冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等的積分方法。直接積分法通過變量替換簡化被積函數的形式，從而將其轉化為易于積分的形式，包括三角換元法和根式換元法等。熟練掌握常見的積分表和積分公式，以便快速計算。換元積分法利用函數的乘積法則，將復雜的被積函數拆分為兩個簡單函數的乘積，然后進行積分。分部積分法01020403積分表與積分公式定積分定義與性質定積分的定義通過無限分割和求和的方法，定義定積分及其幾何意義。定積分的性質包括線性性、對稱性、可加性等基本性質，以及積分上限函數和積分下限函數的性質。牛頓-萊布尼茨公式建立定積分與原函數之間的關系，提供計算定積分的一種有效方法。定積分的計算技巧掌握定積分的換元法、分部積分法以及積分上下限的變換等技巧。積分在幾何物理中的應用幾何應用工程應用物理應用積分在經濟學和金融學中的應用利用定積分計算平面圖形的面積、曲線的弧長以及旋轉體的體積等幾何量。積分在物理學中的應用非常廣泛，如計算物體的質量、質心、轉動慣量等物理量，以及求解變速運動的路程、功、能等。積分在工程領域也有重要應用，如計算梁的截面面積、應力、應變等力學量，以及求解電磁學、熱學等領域中的某些問題。利用積分求解經濟、金融問題中的總量指標，如總收益、總成本等，以及進行風險評估和資產定價等。04微分方程微分方程基本概念微分方程是描述未知函數及其導數之間關系的方程。微分方程的定義方程中未知函數最高導數的階數稱為微分方程的階數。微分方程的階數滿足微分方程的函數稱為該方程的解，包括通解和特解。微分方程的解求解微分方程需要給定的初始條件，如初始值或邊界條件。初始條件可分離變量法通過變量分離，將微分方程轉化為兩個可積分的表達式，從而求解未知函數。齊次方程法通過變量代換，將微分方程轉化為可分離變量的形式，進而求解。一階線性微分方程利用常數變易法，求解一階線性微分方程，包括齊次和非齊次兩種情況。積分因子法通過尋找積分因子，將微分方程轉化為恰當方程，進而求解。一階微分方程解法高階線性微分方程分析高階線性微分方程的定義未知函數最高導數的階數大于一的線性微分方程。齊次與非齊次方程根據方程中是否含有自由項（即非齊次項）進行分類。線性微分方程解的結構由通解和特解組成，通解中包含任意常數，特解是滿足特定初始條件的解。特征方程法通過求解特征方程，確定高階線性微分方程的通解形式，適用于常系數線性微分方程。05多元微積分多元函數自變量取值范圍及約束條件。多元函數定義域函數在某點處或整體上的不間斷性。多元函數連續性多元函數在某點或無窮遠點處趨近值。多元函數極限概念010302多元函數極限與連續性多元函數極限的四則運算及復合運算規則。極限運算法則04偏導數與全微分計算偏導數定義函數對某一自變量的偏導數表示該自變量變動時函數的變化率。偏導數計算利用偏導數定義、極限法、鏈式法則等方法計算偏導數。高階偏導數對偏導數再次求導得到的高階偏導數。全微分與偏微分函數全微分與各個自變量的偏微分之間的關系。對多元函數在某一區域內進行多次積分。利用積分區域的對稱性、積分次序的交換等技巧進行計算。對曲線上的函數進行積分，分為對弧長的積分和對坐標的積分。利用參數方程、格林公式等方法計算曲線積分。重積分與曲線積分基礎重積分概念重積分計算曲線積分定義曲線積分計算06級數理論比較判別法、比值判別法、根值判別法等。正項級數收斂性判別狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。任意項級數收斂性判別通過具體例子，講解如何利用收斂性判別法判斷級數的收斂性。收斂性判別法的應用數項級數收斂性判別冪級數展開與收斂域冪級數基本概念冪級數的定義、性質及收斂性。01泰勒級數、麥克勞林級數展開式。02收斂域的求解利用比值判別法、根值判別法及收斂半徑的求解方法確定冪級數的收斂域