/專題18.36正方形（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．下列各組圖形中，對角線互相平分且相等的是（

）A．矩形與正方形B．菱形與矩形C．平行四邊形與菱形 D．菱形與正方形2．如圖，在矩形內有一點，與分別平分和，點為矩形外一點，連接，，若，則添加下列條件不能判定四邊形是正方形的是（

）A． B． C． D．3．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為4，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD中點，連接OE，則下列結論中不一定正確的是（

）A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠EOC D．∠EOD＝∠EDO5．夾在兩條平行線間的正方形ABCD、等邊三角形DEF如圖所示，頂點A、F分別在兩條平行線上．若A、D、F在一條直線上，則∠1與∠2的數量關系（

）A． B．C． D．6．如圖，正方形的邊長為，為邊上一點與點、不重合，連接，交于點當是等腰三角形時，則的長為（

）A．B．C．D．7．如圖，在邊長為的正方形ABCD中，E，F分別是邊AB，BC的中點，連接CE，DF，G，H分別是CE，DF的中點，連接GH，則GH的長為（

）A． B．1 C．2 D．8．如圖，在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉至，連接，，若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．9．如圖所示，正方形的面積為9，是等邊三角形，點E在正方形內，在對角線上有一點P，使的和最小，則這個最小值為（

）A．4.5 B．9 C．2.5 D．310．如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PEBC，PFCD，垂足分別為點E，F，連接AP，EF，給出下列四個結論：①AP＝EF；②PFE＝BAP；③PD＝EF；④APD可能是等腰三角形．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在x軸上，頂點D在y軸上，若點B的坐標為（3，1），則點D的坐標為____________．12．如圖，點E在邊長為5的正方形邊上，交的延長線于F，連接，過點A作的垂線，與分別交于點H、G．若，則的長為____．13．如圖，四邊形ABCD為正方形，點E、點G分別為BC、AB邊上的點，CE＝BG＝BE，連接DE、CG交于點F，若GF＝3，四邊形ABCD的面積為___．14．如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是邊BC上一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F．已知DE＝10，BF＝6，則EF的長度為___．15．如圖，在正方形中，E為的中點，F為的中點，的延長線與的延長線交于點H，與相交于點G，若，則的長為________．16．如圖，小實同學先將正方形紙片沿對折成兩個完全重合的矩形，再把紙片展平，然后折出上方矩形的對角線，再把邊沿折疊，使得A點落在上的H點處，若，則________．17．如圖，正方形的邊長為1，點E是的中點，連接，點A關于的對稱點為F，連接交于點G，則_______．18．如圖，現有一張邊長為1的正方形紙片，第1次沿著線段剪開，留下三角形；第2次取的中點，再沿著剪開，留下三角形；第3次取的中點，再沿著剪開，留下三角形……如此進行下去，在第n次后，被剪去圖形的面積之和是_______．三、解答題19．如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE，過點A作AE的垂線交DE于點P，若，．(1)求證：；(2)求證：；(3)求正方形ABCD的面積．20．如圖，正方形和正方形有公共頂點D．(1)如圖1，連接和，直接寫出和的數量及位置關系；(2)如圖2，連接，M為中點，連接、，探究、的數量及位置關系，并說明理由；21．如圖，邊長為2的正方形ABCD，點P在射線BC上，將ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點F．(1)如圖1，當點P在邊BC上時，若∠BAP=20°，求∠AFD的度數；(2)若點P是BC邊上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數是否會發(fā)生變化？試證明你的結論；(3)如圖2，若點P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數是否會發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結論；22．如圖，折疊矩形紙片，使點B落在邊上一點E處，折痕兩端點分別在，上（含端點），且，．設．(1)當的最小值等于______時，才能使點B落在上一點E處；(2)當點F與點C重合時，求的長．(3)當時，點F離點B有多遠？23．如圖一，P為正方形的邊上一動點（P與B，C不重合），連接，過點B作交于點Q，將沿所在的直線對折得到，延長交的延長線于點M．(1)求證：；(2)如圖二，過點Q作，垂足為H，當時，分別求的長；(3)當時，求的長．24．如圖，四邊形是正方形，點在邊上任意一點（點不與點，點重合），點在的延長線上，．求證：；如圖，作點關于的對稱點，連接、、，與交于點，與交于點，與交于點．①若，求的度數；②用等式表示線段，，之間的數量關系，并說明理由．參考答案1．A【分析】根據矩形對角線的性質，菱形對角線的性質，平行四邊形對角線的性質，正方形對角線的性質進行判斷即可．解：∵矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線互相平分且垂直，平行四邊形的對角線互相平分，正方形的對角線互相平分且相等且互相垂直，∴對角線互相平分且相等的是矩形與正方形，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質，菱形的性質，平行四邊形的性質，正方形的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．2．C【分析】根據正方形的判定方法，結合矩形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，逐項進行判斷即可．解：∵四邊形為矩形，∴，∵與分別平分和，∴，∴，∴；A.∵，，，∴，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形，故A不符合題意；B.∵，，∴，∴，，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，故B不符合題意；C.∵，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴四邊形一定不是正方形，故C符合題意；D.∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，故D不符合題意．故選：C．【點撥】本題主要考查了正方形的判定，矩形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形的判定方法．3．B【分析】連接ED，由EC=AE得到點E是AC的中點，然后結合正方形的性質得到ED=EC、∠EDN=∠ECM=45°、∠DEC=90°，進而結合EF⊥EG得到∠MEC=∠NED，從而得證△MEC≌△NED，再由全等三角形的性質得到重疊部分四邊形EMCN的面積與△EDC的面積，最后由正方形的邊長求得結果．解：連接ED，∵AE=EC，∴點E是AC的中點，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DEC=90°，DE=EC，∠EDN=∠ECM=45°，∴∠DEN+∠NEC=90°，∵EF⊥EG，∴∠MEC+∠NEC=90°，∴∠DEN=∠CEM，∴△MEC≌△NED（ASA），∴，∴，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AC=4，∴ED=EC=2，∴=?ED?EC=×2×2=4，∴重疊部分四邊形EMCN的面積為4．故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質，解題的關鍵是連接ED構造全等三角形．4．C【分析】由菱形的性質可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性質可得OE=DE=CE=CD=AB，即可判定A，B，D，再在C的條件下證明四邊形ABCD是正方形，從而可得答案．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故選項A正確，不合題意，∵點E是CD的中點，∴OE=DE=CE=，故選項B正確，不合題意；∴∠EOD=∠EDO，故選項D正確，不合題意；若∠DOE＝∠EOC，而∴∴，∵∴四邊形ABCD是正方形，與已知條件矛盾，故C錯誤，符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了菱形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，正方形的判定，掌握菱形的性質是解題的關鍵．5．B【分析】根據正方形的性質和等邊三角形的性質以及平行線的性質解答即可．解：∵夾在兩條平行線間的正方形ABCD、等邊三角形DEF如圖所示，頂點A、F分別在兩條平行線上，∴∠BAD=90°，∠DFE=60°，∵l1∥l2，A、D、F在一條直線上，∴∠1+∠BAD=∠2+∠DFE，即∠1+90°=∠2+60°，可得：∠2-∠1=30°，故選B．【點撥】此題考查正方形的性質，關鍵是根據正方形的性質和等邊三角形的性質以及平行線的性質解答．6．D【分析】當是等腰三角形時，存在兩種情況：如圖，當時，先計算的長，證明，可利的長，由線段的差可得的長；當時，與重合，此種情況不符合題意．解：如圖，當時，，四邊形是正方形，，，，，，，，由勾股定理得：，，；當時，與重合，此種情況不符合題意．綜上，的長是．故選：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識，掌握等腰三角形的性質和判定是解題的關鍵．7．B【分析】連接CH并延長交AD于P，連接PE，根據正方形的性質得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根據全等三角形的性質得到PD＝CF＝，根據勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結論．解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分別是邊AB，BC的中點，∴，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵H是DF中點，∴DH=FH，在△PDH與△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴，∵點G，H分別是EC，PC的中點，∴GH＝EP＝1．故選B．【點撥】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定和性質．8．B【分析】過作，垂足為，根據兩個三角形全等的判定定理，確定，從而根據全等三角形的性質得到，再根據將邊繞點逆時針旋轉至，確定為等腰三角形，結合“三線合一”得到是邊上的中線，進而，即，在中，，，利用勾股定理求解即可得到答案．解：過作，垂足為，如圖所示：，，在正方形中，，，，，在和中，，，將邊繞點逆時針旋轉至，，，由“三線合一”可得是邊上的中線，即，，在中，，，設，則，由勾股定理得到，即，化簡得，解得或（線段長負值舍去），，故選：B．【點撥】本題考查求線段長，涉及正方形的性質、兩個三角形全等的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關幾何概念、判定與性質是解決問題的關鍵．9．D【分析】由于點B與D關于對稱，所以連接，與的交點即為P點．此時最小，而是等邊E的邊，，由正方形的面積為9，可求出的長，從而得出結果．解：設BE與交于點，連接，，∵點B與D關于對稱，∴，∴最小．∵正方形的面積為9，∴，又∵是等邊三角形，∴．故選：D【點撥】本題主要考查正方形的性質，軸對稱的性質，等邊三角形的性質，找到對稱點，添加輔助線是關鍵．10．C【分析】由正方形的性質證明，得出，由，證明四邊形PECF是矩形，得出，進而得出，可知①符合題意；由矩形的性質證明，得出，進而得出，可知②符合題意；由正方形的性質結合矩形的性質得出是等腰直角三角形，進而得出，由直角三角形的斜邊大于直角邊，可知，故，可知③不符合題意；只有或或時，才是等腰三角形，可知④符合題意；即可得出答案．解：如圖，連接PC，四邊形ABCD是正方形，，，在和中，（SAS），，，，，四邊形PECF是矩形，，，故①符合題意；四邊形PECF是矩形，，，在和中，（SAS），，，故②符合題意；四邊形PECF是矩形，，，，，是等腰直角三角形，，故③不符合題意；點P在BD上，只有或或時，才是等腰三角形，故④符合題意；綜上，①②④符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握正方形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、直角三角形的斜邊大于直角邊、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的判定．11．（0，2）【分析】過點B作BE⊥x軸于點E，證明△ODA≌△EAB（AAS），可得OA=BE=1，OD=AE，進而可以解決問題．解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，∵B的坐標為（3，1），∴OE=3，BE=1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠BEA=90°．∵OA⊥OD，∴∠AOD=∠BEA=90°．∠DAO+∠ODA=∠BAE+∠DAO=90°，∴∠ODA=∠BAE，在△ODA和△EAB中，，∴△ODA≌△EAB（AAS），∴OA=BE=1，OD=AE，∴OD=AE=OE-OA=3-1=2，∴點D的坐標為（0，2）．故答案為：（0，2）．【點撥】本題考查了坐標與圖形性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握坐標與圖形性質，全等三角形的判定和性質等知識點是解題的關鍵．12．【分析】連接，首先證明出，得到，然后得到垂直平分，，，則，，在中利用勾股定理求解即可．解：如圖所示，連接，∵∴∴又∵∴，∴，又∵，∴H為的中點，∴垂直平分，∴，設，則，，∴，∵，∴中，，即，解得，∴的長為，故答案為：．【點撥】此題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．13．20【分析】連接GE，根據正方形的性質，易證△GBC≌△ECD（SAS），根據全等三角形的性質，可得GC⊥DE，設CE=BG=BE=x，根據列方程，可求出x的值，進一步即可求出正方形ABCD的面積．解：連接GE，如圖所示：在正方形ABCD中，BC=CD，∠A=∠B=∠BCD=90°，又∵BG=CE，∴△GBC≌△ECD（SAS），∴∠GCB=∠EDC，∵∠GCB+∠FCD=90°，∴∠EDC+∠FCD=90°，∴∠DFC=90°，∴GC⊥DE，設CE=BG=BE=x，則BC=2x，∴正方形ABCD的邊長為2x，∴AG=2x-x=x，在△DCE中，根據勾股定理，得DE=x，∵，又∵GF=3，∴，解得x=，∴正方形ABCD的邊長為2，∴正方形ABCD的面積為2×2=20，故答案為：20．【點撥】本題考查了正方形的性質，涉及全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積等，證明GC⊥DE是解題的關鍵．14．4【分析】因為AF=AE+EF，則可以通過證明△ABF≌△DAE，從而得到AE=BF，AF=DE便得到了EF=DE-BF．解：證明：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE，AF=DE∵AF=AE+EF，∴EF=DE-BF=4，故答案為：4.【點撥】此題主要考查學生對正方形的性質及全等三角形的判定的掌握情況，本題難度一般．15．10【分析】先證，從而證得，再由F為的中點，，證得B為的中點，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求得長．解：∵正方形，∴，又∵E為的中點，F為的中點，∴，∴，在和中，∴∴,又∵，∴，∴,又∵F為的中點，∴,∴，故答案為：10．【點撥】本題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．16．##【分析】設，則可得．連接，即可構造和，依據勾股定理得到，進而得出關于x的方程，通過解方程即可得到的長．解：解∶如圖所示，連接，在中，∴，又∵，∴，設，則，由折疊可得，，∴，在和中，，即，解得，∴．故答案為∶．【點撥】本題主要考查了正方形的性質以及翻折變換(折疊問題)以及勾股定理，折疊的本質屬于軸對稱變換，關鍵是抓住折疊前后的對應邊和對應角相等．17．##【分析】延長交于H，連接，作，，根據正方形的性質和角平分線的性質，得到，和是等腰直角三角形，再根據軸對稱的性質，利用“”證明，，設，利用勾股定理得到，進而得到，然后利用面積法求出，最后再利用勾股定理即可求出的長．解：延長交于H，連接，過點G作于M，于N，四邊形是正方形，，，，，和是等腰直角三角形，為中點，，點A關于的對稱點為F，，，，在和中，，，，設，則，，在中，，，，，，，，，在等腰中，，故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質，軸對稱圖形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，角平分線的性質等知識，求出的長是解題關鍵．18．【分析】求出；；；以此類推求出，即可求出剩余圖形的面積為：，進一步可求出減去圖形的面積為：．解：由題意可知：第1次沿著線段剪開之后，剩余；第2次沿著線段剪開之后，剩余；第3次沿著線段剪開之后，剩余；以此類推：第n次沿著線段剪開之后，剩余；∴剩余圖形的面積為：，∵正方形的面積為1，減去圖形的面積為：．故答案為：【點撥】本題考查圖形規(guī)律問題，有關線段中線面積問題．正方形面積，解題的關鍵是找出其中的規(guī)律求出最后剩余的面積，19．(1)見分析 (2)見分析 (3)【分析】(1)由ABCD是正方形得到，，由得到，進一步得到，再根據“邊角邊”即可證明；(2)由及得到，進而得到，由(1)中全等得到，最后由即可證明；(3)過點B作交AE的延長線于點F，證明為等腰直角三角形，求出，在中由勾股定理求出即可得到正方形的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，∵，∴．∴，即．∵，∴．（2）證明：如下圖：∵，，∴·∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：如圖，過點B作交AE的延長線于點F．∵，，∴由勾股定理得：．由(2)知，，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴．∴，在中，由勾股定理得：，．【點撥】本題借助正方形的性質考查了三角形全等的判定方法、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理求線段長等知識點；本題中第(3)問的關鍵點是過點B作交AE的延長線于點F，進而構造等腰直角三角形，利用其性質求解．20．(1)，；(2)且，理由見分析【分析】（1）如圖，延長交于，交于Q，證明，可得到和的關系；（2）延長至H，使，延長交于，再證明，最后由中位線得到結論；（1）解：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，如圖，延長交于，交于Q，∵，∴，∴，∴且．（2）且，理由如下：延長至點H，使得，連接，延長交于，則，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，而，∴，∴，∵點M，D分別是，的中點，∴，，∴，且．【點撥】本題主要考查了正方形、三角形全等、三角形的中位線，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質、全等三角形的判定與性質，對于想象能力不太好的同學，可以先畫出對應的圖形，然后根據圖形特點逐步解題．(1)∠AFD=45°；(2)∠AFD的大小不會改變，始終是45°，理由見分析 (3)∠AFD的大小不會改變，始終是45°【分析】（1）先求出∠DAE=20°，進而求出∠ADE=65°，最后再用三角形的內角和即可得出結論；（2）設∠BAP=∠EAP=α，同（1）的方法即可得出結論；（3）設∠BAP=∠EAP=α，同（2）的方法即可得出結論．（1）解：由折疊的性質知∠EAP=∠BAP=20°，AB=AD=AE，∴∠DAE=90°20°×2=50°．∵在ADE中，AD=AE，∠DAE=50°，∴∠ADE=∠AED=（180°50°）÷2=65°．∵在AFD中，∠FAD=90°20°=70°，∠ADF=65°，∴∠AFD=180°70°65°=45°；（2）解：∠AFD的大小不會改變，始終是45°，設∠BAP=∠EAP=α，則∠EAD=90°2α，∠FAD=90°α．∵在ADE中，AD=AE，∠EAD=90°2α，∴∠ADE=（180°∠EAD）=（180°90°+2α）=45°+α．∴在ADF中，∠F=180°∠FAD∠ADE=180°（90°α）（45°+α）=45°；（3）解：∠AFD的大小不會改變，始終是45°，設∠BAP=∠EAP=α，則∠EAD=2α90°，∵在ADE中，AD=AE，∠EAD=2α90°，∴∠AED=（180°∠EAD）=（180°2α+90°）=135°α．∴在AEF中，∠AFD=180°∠FAE∠AED=180°α（135°α）=45°．【點撥】此題主要考查了折疊的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，正方形的性質，掌握折疊的性質，找出對應角和對應邊相等是解題的關鍵．22．(1)6 (2) (3)【分析】（1）根據折疊的性質，得到，根據垂線段最短原理，當時，最小，此時四邊形是正方形，從而得到的最小值等于，計算即可．（2）根據折疊性質，勾股定理得，根據，引入未知數，建立等式計算即可．（3）過點F作，垂足為H，判定四邊形是矩形，根據勾股定理，得，計算即可．（1）解：根據折疊的性質，得，根據垂線段最短原理，當時，最小，因為矩形紙片，所以，所以四邊形是正方形，所以，故答案為：6．（2）解：根據折疊的性質，得，因為矩形紙片，，，所以，，，，所以，所以，因