/專題18.29矩形（培優篇）（專項練習）一、單選題1．在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是()A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠BAD＝∠ADC2．如圖，在矩形中，對角線、相交于點O，若平分交于點E，且，連接，則（

）

A． B． C． D．3．兩個全等的矩形和矩形如圖放置,且恰好過點．過點作平行交于．知道下列哪個式子的值,即可求出圖中陰影部分的面積（

）A． B． C． D．4．在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，再添加一個條件，仍不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC5．方形紙帶中∠DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3，則圖3中∠CFE度數是（

）A．105° B．120° C．130° D．145°6．如圖，矩形ABCD中，，點E是AD上的一點，且，CE的垂直平分線交CB的延長線于點F，交CD于點H，連接EF交AB于點G．若G是AB的中點，則BC的長是（

）A．6 B．7 C．8 D．10.57．如圖，矩形在矩形的內部，且，點，在對角線的異側．連結，，，，若矩形矩形，且兩個矩形的周長已知．只需要知道下列哪個值就一定可以求得四邊形的面積（）A．矩形的面積 B．的度數C．四邊形的周長 D．的長度8．如圖，在中，，，D為邊上一動點，連接．以為底邊，在的左側作等腰直角三角形，點F是邊上的定點，連接，當取最小值時，若，則為（

）（用含的式子表示）A． B． C． D．9．如圖，在矩形ABCD中，以對角線AC為斜邊作Rt△AEC，過點E作EF⊥DC于點F，連結AF，若AD=DF，S△AEF=3，S△ACF=5，則矩形ABCD的面積為（

）A．18 B．19 C．20 D．2110．如圖，在四邊形中，．O為中點，交于點E，于點F，交于點M，的延長線交于點G．若，則下列結論正確的（）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．如圖，在矩形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，若AC＝4，則EF的長是___．12．如圖，矩形中，E為的中點，F在上，平分，若，，則線段的長為_____．13．在矩形ABCD中，AD的垂直平分線EF與BD交于點G，BG的垂直平分線AH與EF交于點H，連接DH.則∠BDH=________°．14．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC邊上的中點，E為AB邊上一點，AB＝4BE，連接CE、DE，延長DE交CB延長線于F，若BF＝3，AB＝10，則＝________．15．如圖，在矩形中，在延長線上，連接，交于點，，若，，則的長為______．16．如圖，在長方形ABCD中，E是AD的中點，F是CE的中點，若△BDF的面積為6平方厘米，則長方形ABCD的面積是_____平方厘米．17．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，，，點在線段上從點至點運動，連接，以為邊作等邊三角形，點和點分別位于兩側，則點運動的路程長是__．18．如圖，矩形的邊長為4，將沿對角線翻折得到，與交于點E，再以為折痕，將進行翻折，得到．若兩次折疊后，點恰好落在的邊上，則的長為___________．三、解答題19．在平行四邊形中，，將沿翻折至，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)在平行四邊形中，已知：，將沿翻折至，連接．若以A、C、D、為頂點的四邊形是矩形，求的長．20．如圖，已知矩形，點E為的中點，將沿直線折疊，點B落在點處，連接．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．21．如圖，已知、相交于點，，，、、分別是、、的中點．(1)求證：；(2)與間有何關系，并說明理由；(3)，請直接寫出的度數．22．如圖，在中，，，是邊上的中線，點E，F分別在，邊上運動（點E不與點A，C重合），且保持，連接，，．(1)求證：；(2)求四邊形的面積；(3)請直接寫出三條線段，，之間的數量的關系：_______．23．如圖，在矩形中，平分交于E，連接，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點F是邊上的一點，若，連結交于G，①猜想的度數，并說明理由；②若，求的值．24．已知矩形中，，是邊上一點，連接，將沿著直線折疊得到．若；①如圖1，若點在邊上，的長為；②、、三點在同一直線上時，求的長；如圖3，當點是的中點時，此時點落在矩形內部，延長交于點，若點是的三等分點，求的長．參考答案1．C【分析】根據平行四邊形的性質、矩形的判定定理對各項進行判斷分析即可．解：A.有一個角為直角的平行四邊形是矩形，正確；B.對角線相等的平行四邊形是矩形，正確；C.并不能判定平行四邊形ABCD為矩形，錯誤；D.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝∠ADC∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根據有一個角為直角的平行四邊形是矩形，正確；故答案為：C．【點撥】本題考查了矩形的判定問題，掌握平行四邊形的性質、矩形的判定定理是解題的關鍵．2．C【分析】由矩形，得到，根據平分，得到等邊三角形，，求出，根據三角形的內角和定理即可求出答案．解：四邊形是矩形，∴，，，，，，，平分，，，，是等邊三角形，，，∵，．故選C．【點撥】本題主要考查了三角形的內角和定理，矩形的性質，等邊三角形的性質和判定，平行線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的判定，矩形的性質等知識點，證明是等邊三角形是解決本題的關鍵．3．A【分析】根據矩形的性質和題目中的條件，可以判斷出哪個選項中的條件，可以推出陰影部分的面積，本題得以解決．解：如圖，作于點．∴由題意可知：兩個全等的矩形和矩形，∴，,∴,∴四邊形是矩形，陰影部分面積；故選：A．【點撥】本題考查矩形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．4．A【分析】根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．解：A、AB＝AD，則?ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本選項錯誤；B、OA＝OB，根據平行四邊形的對角線互相平分，AC＝BD，對角線相等的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項正確；C、AC＝BD，根據對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項正確；D、DC⊥BC，則∠BCD＝90°，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項正確．故選：A．【點撥】此題考察矩形的判定，熟記判定定理才可正確解答.5．A【分析】由矩形的性質可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根據翻折的性質可知每翻折一次減少一個∠BFE的度數，由此即可算出∠CFE度數．解：∵四邊形ABCD為長方形，∴，∴∠BFE＝∠DEF＝25°．由翻折的性質可知：圖2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，∴圖3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．故選：A．【點撥】本題考查了翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據翻折變換找出相等的邊角關系是關鍵．6．B【分析】過點E作EP⊥BC于點P，易證四邊形ABPE和四邊形CDEP為矩形，得出CD=EP=8，DE=CP=4，根據AAS易證△AEG≌△BFG，得出AE=BF，又FH垂直平分EC，得出FC=FE，令BC=x，則BP=AE=BF=x-4，進而EF=FC=2x-4，FP=2x-8，在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，進行求解即可．解：過點E作EP⊥BC于點P，在矩形ABCD中∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=8，∴四邊形ABPE和四邊形CDEP為矩形，又，，∴CD=EP=8，DE=CP=4，∵G是AB的中點，∴AG=GB=4，又AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，又∠AGE=∠BGF，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵FH垂直平分EC，∴FC=FE，令BC=x，則BP=x-4，又AE=BF=BP，∴BP=AE=BF=x-4，∴EF=FC=2x-4，FP=2x-8，在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，∴82+（2x-8）2=（2x-4）2解得x=7．故選：B．【點撥】本題考查矩形的判定和性質，垂直平分線的性質，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形利用勾股定理求邊長．7．A【分析】連接，，過點作于點，過點作于點，過點作于點，過點作于點，設小矩形的長和寬分別為和，大矩形的長和寬分別為和，，，然后用分割法求得四邊形的面積，進而可以根據條件得到結果．解：如圖，連接，，過點作于點，過點作于點，過點作于點，過點作于點，，四邊形、四邊形是矩形，設小矩形的長和寬分別為和，大矩形的長和寬分別為和，，，則，，，，，，，，，矩形和矩形的周長已知，和為定值，為定值，為定值，，當已知時，四邊形的面積即為定值，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質，解題的關鍵是學會設矩形的長和寬并用含有未知數的式子表示矩形、矩形和四邊形的面積．8．D【分析】如圖，取的中點H，連接，交于，作直線，交于，設，取的中點，連接，，證明，則在直線上運動，且，當，，三點共線時，，此時最短，從而可得結論．解：如圖，取的中點H，連接，交于，作直線，交于，∵，，∴，，，∵等腰直角三角形，，∴，設，取的中點，連接，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴在直線上運動，且，∵，∴是的垂直平分線，∴，，當，，三點共線時，，此時最短，∵，∴，∴，故選D．【點撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的內角和定理的應用，證明在直線上運動是解本題的關鍵．9．B【分析】過點E作EG垂直AD延長線于點G，然后通過已知三角形的面積得到EF和FC的比值，從而設EF和FC的長度分別為3b和5b，AD和DF的長度為a，然后利用Rt△GEA，Rt△EFC，Rt△CEA，Rt△DAC中的勾股定理得到a與b的關系，再利用△AEF的面積求出a和b的值，最后求矩形ABCD的面積．解：過點E作EG⊥AD交AD的延長線與G∵EF⊥DC∴，∵DF=AD∴EF：CF=3∶5設EF=3b，CF=5b，AD=DF=a∵∠G=90°，∠EFD=90°，∠GDF=90°∴四邊形EFDG是矩形∴GE=DF=a，GD=EF=3b在Rt△GEA中，在Rt△EFC中，在Rt△CEA中，∴==在Rt△DAC中，∴=∴∵b>0∴∴∴∴a=∴故選：B．【點撥】本題考查了矩形的性質與判定、勾股定理，本題的關鍵是適當設定未知數利用Rt△DAC和Rt△EAC共用AC邊建立方程．10．C【分析】先根據等腰直角三角形得性質和平行線得性質得出，，即可證明，得，即可判斷①；由，，，可證明，得，則，所以，即可判斷②；由，即可判斷③；連接，設，由，可推導出，，則，得，所以,即可判斷④．解：∵，∴，∵，∴，∵O為中點，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；∵于點F，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，故③錯誤；連接，設，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選C．【點撥】本題考查了等腰直角三角形得判斷和性質、同角的余角相等，全等三角形得判斷和性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和勾股定理的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．11．2【分析】連接BD，由矩形的性質可得AC=BD=4，由三角形的中位線定理可求解．解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，∵E，F分別是AD，AB的中點，∴EF=BD=2，故答案為:2．【點撥】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，掌握矩形對角線相等是解題的關鍵．12．【分析】延長、交于點，根據題意利用證明，得出，，再根據等腰三角形的判定求出，設，根據長的兩種求法建立方程求解，則可求出，再根據勾股定理求出，然后求出，則可在中，根據勾股定理求出長，從而求出長．解：如圖，延長、交于點，是的中點，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，是的角平分線．，，，，設，則，，，，解得，，，，在中，，，．故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，解決本題的關鍵是得到．13．【分析】根據題意，畫出矩形ABCD，證明是等邊三角形，求出，再證明，然后，即可得出結果．解：根據題意，畫出矩形ABCD，如下圖所示：∵AH是BG垂直平分線，∴，∵在矩形ABCD中，∴，，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵AH是BG垂直平分線，∴，∵EH是AD垂直平分線，∴，，又∵為公共邊，∴，∴故答案為：．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，垂直平分線的性質，等邊三角形的判定和三角形全等的判定和性質，根據題意畫出圖象是解答本題的關鍵．14．【分析】取AB的中點G，連接DG，則AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位線定理得BC＝2DG，DGBF，利用ASA證明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，再根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，從而解決問題．解：取AB的中點G，連接DG，則AB＝2BG，∵AB＝4BE，∴BE＝EG，∵D為AC邊上的中點，G為AB的中點，∴DG為△ABC的中位線，∴BC＝2DG，DGBF，∴∠GDE＝∠F，在△GDE和△BFE中，，∴△GDE≌△BFE（AAS），∴DG＝BF＝3，DE＝EF，∴BC＝6，∴CF＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，∴CD＝4，在Rt△CDF中，由勾股定理得：，∵∠ACB＝90°，EF＝DE，∴CE＝DF，∴＝＝，故答案為：．【點撥】此題考查了勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上中線的性質等知識，解題的關鍵是證明點E是DF的中點．15．【分析】取DF的中點G，連接AG，根據直角三角形的性質可得AG=DG=FG==4，進而得出，由，可知AE=AG=4，再根據勾股定理求出AB的長，進而可知CD的長．解：取DF的中點G，連接AG，在矩形中∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，ADBC，∴∠ADE=∠DEC，∵，∴AG=DG=FG==4，∴∠GAD=∠ADE，∴∠AGE=2∠ADE，又∴∠AED=∠AGE，∴AE=AG=4，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，在Rt中，BE=1，∴AB=，∴CD=AB=．故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質和判定，外角的性質以及勾股定理求邊長，取DF的中點G找到直角三角形的中線是解決問題的關鍵．16．48【分析】如下圖，設矩形ABCD的長為m，寬為n，過點F作BC、DC的垂線，利用m、n表示出△BFD的面積，從而得出mn的大小，進而得出矩形ABCD的面積．解：如下圖，過點F作BC、CD的垂線，分別交于點Q、G，設矩形ABCD的長為m，寬為n∵點E是AD的中點，點F是EC的中點，AD=m，AB=n∴FQ=，FG==∴∴mn=48故答案為：48【點撥】本題考查三角形面積問題，解題關鍵是利用表示出△BFD的面積，從而推導出mn的大小．17．【分析】連接，利用SAS證明，得，，則點在射線上運動，且，當當點在線段上從點至點運動時，故點的運動路程是，利用勾股定理求出的長即可．解：連接，四邊形是矩形，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，又，，（SAS），，，點在射線上運動，且，當點在線段上從點至點運動時，點的運動路程是，在Rt中，設，則，，解得（負值舍去），，即點的運動路程為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，確定點的運動路徑是解題的關鍵．18．或【分析】根據題意分兩種情況討論：①當點恰好落在上時，由翻折以及矩形的性質利用可證明，然后根據等腰三角形的性質求出的長，再依據勾股定理求解即可；②當點恰好落在上時，同理利用可證明，根據全等三角形的性質可得出的長，再根據線段的和差關系即可得出答案．解：∵四邊形為矩形，∴，，∵沿對角線翻折得到，∴，，∵以為折痕，將進行翻折，得到，∴，，①當點恰好落在上時，如圖，在和中，∴∴，即為等腰三角形，∵∴點為中點，∴，在中，有，即，解得②當點恰好落在上時，如圖，∵∴四邊形為矩形，∴，∵沿進行翻折，得到，∴在中，，在和中，∴≌（）∴∴．故答案為：或．【點撥】本題考查了空間想象能力以及分類討論的思想，熟練掌握翻折的性質，運用全等三角形的判定與性質、勾股定理是解答此題的關鍵．19．(1)見分析 (2)見分析 (3)或【分析】（1）先根據平行四邊形的性質得到，，再由折疊的性質證明即可證明；（2）根據等邊對等角結合三角形內角和定理證明，即可證明；（3）分兩種情況當四邊形為矩形和四邊形為矩形，畫出對應的圖形，利用矩形的性質和含30度角的直角三角形的性質求解即可．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊的性質可知，∴，，∴，∴，即；（2）證明：∵，∴，同理可得，∵，∴，∴；（3）解：分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴,∴；②如圖2所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴,∴，綜上所述：的長為或．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質與判定，勾股定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．20．(1)見分析 (2)【分析】（1）由點E為的中點和折疊的性質可得，則，再根據外角的性質可得，即可證得平行；（2）由勾股定理求得，再用等面積法求得，再根據三角形的內角和以及角平分線的定義可推導，最后用勾股定理求得．解：（1）證明：點E為的中點，，，，，由題意得，，∵，，，；（2）解：如圖，連接交于H，，，，點E為的中點，，將沿直線折疊，點B落在點處，，即是的高，，，由（2）知，，，而，，，即，．【點撥】本題考查了矩形的性質，勾股定理，平行線的判定，三角形的內角和定義和外角性質，等面積求線段長度，等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握相關的幾何知識．21．(1)見分析 (2)，理由見分析 (3)【分析】（1）連接、，由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論；（2）由等腰三角形的性質和三角形的外角性質即可得出結論；（3）由等腰三角形的性質和三角形的外角性質求出，再由三角形內角和定理即可得出結論．解：（1）證明：連接、，∵，，、分別是、的中點，∴，，∴，∵是的中點，∴，，∴．（2）解：，理由如下：由（1）可知，，∴，∵是的外角，∴．（3）解：∵，∴，∴，由（2）可知，，同理：，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、三角形的外角性質以及三角形內角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．22．(1)證明見分析 (2)4 (3)【分析】（1）根據，，是邊上的中線，得到，，再結合，得到，即可得到證明；（2）由可得，即可得到四邊形的面積等于面積，根據中線即可得到答案；（3）由可得，，即可得到，在用表示，在即可得到答案．（1）證明：∵，，是邊上的中線，∴∠ADC＝90°，，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：，理由如下，∵，∴，，∵，∴，在中根據勾股定理可得