/專題18.41正方形的幾何模型（十字架模型）（專項練習）【定義】十字架模型：在初中階段，所謂十字架模型，就是在正方形、矩形、直角三角形中，互相垂直的兩線段的基本圖形中得到一些結論。【結論1】如圖1、正方形ABCD中，（通過三角形全等加以證明）。圖1【結論2】如圖2、在矩形ABCD中，（此結論在學習了三角形相似后可以證明）圖2一、單選題1．如圖，將一邊長為12的正方形紙片的頂點A折疊至邊上的點E，使，若折痕為，則的長為（

）A．13 B．14 C．15 D．162．如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．53．如圖，將邊長為6cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，點C落在點Q處，折痕為FH，則線段AF的長為（）A． B．3 C． D．4．如圖，將一邊長為12的正方形紙片ABCD的頂點A折疊至DC邊上的點E，使DE=5，折痕為PQ，則PQ的長為（

）A．12 B．13 C．14 D．155．如圖，在正方形中，﹐E，F分別為，的中點，連接、，交于點G，將沿翻折得到，延長交延長線于點Q，連接，則的面積是（

）A． B．25 C．20 D．156．如圖，將邊長為3的正方形ABCD紙片沿EF折疊，點C落在AB邊上的點G處，點D與點H重合，CG與EF交于點P，取GH的中點Q，連接PQ，則GPQ的周長最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題7．如圖，將一邊長為的正方形紙片的頂點折疊至邊上的點，使，折痕為，則的長__________．8．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上一點，BF⊥AE交DC于點F，若AB＝5，BE＝2，則AF＝____．9．如圖，將邊長為8的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的點E處，點A落在點F處，折痕為MN，若MN＝4，則線段CN的長是____．10．如圖，現有一張邊長為的正方形紙片，點為正方形邊上的一點（不與點，點重合）將正方形紙片折疊，使點落在邊上的處，點落在處，交于，折痕為，連接，.則的周長是______．三、解答題11．正方形ABCD中，點E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點G．（1）如圖1，求證AE⊥BF；（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點H，交BF于點N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；12．如圖1，在正方形中，為上一點，連接，過點作于點，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，連接、，點、、、分別是、、、的中點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）如圖3，點、分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對應邊恰好經過點，過點作于點，若，正方形的邊長為3，求線段的長．13．如圖，正方形ABCD邊長為4，點G在邊AD上（不與點A、D重合），BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點，連接EG．（1）當AG=1時，求EG的長；（2）當AG的值等于時，BE=8－2DF；（3）過G點作GM⊥EG交CD于M

①求證：GB平分∠AGM；

②設AG=x，CM=y，試說明的值為定值．參考答案1．A【分析】過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，從而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，從而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．解：過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED，∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE，在中，，AD=12，由勾股定理得：，∴PQ=13．故選：A．【點撥】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解題的關鍵．2．D【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，設AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再證明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根據S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可解：作FH⊥AB于H，交AE于P，則四邊形ADFH是矩形，由折疊的性質可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．設AG=GE=x，則BG=3-x，在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=．在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE=．∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，∵四邊形ADFH是矩形，∴AB=AD=HF．在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE=，∴S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF=====5．故選D．【點撥】本題考查了折疊的性質，正方形的性質，矩形的判定與性質，三角形的面積，以及勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質是解答本題的關鍵．3．C【分析】設EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解決問題．解：∵將邊長為6cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°∵點E是AB的中點，∴AE＝BE＝3cm，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，∴（6﹣AF）2＝AF2+9∴AF＝故選C．【點撥】本題考查翻折變換、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是設未知數利用勾股定理列出方程解決問題，屬于中考?？碱}型．4．B解：過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，則∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=.【點撥】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．5．D【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再證明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，過點G作GN⊥AB交AB于N，可證明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根據S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．解：將沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB，四邊形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，∵PF=FC=，PB=AB=2，在Rt△BPQ中，，∴，∴QB=，∴S△BQF=，∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC，又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，，∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2，過點G作GN⊥AB交AB于N，∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴∵GA=AE-GE=∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10，∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故選：D．【點撥】本題考查折疊的性質，熟練掌握三角形全等的判定和性質、三角形相似的判定和性質是解題的關鍵．6．B【分析】連接BP，取CD的中點M，連接PM，根據折疊的性質，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周長的最小值，只需求PM+PB的最小值，當M、P、B三點共線時，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．解：連接BP，取CD的中點M，連接PM，由折疊可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，在Rt△BCG中，P是CG的中點，∴BP＝PG＝GC，∵Q是GH的中點，∴QG＝GH，∴△GPQ的周長＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD，∵CD＝3，∴△GPQ的周長＝PM+PB+，當M、P、B三點共線時，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，BM＝，∴△GPQ的周長的最小值為.故選B．【點評】本題考查圖形的翻折變換，熟練掌握正方形的性質、直角三角形的性質，正確添加輔助線是解題的關鍵．7．13【分析】先過點P作PM⊥BC于點M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△AED，從而求出PQ=AE．解：過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，則∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△AED∴PQ=AE==13．故答案是：13．【點撥】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．8．.【分析】根據正方形的性質得到AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，推出∠BAE＝∠EBH，根據全等三角形的性質得到CF＝BE＝2，求得DF＝5﹣2＝3，根據勾股定理即可得到結論．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°，∴∠AEB+∠EBH＝90°，∴∠BAE＝∠EBH，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴CF＝BE＝2，∴DF＝5﹣2＝3，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，由勾股定理得：AF＝＝＝．故答案為．【點撥】此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，本題證明△ABE≌△BCF是解本題的關鍵．9．3【分析】過點M作MH⊥CD于點H．連接DE，結合題意可知MN垂直平分DE，先通過證明△MHN?△DCE得出DE＝MN＝，然后利用勾股定理求出CE的長，最后在Rt△ENC中利用勾股定理求出DN，最后進一步求出CN即可.解：如圖所示，過點M作MH⊥CD于點H．連接DE．根據題意可知MN垂直平分DE，易證得：∠EDC＝∠NMH，MH＝AD，∵四邊形ABCD是正方形，∴MH＝AD＝CD，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN?△DCE（ASA），∴DE＝MN＝，在Rt△DEC中，，設DN＝EN＝，則CN＝，在Rt△ENC中，，∴，解得：，∴CN＝，故答案為：3．【點撥】本題主要考查了正方形性質和全等三角形性質與判定及勾股定理的綜合運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.10．16.【分析】解過點A作AM⊥GH于M，由正方形紙片折疊的性質得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，則EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一條直線的兩直線平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，則∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，則DG=GM，由AAS證得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL證得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，則△PGC的周長=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．解：過點A作AM⊥GH于M，如圖所示：∵將正方形紙片折疊，使點A落在CD邊上的G處，∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，∴AM∥EG，∴∠EGA=∠GAM，∴∠EAG=∠GAM，∴AG平分∠DAM，∴DG=GM，在△ADG和△AMG中，∴△ADG≌△AMG（AAS），∴AD=AM=AB，在Rt△ABP和Rt△AMP中，∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL），∴BP=MP，∴△PGC的周長=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，故答案為16．【點撥】本題考查了折疊的性質、正方形的性質、角平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握折疊的性質，通過作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．11．（1）見分析；（2）見分析；【分析】（1）根據正方形的性質得AB=BC，，用SAS證明，得，根據三角形內角和定理和等量代換即可得；（2）過點B作，交AN于點H，根據正方形的性質和平行線的性質，用SAS證明，得，根據角平分線性質得，則是等腰直角三角形，用SAS證明，得AH=CN，在中，根據勾股定理即可得；解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過點B作，交AN于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AC，，∵，，∴，由（1）得，，∴，∴,∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵AN平分，∴，∴，，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴BH=BN，在和中，∴（SAS），∴AH=CN，在中，根據勾股定理，∴；【點撥】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理和銳角三角函數，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識點．12．（1）見分析；（2）四邊形為正方形，理由見分析；（3）【分析】（1）由四邊形為正方形，可得，推得，由，可得，可證即可；（2）、為、中點，可得為的中位線，可證，，由點、、、分別是、、、的中點，可得PQ是的中位線，MQ為的中位線，NP為的中位線，可證，，，，，，可證四邊形為平行四邊形．再證四邊形為菱形，最后證即可；（3）延長交于點，由對稱性可得，，，由勾股定理可求，可得，設，在中，，解得，在中，可求．解：（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，∴∠AHB=90°，∴，∴，在與中，，∴，∴．（2）解：四邊形為正方形，理由如下：∵、為、中點，∴為的中位線，∴，，∵點、、、分別是、、、的中點，∴PQ是的中位線，MQ為的中位線，NP為的中位線，，∴，，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，∴四邊形為菱形，∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為正方形．（3）解：延長交于點，由對稱性可知，，，在中，，∴，設，則，在中，，，∴，在中，．【點撥】本題考查正方形性質與判定，等角的余角性質三角形全等判定與性質，三角形中位線判定與性質，勾股定理，根據勾股定理建構方程，解拓展一元一次方程等知識，掌握以上知識是解題關鍵．13．（1）；（2）（3）①見分析；②，理由見分析【分析】（1）根據EF是線段BG的垂直平分線，BE=EG，設EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可；（2）過點F作FH⊥AB于H，連接FB，FG，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先證明四邊形BCFH是矩形，得到CF=HB，則BH=EH=FC，設AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF=，由，，，可以得到①，②，聯立①②求解即可得到答案；（3）①先證明∠EBG=∠EGB，然后根據ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=