/專題18.19平行四邊形最短路徑問題（基礎篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．102．如圖，在直角三角形中，，，，點為上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（）A．3 B． C． D．3．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，點F是CD邊上一點，且DF＝1，點E是BC邊上的一個動點，M、N分別是線段AE、AF的中點，連接EF和MN，當點E在BC邊上從點B向點C移動時，線段MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．已知點與點，是一個平行四邊形的四個頂點，則長的最小值為（

）A．8 B． C． D．65．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF．則EF的最大值與最小值的差為（）A． B． C．2﹣ D．﹣16．如圖，△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是AB邊上的一個動點，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線段AQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在中，，，，點是上一點，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值是（）cmA．4 B．6 C．8 D．108．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足.E是AB邊上的一個動點，以CE，BE為鄰邊畫平行四邊形CEBF，則下列線段的長等于對角線EF最小值的是（

）.A．AC B．BC C．CD D．AB9．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，點E是AB上的點，以AC為對角線的平行四邊形AECF，則EF的最小值是（）A．5 B．4 C．1.5 D．310．如圖在中，，，為邊上一動點（不與，重合），以、為一組鄰邊作平行四邊形，平行四邊形的對角線的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．如圖，在中，，，，點E在上，，點P是邊上的一動點，連接，則的最小值是________．12．已知邊長為4的等邊，D，E，F分別為邊，，的中點，P為線段上一動點，則的最小值為______．13．如圖，在?ABCD中，AD＝8，AB＝，∠B＝60°．E是邊BC上任意一點，沿AE剪開，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長的最小值為_____．14．如圖，在中，，，為邊上一動點，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為__．15．如圖，在中，，，，點在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是_____________．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分別是邊AB、AC上的動點，F、G分別是ED、EC的中點，則FG的最小值是______．17．如圖，在中，，，，點為上任意一點，連接，以、為鄰邊作，連接，則的最小值為______．18．如圖，在中，，，，點為上任意一點，連接，以，為鄰邊作，連接，則的最小值為______．19．如圖，在中，，，，點在上，以為對角線的所有中，的最小值是____．20．如圖在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=6，M為AC邊上一動點（不與A，C重合），以MA、MB為一組鄰邊作平行四邊形MADB，則平行四邊形MADB的對角線MD的最小值是______．21．如圖，已知?OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為__．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動點，則PE+PC的最小值為_____23．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P為AB邊上一動點，以BA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ長度的最小值為___．24．如圖，等邊三角形ABC的邊長為8，AD是BC邊中線，點E是AB邊上一動點，以EA，ED為邊作平行四邊形AEDF．（1）AD的長為_________．（2）EF的最小值為_________．參考答案1．B【分析】平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小，根據三角形中位線定理即可求解．解：平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故選B．【點撥】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確理解DE最小的條件是關鍵．2．B【分析】設PQ與AC交于點O，作于，根據直角三角形的性質得，根據勾股定理得，根據平行四邊形的性質得，根據，得，當P與重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，進行計算即可得．解：如圖所示，設PQ與AC交于點O，作于，在中，，∴，∴，∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴，∵，，∴，當P與重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，∴PQ的最小值為：，故選：B．【點撥】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理的應用，平行四邊形的性質，垂線段最短的性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質和垂線段最短的性質．3．B【分析】利用三角形中位線性質求解即可.解：∵M、N分別是線段AE、AF的中點，∴，∵點E在BC邊上從點B向點C移動，∴當點E運動到點C的位置時，EF最小，此時，EF=4-1=3，∴線段MN的最小值為1.5.故選：B【點撥】此題考查三角形的中位線的性質，知道當點E運動到點C的位置時EF最小是解答此題的關鍵.4．B【分析】①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD；②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，證△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D((8-a，6+a)，由勾股定理得CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98，求出即可．解：①CD是平行四邊形的一條邊，則AB=CD=；②CD是平行四邊形的一條對角線，如圖所示，過點C作CM⊥AO于點M，過點D作DF⊥AO于點F，交AC于點Q，過點B作BN⊥DF于點N，連結OC，則∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM十∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，OM=CM，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴BD=AC，∠BCA=∠BDA，BDAC，∴∠BDF=∠FQA，∴∠DBN=∠CAM，∴△DBN≌△CAM(AAS)，∴DN=CM=OM=a，BN=AM=8-a，D(8-a，6+a)，由勾股定理得CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98，當a=時，CD有最小值，是，∵<10，∴CD的最小值是=．故選：B．【點撥】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理及平行四邊形的性質是解題的關鍵．5．B【分析】連接，，過點作于，由已知以及平行四邊形的性質可得，進而求得，根據含30度角的直角三角形的性質求得，勾股定理求得，根據求得，有題意可知，最大值為的長，最小值為的長，求其差即可求得答案．解：如圖，連接，，過點作于，點E為AH的中點，點F為GH的中點，，點H、G分別是邊CD、BC上的動點，當點與點重合時，取得最大值，點與點重合時，取得最小值，EF的最大值與最小值的差為，四邊形是平行四邊形，，，，，，,，，，，，，，即EF的最大值與最小值的差為．故選B．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，垂線段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．6．C【分析】根據四邊形APCQ是平行四邊形得到AQ＝PC，再由垂線段最短得到：當PC⊥AB時AQ的值最小，根據面積求PC即可；解：∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AQ＝PC，由垂線段最短可得，當PC⊥AB時，AQ值最小，∵AB＝10，△ABC的面積是25，∴PC＝5，∴AQ＝5，故選：C．【點撥】此題利用三角形面積考查平行四邊形相關知識點，難度一般，靈活運用是關鍵．7．B【分析】如圖，由題意易得，由平行四邊形的性質可得OA=OB，OD=OE，要使的值為最小，則OD的值為最小，即當點D為AC的中點時，然后問題可求解．解：如圖所示：∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴OA=OB，OD=OE，∴要使的值為最小，則OD的值為最小，即當點D為AC的中點時，∴由三角形中位線定理可得，∴，即的最小值為6cm，故選B．【點撥】本題主要考查三角形中位線、勾股定理及平行四邊形的性質，熟練掌握三角形中位線、勾股定理及平行四邊形的性質是解題的關鍵．8．C【分析】根據垂線段最短可知，當EF⊥AB時，對角線EF為最小值.解：根據垂線段的性質可知，EF⊥AB時為最小值.∵四邊形CEBF為平行四邊形，∴FC∥BE，即FC∥BA.故CD的長等于對角線EF最小值.【點撥】本題主要考查了垂線段的性質.9．D【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當OE⊥AB時，EF取最小值．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OE＝OF，OA＝OC，∴當OE取最小值時，線段EF最短，此時OE⊥AB，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝BC＝1.5，∴EF＝2OE＝3，∴EF的最小值是3．故選：D．【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質，三角形中位線的性質以及垂線段最短，解答該題時，利用了“平行四邊形的對角線互相平分”的性質．10．C【分析】根據平行四邊形的性質，，，故取最小值時，也取最小值，根據“在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短”，故當時，取最小值，再根據所對的直角邊是斜邊的一半即可求出從而可求出此時的.解：∵四邊形是平行四邊形∴，∴當取最小值時，也取最小值，根據“在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短”∴當時，取最小值∵∴此時此時故的最小值故選C.【點撥】此題考查的是平行四邊形的性質和最值，掌握垂線段最短和所對的直角邊是斜邊的一半是解決此題的關鍵.11．【分析】過點A作直線的對稱點F，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，過點E作直線的垂線，利用含30度的直角三角形的性質以及勾股定理即可求解．解：過點A作直線的對稱點F，連接，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，∵點A與點F關于直線對稱，∴，，則，∴是等邊三角形，∵在中，，∴，過點E作直線的垂線，垂足為點G，∵，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度的直角三角形的性質以及勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．12．4【分析】連接，，設交于點J，根據等邊三角形的性質及中位線的性質得出，，由三角形三邊關系即可得出結果．解：如圖，連接，，設交于點J，∵是等邊三角形，D、E、F分別為邊、、的中點，∴，，，∴，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質及中位線的性質，三角形的三邊關系等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．13．22【分析】當AE⊥BC時，四邊形AEFD的周長最小，利用直角三角形的性質解答即可．解：當AE⊥BC時，四邊形AEFD的周長最小，∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．∴AE＝3，BE，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF＝BC＝AD＝8，∴四邊形AEFD周長的最小值為：8+8+3+3＝22，故答案為：22．【點撥】此題考查了平行四邊形的性質以及平移的性質，關鍵是根據當AE⊥BC時，四邊形AEFD的周長最小進行分析．14．【分析】過作于，依據是等腰直角三角形，即可得出，依據，即可得到當時，的最小值等于的長，進而得到答案．解：如圖所示，過作于，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，當時，的最小值等于的長，對角線的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．15．6【分析】平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小，根據三角形中位線定理即可求解．解：平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴ODAB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故答案為：6．【點撥】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確理解DE最小的條件是關鍵．16．【分析】連接CD，過點C作CH⊥AB于點H，根據三角形中位線定理可得，從而得到當CD最小，即點D與點H重合時，FG最小，再根據，求出CH的長，即可求解．解：如圖，連接CD，過點C作CH⊥AB于點H，∵F、G分別是ED、EC的中點，∴，∴當CD最小，即點D與點H重合時，FG最小，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC=6，∵，∴，∴FG的最小值為．故答案為：【點撥】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理，勾股定理是解題的關鍵．17．【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應該過O作BC的垂線P′O，根據垂線段最短即可解決問題．解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO=QO，CO=AO=，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，當P與P'重合時，OP的值才是最小，∴則PQ的最小值為2OP′=2×OC=，故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質以及垂線段最短的性質，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最值問題．18．【分析】由平行四邊形的性質可知O是AC中點，EF最短也就是EO最短，故應該過O作BC的垂線OD，所以點E與點D重合時，OE長度最小．解：如圖，在中，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當最短也就是最短，則過作的垂線，垂足為，在中，，，．點與點重合時，長度最小，此時．．故答案是：．【點撥】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質以及垂線段最短的性質；熟練掌握平行四邊形的性質，垂線段最短是解題的關鍵．19．6【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當OD⊥BC時，DE線段取最小值．解：∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC．∴OD是△ABC的中位線，∴，，∴，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，，，∴，∴.故答案為：6.【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線的性質以及垂線段最短的知識．正確理解DE最小的條件是關鍵．20．3．【分析】如圖，作BH⊥AC于H．因為四邊形ADBM是平行四邊形，所以BD∥AC，所以當DM⊥AC時，DM的值最小，此時DM=BH．解：如圖，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB=6，∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，∵四邊形ADBM是平行四邊形，∴BD∥AC，∴當DM⊥AC時，DM的值最小，此時DM=BH=3，故答案為3．【點撥】本題考查直角三角形30度角性質、等腰三角形的性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．21．5．解：試題分析：當B在x軸上時，對角線OB長的最小，如圖所示：直線x=1與x軸交于點D，直線x=4與x軸交于點E，根據題意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案為5．考點：平行四邊形的性質；坐標與圖形性質．22．解：試題分析：根據菱形的判定，得出平行四邊形ABCD為菱形，作出E關于BD的對稱點E′，轉化為線段長度的問題，再根據等邊三角形的性質判斷出△BCE′為直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．∵E是BC的中點，BE=2a，∴BC=2BE=2×2a=4a，故BC=AC，∴平行四邊形ABCD為菱形．∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分線．作E關BD的對稱點E′，連接CE′，PE，則PE=PE′，此時，PE+PC=PE′+PC=CE′，CE′即為PE+PC的最小值．∵