高三數學大題規范訓練（16）15.已知為等差數列，且，．（1）求的通項公式；（2）若恒成立，求實數λ的取值范圍．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據題意建立方程求出等差數列的首項與公差，從而可求解；（2）先求出等差數列的前n項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數列的單調性求出最值，從而得解．【小問1詳解】設數列的公差為d，則根據題意可得，解得，則．【小問2詳解】由（1）可知運用等差數列求和公式，得到，又恒成立，則恒成立，設，則，當時，，即；當時，，則，則；則，故，故實數λ的取值范圍為．16.某公司有5臺舊儀器，其中有2臺儀器存在故障，（1）現有一位工人從這5臺儀器中隨機選擇3臺進行檢測，記ξ為這3臺儀器中存在故障的臺數，求ξ的分布列和數學期望；（2）為了提高生產，該公司擬引進20臺此種新儀器，若每臺儀器運行相互獨立，且每臺機器在運行過程中發生問題的概率為0.03，記X為這20臺新儀器在運行過程中發生故障的臺數，借助泊松分布，估計時的概率.附：①若隨機變量ξ的分布列為則稱隨機變量ξ服從泊松分布．②設，當且時，二項分布可近似看成泊松分布．即，其中．③泊松分布表（局部）表中列出了的值（如：時，…0.50.60.7…0…0.6065310.5488120.496585…1…0.3032650.3292870.347610…2…0.0758160.0987860.121663…3…0.0126360.0197570.028388…4…0.0015800.0029640.004968…5…0.0001580.0003560.000696…6…0.0000130.0000360.000081…7…0.0000010.0000030.000008…【答案】（1）分布列見解答，（2）0.019757【解答】【分析】（1）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相應的概率，進而得到ξ的分布列，再結合期望公式求解；（2）依題，此時二項分布可近似看成泊松分布，再利用泊松分布的概率公式求解．【小問1詳解】解：（1）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以ξ的分布列為：ξ012P所以ξ的期望為；【小問2詳解】依題題意，得，則，所以，因為，所以，于是，所以時的概率估計值為．17.已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，平面平面，，，，點為的中點，點在棱上，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）取的中點為，連結，，先證四邊形是平行四邊形，可得，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）結合余弦定理與勾股定理可證，利用面面垂直的性質定理知平面，再以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解．【小問1詳解】證明：取的中點為，連結，因為為中點，則，且，因為，，，所以所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面;【小問2詳解】在中，，所以，在中，，即，因為平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面，故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，設平面的法向量為，則，令，得，，所以，易知平面的一個法向量為，設二面角為，由圖知為鈍角，所以，所以，故二面角的正弦值為．18.在平面直角坐標系xOy中，點A，B分別是x軸和y軸上的動點，且動點滿足，記P的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設曲線C與x軸的交點為A1，A2（A1在A2的左邊），過點Q（1，0）且不與x軸平行的直線l與C相交于M，N兩點，記直線A1M，A2N的斜率分別為k1和k2，求的值．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）由已知結合向量線性運算的坐標表示即可求解；（2）聯立直線與橢圓方程，結合方程的根與系數關系及直線的斜率關系即可求解．【小問1詳解】解：設，因為，所以，由得，，將，代入得，，所以動點P的軌跡C的方程為；【小問2詳解】由（1）知，聯立得，，由韋達定理得，，于是，從而，因為，，則，，，所以．19.若函數在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數”（1）若，判斷是否為上的“4類函數”；（2）若為上的“2類函數”，求實數a的取值范圍；（3）若為上的“2類函數”且，證明：，，.【答案】（1）是（2）（3）證明見解答【解答】【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質證明即可；（2）由已知條件轉化為對于任意，都有，對函數求導后進行分離參數，利用導函數研究函數的單調性和最值即可；（3）分和兩種情況進行證明，，用放縮法進行證明即可.【小問1詳解】函數是上的“4類函數”，理由如下：不妨設，所以，，所以是上的“4類函數”；小問2詳解】，，由題意知，對于任意不同都有，不妨設，則，故且，所以為上的增函數，為上的減函數，所以對任意的，即，由，令，則，，令得在上單調遞增，，由，令，只需，，令得在單調遞增，所以，綜上所述，實數a的取值范圍為；【小問3詳解】證明：因為為上的“2類函數”，所以，不妨設，當時