高三數學大題規范訓練（7）15.有個型號和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現對產品隨機地逐一檢測.（1）求檢測過程中兩件次品不相鄰的概率；（2）設檢測完后兩件次品中間相隔正品的個數為，求的分布列和數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解答，【解答】【分析】（1）用插空法求出符合條件的事件數，再由古典概型計算可得；（2）依題意的可能取值為、、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.【小問1詳解】記檢測過程中兩件次品不相鄰為事件，依題意即將個芯片排列，其中兩件次品不相鄰的概率，所以.小問2詳解】依題意的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列為：所以.16.已知函數，，.（1）求函數的單調區間；（2）若且恒成立，求的最小值.【答案】（1）答案見解答（2）.【解答】【分析】（1）求導后，利用導數與函數單調性的關系，對與分類討論即可得；（2）結合函數的單調性求出函數的最值，即可得解.【小問1詳解】（），當時，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當時，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當時，的單調遞增區間為，沒有單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，當時，，當時，，所以，解得：，所以的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點，求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成夾角的余弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解答（2）存在，【解答】【分析】（1）合理構造圖形，利用線線平行證明線面平行即可.（2）建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法處理即可.【小問1詳解】取中點，連接分別為的中點，，底面四邊形是矩形，為棱的中點，，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，//平面.【小問2詳解】假設在棱上存在點滿足題意，如圖：連接，，，在等邊中，為的中點，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，則是四棱錐的高，設，則，∴，所以，以點為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，設，．設平面的一個法向量為，則所以可取.易知平面的一個法向量為，，，故存在點滿足題意.18.已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數．其中，且，記點的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．①當時，求證：的值及的周長均為定值；②當時，記的面積為，其內切圓半徑為，試探究是否存在常數，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．【答案】（1）答案見解答（2）①證明見解答；②存在；【解答】【分析】（1）設，由題意可得，結合橢圓、雙曲線的標準方程即可求解；（2）設點，其中且.（ⅰ）由可知三點共且，設：，聯立的方程，利用韋達定理表示，進而表示出，結合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進而表示出，化簡計算即可；（ii）由（ⅰ）可知三點共線，且，設：，聯立的方程，利用韋達定理表示，計算化簡可得，結合由內切圓性質計算即可求解.【小問1詳解】設點，由題意可知，即，經化簡，得的方程為，當時，曲線是焦點在軸上的橢圓；當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．【小問2詳解】設點，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程為，因，所以，因此，三點共線，且，（法一）設直線的方程為，聯立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；（法二）設，則有，解得，同理由，解得，所以，所以為定值1；由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．因為，所以的周長為定值．（ⅱ）當時，曲線方程為，軌跡為雙曲線，根據（ⅰ）的證明，同理可得三點共線，且，（法一）設直線的方程為，聯立的方程，得，，（*）因為，所以，將（*）代入上式，化簡得，（法二）設，依條件有，解得，同理由，解得，所以．由雙曲線的定義，得，根據，解得，同理根據，解得，所以，由內切圓性質可知，，當時，（常數）．因此，存在常數使得恒成立，且．【小結】方法小結：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.無窮數列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是﹔如果n是奇數，就對盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是．（1）寫出這個數列的前7項；（2）如果且，求m，n的值；（3）記，，求一個正整數n，滿足．【答案】（1），，，，，，；（2）；（3）（答案不唯一，滿足即可）【解答】【分析】（1）根據數列的定義，逐一求解；（2）根據數列的定義，分和分別求解；（3）根據數列的定義，寫出的值，即可求解.【小問1詳解】根據題意，，，，，，，．【小問2詳解】由已知，m，n均為奇數，不妨設．當時，因為，所以，故；當時，因為，而n為奇數，，所以．又m為奇數，，所以存在，使得為奇數．所以．而，所以