3.1線性定常系統的能控性

線性系統的能控性和能觀測性概念是卡爾曼在1960年首先提出來的。

當系統用狀態空間描述以后，能控性、能觀測性成為線性系統的一個重要結構特

性。這是由于系統需用狀態方程和輸出方程兩個方程來描述輸入-輸出關系，狀

態作為被控量，輸出量僅是狀態的線性組合，于是有“能否找到使任意初態轉移

到任意終態的掌握量”的問題，即能控性問題。并非全部狀態都受輸入量的掌

握，有時只存在使任意初態轉移到確定終態而不是任意終態的掌握。還有“能否

由測量到的由狀態重量線性組合起來的輸出量來確定出各狀態重量”的問題，即

能觀測性問題。并非全部狀態重量都可由其線性組合起來的輸出測量值來確定。

能控性、能觀測性在現代掌握系統的分析綜合中占有很重要的地位，也是很多最

優控制、最優估量問題的解的存在條件，本章主要介紹能控性、能觀測性與狀

態空間結構的關系。片點擊觀看

第一節線性定常系統的能控性

能控性分為狀杰能控性、輸出能控性（如不特殊指明便泛指狀態能控性）。

狀態能控性問題只與狀態方程有關，下面對定常離散系統、定常連續系統分別進

行討論（各自又包含單輸入與多輸入兩種狀況）：

一、離散系統的狀態可控性

引例設單輸入離散狀態方程為：

勺卜+1）=7陽

+1）=2彳式上）+昭）

初始狀態為：H（°）=bT°）=l

用遞推法可解得狀態序列:

0XIQ)=F@)=T

勺4)=2x??)+u(0)=2+u(0)

士=1勺(2)=-巾)=卜"

2

X2(2)=2X2(1)+U^)=2+2u(0)+u(l)

k=k-l,xj(k)=-xj(fc-1)=(-11^

r2(k)=2xj(k-l)+w(k-l)=2^+2f(0)+2“-訓1)+???+”伏一1)

可看出狀態變量勺網只能在+i或-I之間周期變化，不受M無)的掌握，不能從

初態勺(°)轉移到任意給定的狀態，以致影響狀態向量勺⑻/也不能在

〃㈤作用下轉移成任意給定的狀態向量。系統中只要有一個狀態變量不受掌握，

便稱作狀態不完全可控，簡稱不行控?？煽匦耘c系統矩陣及輸入矩陣親密相關,

是系統的一種固有特性。下面來進行一般分析。

設單輸入離散系統狀態方程為：

x(七+1)=①X&)+gu*)

(3-1)

式中，泰)為力維狀態向量；.功為純量，且在區間,*1］是常數，其

幅值不受約束；①為("6維非奇異矩陣，為系統矩陣；目為HZ)維輸入矩

陣：上表示打離散瞬時，T為采樣周期。

初始狀態任意給定，設為x(°);終端狀態任意給定，設為XW,為討論便

利，且不失一般性地假定xW=0o

單輸入離散系統狀態可控性定義如

下:

在有限時間間隔0?區”內，存在無約束的階梯掌握信號“(°),MD,

…避伍T)，能使系統從任意初態X(°)轉移到任意終態XW=0,則稱系統是狀態

完全可控的，簡稱是可控的。

由方程(3-1)的解

A.-1

*(乃二①、(o)+￡中心?韶的

i-0

(3-2)

可導出可控性應滿意的條件。按定義，令士=，，且XN=°,方程兩端左乘中

給出:

x(o)=-z①G)=-[①*(o)+①-9(1)4—F①*(〃-1)]

2-0

■〃(。廠

*

W(?-1)

(3-3)

令

s；=[①，①-①。]

(3-4)

該陣為("加維。方程(3-3)表示非齊次線性方程組，含〃個方程，含於個

未知數M。)，…,依據線性方程組解存在定理可知，當矩陣的秩與增

廣矩陣明0°)]的秩相等時，方程有解，否則無解。在M°)任意的狀況下，要使

方程組有解的充分必要條件是：能控陣滿秩，即

rcmk$=n

(3-5)

以上討論假定了終態H°）=°。若令終態為任意給定狀態皿），則方程（3-2）

變為：

①”*(0)-x(?)=-2①"'部(?

2-3

(3-9)

方程兩端左乘中有

則]

x（0）一①一-⑻=-①為①…①

(3-10)

該式左端完全可看作任意給定的另一初態，其狀態能控性條件能用以上推導方法

得出完全相同的結論，故假定是不失一般性的。

例3-1采用遞推法討論下列離散系統

1001rr

x(/c+l)-02-2x(k)+0”尢)

-1101

初態為XW=[21呼，試選擇H°）,刈）,x（2）使系統狀態在h=3時轉移到零。

2點擊觀看

解令4-0,1,2,得狀態序歹I」：

21

x⑴=①x(0)+(0)=2+0朔

x（3）=①乂⑵+韶⑵:曹x（0）+①2gw（0）+①韶⑴+韶⑵

2

12+-2〃（0）+—2以⑴+0“（2）

4-3

令建）=0,即解如下方程組:

-2-20⑷=-12

1幾（2）][.4

-3-1

矩陣即能控陣,當其非奇異時,可解出:

r111T1r-21222-2-5

-12-12=11

以⑴=-2-20-12=2i2_4_8

產⑵」[-3-11J1-4J[12°]

即取M）=IL.2）=-8時，可在第三個采樣周期瞬時使系統轉移到零狀

態，因而系統是能控的。

若想討論可否在其次個采樣周期內便使轉移到零狀態，只需討論"⑵=0時

是否存在"（°〉見〉令*（2）=0,解如下方程組：

-2

-1

11-2

-20-6

簡單看出系數矩陣的秩為2,但增廣矩陣I11°」的秩為3,兩個秩不等，故

無解，表示不能在其次個采樣周期內使給定初態轉移到零。對于某些系統則是可

能的。

例3-2試用能控性判據推斷例3-1的狀態能控性。

111

0-2-2=3=?

解ran5i=rankle，rankl-1-1-3-

111

周二H題①％|=0-2-2=4^0

或1一1一3,故能控。

例3-3設4'(°)同例3T,6=[12"，試推斷能控性。

111'

222=1<3

解ranks!=rank16①，卜rankI-11”故不能控。

關于討論單輸入離散系統狀態可控性的方法可推廣到多輸入系統。設系

統狀態方程為：

x(fc+1)=4^x(Jc)+Gk(k)

(3-11)

式中吶為卜'1)維掌握向量，G為("M維輸入矩陣。問題轉化為能否求出

無約束的掌握向量0°),皿)，…，M〃T),使系統從任意初態H°)轉移到

響=0。

方程(371)的解為：

%付=中“(0)+2中bZQtG)

2-0

(3-12)

令無=為，且兩端左乘中T得:

x(O)=g^Gu(O

i-0

=-[①-，(o)+①-Su⑴+…+①fGu[-1)]

r-(o)i

二-即】G①二G…①7G]叩

(3-13)

令與=慘-16中-2G...中t?(3-14)

該陣為伍x咽)維矩陣；同.°),…，認〃-1)子列向量構成的掌握列向量是a

維的。式(3T3)含有口個方程，叩個待求掌握量。由于初態.°)可任意給定,

依據解存在定理，唯有叫矩陣的秩為-時，方程組才有解，于是多輸入離散系

統狀態能控的充要條件是：

rank羽="

(3-15)

或

ran"

(3-16)

或

rank=rank*^=

rank*"G中iG…中GG上月(3

-17)

或

rank62

rank[G①G]=?

(3-18)

式(3-15)至式(3-18)均稱為多輸入離散系統能控性判據。

一般多輸入系統，式(3T3)所含的方程個數息少于未知數個數，方程組的解

不唯一，可以任意假定伍月一編個掌握量，其余〃個掌握量才能唯一確定，這意

味著掌握序列的選擇將有無窮多種方式。

例3-4試推斷下列雙輸入三階離散系統的狀態可控性:

x(fc+l)=4>x(k)+

式中

42-1

①二0-20i=1,2G]二

1-40

-122-4

3Gl=0-204

解計算0-4-110

故

00:-122-4

&=區中.??,01:0-204

10:0-4-110

顯見由前三列組成的(3x3)矩陣的行列式

00-1

010工0

00

det1

故ranS1=3,系統可控。

01:-1-223

$2=[G?中G????中2G?]=00:0000

10:01-1-2

顯見消失全零行，rank^=2<3,故不能控。

多輸入系統能控陣與,其行數小于列數，在計算列寫能控陣時，若顯見與

矩陣的秩為,便不必把與矩陣的全部列都寫出。有時可通過計算心?S『的

秩是否為“來推斷多輸入系統的能控性。這是由于，當與非奇異時，心-*必

非奇異，而為方陣，只需計算一次〃階行列式即可確定能控性，但在計

算力時，可能需多次計算閥階行列式。

在多輸入系統中，使任意初態x（°）轉移至原點一般可少于〃個采樣周期。

見例3-4,令k=O,M）=O,可給出；

則

0

1

x(C)=-4>-Gitt(O)=-0

1

12

1

0-

2

3

2-

已知式°），若能唯一確定內（°｝叼⑺，便表示能在第一個采樣周期將工⑺轉移

到原點。

一、連續系統的狀態能控性

引例設單輸入連續系統方程為：

=-2X]+町+〃

其中，其次個方程只與狀態變量町本身有關，且與U無關，是不能控

狀態變量；"受U掌握，是能控狀態變量。顯見〃可影響》而不能影響與，

于是使狀態微量不能在U作用下任意轉移，稱狀態不完全能控，簡稱不能控。

為導出連續定常系統的狀態能控性矩陣，需應用凱萊-哈密爾頓定理的推論，故

先介紹該定理。

關于凱萊-哈密爾頓定理及其推論

設、階矩陣4的特征多項式為：

/(勾=w-a=淤+*舒+…+的

(3-19)

則矩陣力滿意

/(/)=/*+4_14T+…+&)/=0

(3-20)

證明據逆矩陣定義有：

197⑷-】一-喇口一.-而㈤

(3-21)

式中B⑶為元素蜒是四一⑷的伴隨矩陣。方程(3-21)兩端右乘("-⑷得:

(3-22)

由于5㈤的元素團-⑷代數余子式，均為次多項式，故據矩陣加法運算

規章，可將其分解為n個矩陣之和：

鳳義)=小-%_1+/-2紇_2+…+義務+島

(3-23)

式中冬_】,…'瓦均為伍-1)階矩陣。將式(3-23)代入式(3-22)并綻開兩端:

不為_1+矛T(&_2-當-/)+十4(當_3-桀々4)+…+川瓦+瓦⑷-瓦4

=矛1+a；(一］4“-1工+…+apiZ+HQI(3-24)

采用兩端片同次項相等的條件有：

瓦

瓦-1

-2

當-3

(3-25)

將式(3-25)按挨次兩端右乘#，Ai工，可得:

&W="

KA

BK_2A-

X2

BK_3A--卜

BQA—=Q^A.

--c?0Z

(3-26)

將式(3-26)中各式相加有：

(7Z=0

f(A)=A*++￡7S_2A--2+???+a1A+0

(3-27)

得證。

推論1矩陣不可表為工的(〃T)次多項式:

A'=-%_]A"T-—…—&A—旬1

(3-28)

A"I=AA.x=——a—A'"-…-'A，—LJQA=0

2?

二一々-1（一即』A*-i-即-2AdpA-a0l）-4_2A*T-—a^2+GA

+（%］劭一的）A?,+%1他1

故/降苗可一般表為力的伍T)次多項式：

淤=工在㈱心依2句

tn」)

(3-29)

式中心均與N陣元素有關。

采用推論1可簡化計算矩陣的幕。

12-

A=

例3-5已知L0”，求那°=?

解N為二階矩陣，-=2。

先列定▲的特征多項式：1加-吊=印-筋+1

據凱萊-哈密爾頓定理：/⑷=膜-24+1=0

A2=-2A-I

故A3=AA2=2A2-A=2(2A-I)-A=3A-2I

A4=AA3=3A2-24=3(24-I)-2A=44-31

據數學歸納法有:A^=k4-（k-l）Z

故:

1002001[9901200

4loo=lOOA-99Z=

0100J-[o9901

推論2矩陣指數可表為N的J"）次多項式:

M-0

(3-30)

由于

e"=I++++/]八A」“嚴"

j,+1+1

+士"+7-L-2if*+…+%%+...

川3+11kf

=￡+++…十/1八RTfX-l

+-j4-14，"-ax-2^'-2％42-々/-。0"卜

+(，“(-々3-/-2卜1+h-陷-一2與)4"-'+…

+h-0-a》'+.乂-1a1-々ok+4-1-+，,

=<x0(f)Z+a1(f)X+a2g"2+...+/陽

x-1

=卒』的

n-0

(3-31)

式中

%,)=1-?。尸+口^鏟1耐"1+…

%(f)=f勺尸+瓦一1也一如尸+i+…

%,)=攝戶—J"*'+(匕I*("-I"2一40/+”「卜

&-陰=F^iy""一金用"+(%.】-叫尸"+…

(3-32)

均為鼎函數，在10'時間區間內，不同時刻構成的向量組

&(。)，…，4-1(0)1…，辰W…，是線性無關向量組，這是由于其中任一

向理都不能表為其它向量的線性組合。

同理：

?-o(3-

33)

其中

。0,)=1-(-1)'+(一1>3.；]Jax-Ko產+1+…

a-k)=(-1嚴點/1-CT5%尸

+(-嚴以1-明卜"+…

(3-34)

設單輸入連續系統狀態方程為：

x=Ax+bu

(3-35)

其狀態能控性定義如下：

在有限的時間間隔環金金/內，存在無約束的分段連續掌握函數達”能使

系統從任意初態建。)轉移到任意終態式0)，則稱此系統是狀態完全能控的，

簡稱是能控的。

方程(3T9)的解為:

X(2/)=①-4卜(4)①-

=0a-匕(幻①八

兀

(3-36)

小上一外為狀態轉移矩陣。為導出能控性應滿意的條件，仍可不失一般性地假定

fo=°,及于是有：

°-"，*(0)+("/廠4〃(永丁=0

故

x(O)="%(浜

(3-37)

采用凱萊-哈密爾頓定理，可推論出如下結果(證明見本問題末)：

?-i

A1M

e~=^aK(r)A=a0(r)l+aY(r)^+.?.+

M-0

(3-38)

即用無窮級數表示的可改用N的NT)次多項式來表示；并經證明，其

為卜)…，怎』(。都是時間，的不同基函數，并且向量1ao是線性無關向

量。于是有：

x(°)=-1ZJA%(*F

M-0(3

-39)

令

4=］；'%(+(小下幽=0,1，…儲一1

(3-40)

L為純量；則

x（0）=—=—（b^Q+Ah/+…+A"%%一]

-%-

=—[hAh…A""b].1

*

%L

3.2線性定常系統的能觀測性

?、離散系統的能觀測性

引例設單輸入離散系統動態方程為

—I)][-10]網叫+1%仇）

則=[1。]專

用遞推法求解第八"I、，+2采樣時刻的輸出量：

加=[1°]”叱=勺々)

Lx2WJ

如一。愣H唱]副性）

=-恭)+誠)

如2)=[10『窗

「[-1oT、G)1r〔TO][以G）+[io.：〃G+i）

=10y+10.

to2」島(川[02j

=/6)-〃6)+〃6+1)

可看出在己知燉）〃G+i）的狀況下，在第，步便可由輸入、輸出確定，/）,

而輸出中始終不含有叼，于是與不能由輸出量觀測到，是不能觀測的狀態變

量。系統中只要有一個狀態變量不能由輸出量觀測到，就稱該系統不完全可觀測,

簡稱不能觀測。能觀測特性與系統矩陣及輸出矩陣親密相關，是系統的一種司有

特性。下面只對多輸出狀況進行一般分析。

離散系統能觀測性定義如下：

己知輸入MmT）的狀況下，通過在有限個采樣周期內量測到的輸出

?（0>,能唯一地確定任意初始狀態H。）的n個重量，則稱系統是

完全能觀測的，簡稱是能觀測的。

設多輸入-多輸出離散系統動態方程為：

x（k+1）=中x付+Gt（￡）

y付=Cc（k）+

狀態方程的解：

x（k）=①Sr（0）+￡①I7GU⑥

2-0

（3-70）

則

A-I

，付=煤底（0）+,工中b17比@+加取）

2-0

（3-71）

既然“初小、G、C、D均為已知，討論能觀測性問題時可不失一般性地簡化動態

方程為：

x伍+1)=①x(k)

(3-72)

7付=&伏)

(3-73)

其狀態方程的解:

響=①。(0)

(3-74)

及

W)=Wx(。)h=O,l,???,”l

(3-75)

若將式(3-71)右邊后兩項移至左邊合并起來，仍為已知量，其方程性質同式

(3-75)o綻開式(3-75)有:

跑=&(。)

腐=血@)

m一1)=行』則\

(3-76)

式中好"，由-1)各代表4個方程，共計預個方程，“(°)含有M個未知量。

寫成矩陣向量形式：

(3-77)

令

C-

Ct>

匕r=：

川-1

(3-78)

式(3-78)為%X句維能觀測性矩陣。在式(3-75)的做個方程中若有力個獨立

方程，便可確定唯一的一組巧(°),故系統能觀測的充要條件是:

ranld^r=?

(3-79)

由于叫了=/，故系統能觀測的充要條件通常表示為:

rankPi7=rankCT<t>rCr做尸斗力

(3-80)

匕為離散系統能觀測性矩陣，顯見只與中、。矩陣有關

例3-11推斷下列系統的能觀測性：

X依+1)=中

y的=Cpr(乃i=1,2

式中

■10-1121

①二0-2;g=-1

.301

001

G=@10)

100

解計算能觀測性矩陣匕：

⑴可上TM呻］

303

K卜1-24=3,0

⑵

01319-2

Fi=000000

102-11-3

顯見匕矩陣消失全零行，故儂^匕=2￥3,系統不能觀測。

本例看出，輸出矩陣為G時，『付=心（“第兒步便同輸出確定了>2；當

J僅+1）=與依+1）=-2町6）+與卜）時便可確定勺；當

m+2）=-2與6+1）+勺依+1）=4勺々）+3X陽時便可確定勺，對三階系統來說，在三

步以內能由『口，」卜+1）,『R+2）測得全部狀態，故能觀測。而輸出矩陣為G

時，

藥優）一

y（勸二

為的

與（上+i）-ir3勺（上）+2均（無）

y（上+1）=再G+i）_|-［再㈤-弓（勸.

3為優+1）+2弓（分+1）~|90優）+勺伏）

y/+2）=

公化+1）-勺伍+1）J［一2內的一3X3伏）

可看出在三步內，其輸出始終不含門，故門是不能觀測狀態。以上分析表明,

能觀測性是與小、。有關的；中確定后，則與c的選擇有關。

二、連續系統的能觀測性

連續系統的能觀測性定義如下：

已知輸入說），通過在有限時間間隔“金金/內量測到的輸出力），

能唯一確定任意初始狀態工卜。）的每一重量，則稱系統是完全能觀測的，簡稱是

能觀測的。

設連續系統動態方程為：

x=Ax+Bit

y=Cx+Du

狀態方程的解：

x（￡）=e或f）x（4）+[e^?_x）Bu（T）2?T

貝產）…丸te4一出u⑺dt+Du

已知〃、N、3、C、P,可不失一般性地假定注=0及4=°,于是有：

7（2）=0g（0）=。/%（2/\（0）

m-0

=[c/（z）+C%,）A+…+0%.1（辦"1卜（。）

C

CA

二%?丸…%』（鞏]：x（O）

■

CAX1

（3-81）

式中4為4階單位矩陣，是為將MO記為向量矩陣形式而引入的。已知

1飛（‘火’…'的的列線性無關，于是依據測得的亦）值可唯一確定.°）

的充要條件是：睇X，）維矩陣叼的秩為?,即

rank=

c

CA

rank0421

(3-82)

由于rankrf=rank匕，故連續系統能觀測的充要條件通常表示為:

rank^2二

rankH伊心，…（川廣3“

(3-83)

嘮、用均稱能觀測性矩陣。若系統能觀測，則其H司對稱為能觀測對，的司

亦然。

例3-12推斷下列連續系統的可觀測性:

4-20

⑴°-1-"=。年。】

解計算能觀測性矩陣匕:

⑴rank%=rankJ=arnkI-0。卜，故不能觀測。

1-110

..=2

rankF2=rankaTcTJ=arnkL01--2-

⑵

故可觀測。

三、N為對角陣、約當陣的能觀測性判據

當系統矩陣已叱成對角形或約當形時，應用能觀測性矩陣導出推斷能觀

測性的簡捷方法。

引例設對角化系統矩陣及輸出矩陣為：

40

042=h$

能觀測性矩陣匕的行列式為:

;4s

detF2=公也丁川切：與石

當det%工°時系統能觀測，于是要求：

當/有相異根時體‘4),應存在白"，6，。。若4=為，該系統始終不

能觀測。也就是說，4陣對角化且具有相異根時，只需依據輸出矩陣沒有全零

列即可推斷能觀測；木角化陣中含有相同元素時，則不能這樣推斷。

設約當化系統矩陣及輸出矩陣為

能觀測性矩陣匕的行列式為：

dctv^=dct^=21c/ff(c】+c㈤-在n=c?

只要c/0,系統便能觀測；允許與為零或為任何非零數值。也就是說，N陣僅

含約當塊M,輸出矩陣中與約當塊最前一列所對應的列沒有全冬列，即可推斷系

統能觀測。

以上判據方法可推廣到對角化、約當化的、階系統。

設系統動態方程(已令u=0而不失一般性)為:

(3-84)

(3-85)

其中N為對角陣且元素各異，這時狀態變量間解除了耦合。簡單寫出狀態方程

的解：

(3-86)

(3-87)

顯見當輸出矩陣中第一列全零時.，在輸出量九比…，為中均不含有媼°),媼°)

是不能觀測的。N為對角化且元素各異時，系統能觀測的充要條件可表示為：

輸出矩陣中沒有全零列。

力為對角形但含有相同元素時(對應于重特征值但仍能對角化的狀況)，

以上表達方式不適用，仍應依據能觀測性矩陣的秩條件來推斷。

設系統動態方程如下:

41o再

4X、

■

*■

o

(3-88)

(3-89)

系統矩陣中含有二重特征值4及相異特征值4,…，4。動態方程的解:

%（o）-

叼（0）

工3（0）

■

*■

.醺觸

(

3-90)

(3-91)

顯見輸出矩陣第一列全零時，輸出量加.、坊均不含有上（°）;若第一列不全零,

必有輸出量，既含有八（°）,又含有勺（。），于是輸出矩陣其次列允許全零。故A

陣為約當形時，系統能觀測條件必滿意如下兩個條件：

⑴輸出矩陣中與約當塊最前一列對應的列不得全零（允許輸出矩陣中與

約當塊其它列對應的列為全零）；

⑵輸出矩陣中與N陣中相異特征值對應的列不得全零。

當相同的特征值不是包含在一個約當塊內，而是分布于不同約當塊時，例如

L10

o90

*^

OO

^1,上述推斷方法不適用，其分析見能控推斷，這時仍應以能觀測性矩

陣的秩來推斷。

例3-13推斷下列系統的能觀測性:

夫1-21%

200

0-2

00-1

00

1.

10

石-1

7-[-50200]

-21

0-2

2.1/5」L^J

八>1

-201/=[10]

3.㈤0-3

*11%.

y=[11]1

0

4.

104

當020

-20

一必00-1

03LJ」

X1X1

1o

石-1

-217=[-50020]

-21

0-2

6.35.1/5」L^J

解1.約當塊第一列位于系統矩陣第一列，而輸出矩陣第一列不全零;

相異根位于系統矩陣第三列，而輸出陣第三列也不全零，故能觀測。

2.含兩個約當塊，其第一列分別位于系統矩陣第一列及第三列，其輸出

陣第一、三列不全零，故能觀測。

3.工已對角化且元素各異，但輸出陣有全零列，故不能觀測。

4.工已對角化但元素相同，輸出陣雖無全零列，也不能觀測。

5.約當塊第一列位于系統矩陣第一列，但輸出陣第一列全零，故不能觀

測。

6.含兩個約當塊，其第一列分別位于系統矩陣第一、三列，但輸出陣中

第三列為全零列，故不能觀測。

四、能觀測標準形問題

設單輸入線性定常系統動態方程（單輸入為例）為：

(3-92)

(3-93)

計算能觀測性矩陣《：

000???1?

000

001...X

01X

1一4』一4-1+W』…X

(3-94)

顯見這是一個右下三角陣，巴上0，肯定是能觀測的，這就是形如式(3-92).

式(3-93)中的N、。稱作能觀測標準形名稱的由來。

一個能觀測系統，若其矩陣工、。不具能觀測標準形時，定可選擇適當變

換化為能觀測標準形，其變換矩陣的求法見對偶原理一節。

五、線性變換的特性

在前面所作的分析中，為了便于討論系統各種特性，需對系統進行線性變換,

全部這些變換都是滿秩線性變換，如將N陣化對角形或約當形需進行尸變換，

將N、》化為能控標準形需進行尸-1變換，將A,。化為可觀測標準形需進

行戶變換等等。引入線性變換后，對于系統的特性，如特征值、可控性、可觀

測性，是否會引起轉變呢？下面來分析論證。

設系統動態方程為：

x=Ax+BIL

y=Cx+Du

以引入尸變換為例，即令于是變換后：

z=p-1APz4-P-1Bi

y=CPz+Du

1.線性變換后系統特征值不變。

證明列出變換后系統矩陣的特征多項式：

|^I-P-1AP|=|^P-1F-p-1AP|=|p-1/af>-p-1AP|=|p-1(/iI-A)F|

="忸-硼卡呼-睛㈤-用巾-國

表明與變換前特征多項式相同，故特征值不變。

2.線性變換后系統能控性不變。

證明列出變換后可控性矩陣的秩:

rag=r劭虹p-iB,(pTAP)p-iB,(pTAP)2p-iB,…，8-1Ajy-ip-ip]

11111111

=r^PB:p-AB,(p-AP)(p-AF)p-B,...J(p-AP)(p-AF)p-B]

Jl-1

-1-1

=r^PB:PAB,P

=.就產1[B,AB,A2B,…,A"1B]=尸口甩&B,ABNB,…,Af]

表明與變換前能控性矩陣的秩相同，故系統能控性不變。

3.線性變換后系統能觀測性不變。

證明列HI變換后可觀測性矩陣的秩：

=m^[(CP)T,(p-1AP)T(CP)T,|(p-1AP)2lT(CP)T,...,[(p-1AP)Il-1]T(CP)T]

=m^[PTC,PTAT(PT)-1p-1CT,FT(A2)T(PT)-1PTCT,-,PT(A,l-1)T(PT)-1PTCT]

=rank^T[CT,ATC「(A2)TCT,…,W-1)TC”

=raz^[CT,ATCT,(A2)TCT,-,(An-1)TCT]

表明與變換前能觀測性矩陣的秩相同，故系統能觀測性不變。

4.線性變換后系統傳遞矩陣不變(其證明見第一章第四節)。

3.3能控性、能觀測性與傳遞函數(矩陣)關系

描述系統內部結構特性的能控性和能觀測性，與描述系統外部特性的傳遞函

數之間，是必定存在親密關系的，這里揭示出能控性、能觀測性與傳遞函數的零

極點對消現象之間的關系，可用來推斷單輸入-單輸出系統的能控性、能觀測性;

傳遞函數矩陣的行或列的線性相關性，可用來推斷多輸入-多輸出系統的能控性、

能觀測性。這是又一種推斷系統的能控性、能觀測性的判據，是在S域內的判據。

一、單輸入-單輸出系統

設系統動態方程為：

x=Ax+bu

y=ex

當N陣具有相異特征值與…，4時，引入滿秩線性變換x