第頁，共頁2024-2025學(xué)年二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題滿分150分考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計算：（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】根據(jù)排列，組合數(shù)計算公式進(jìn)行計算即可.【詳解】.故選：D.2.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理列式即得.【詳解】依題意，每個人的選購方式有3種，所以不同的選購方式有種.故選：A3.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二項(xiàng)式定理計算即可.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，取，則，系數(shù)為.故選：A4.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)與所成角的大小為，則.故選：C5.從中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查條件概型的計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】當(dāng)個位數(shù)為0時，從其他4個數(shù)選3個進(jìn)行排列，當(dāng)個位數(shù)為2或4時，從剩下的非零的3個數(shù)中選一個排在千位，再從剩下的3個數(shù)中選2個排在十位和百位，最后用分類計數(shù)原理求解.【詳解】當(dāng)個位數(shù)為0時，有個，當(dāng)個位數(shù)為2或4時，有個，所以無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故選：C.7.已知，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間點(diǎn)到直線的距離公式計算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以在上投影的長度為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：C8.如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2名女生、4名男生排成一排，則2名女生不相鄰的排法有種.A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意，先排男生，再插入女生，可得選項(xiàng)B正確，或用減法，先進(jìn)行全排列再減去女生相鄰的情況，可得選項(xiàng)C正確．【詳解】由題意，可先排男生，再插入女生，可得兩名女生不相鄰的排法共有，故B正確；也可先進(jìn)行全排列，則2名女生相鄰情況為，則2名女生不相鄰的排法有，故C正確；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)，則下列說法正確的是（）A. B.C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng) D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式、賦值法以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來逐一分析選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)，在中，令，可得，所以選項(xiàng)錯誤.對于選項(xiàng)，令，則，即.由選項(xiàng)可知，所以，選項(xiàng)正確.對于選項(xiàng)，因?yàn)闉榕紨?shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)（即第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，選項(xiàng)錯誤.對于選項(xiàng)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.因?yàn)?，即，選項(xiàng)正確.故選：BD.11.如圖，點(diǎn)在正方體的面對角線上運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的是（）A.三棱錐的體積不變 B.平面C. D.平面平面【答案】ABD【解析】【分析】利用等體積法判斷體積不變，A正確；證明平面平面，即知平面，B正確；建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的數(shù)量積運(yùn)算證明C錯誤D正確即可.【詳解】對于A，的面積是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積是定值，即三棱錐的體積不變，故A正確；對于B，由選項(xiàng)A知，平面，同理平面，而，平面，∴平面平面，平面，平面，故B正確；對于C，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，P在上，故可設(shè)，則，，，則不一定為0，和不垂直，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的值為______．【答案】6或8【解析】【分析】由組合數(shù)公式的性質(zhì)即可直接求得答案.【詳解】因?yàn)椋曰?，其中，解得或，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，故答案為：或.13.被9除所得的余數(shù)是__________.【答案】2【解析】【分析】由，然后根據(jù)二項(xiàng)式定理結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)橛帜鼙?整除，所以被9除所得的余數(shù)為2，故答案為：2.14.某小區(qū)為了做好防疫工作組織了6個志愿服務(wù)小組，分配到4個大門進(jìn)行行李搬運(yùn)志愿服務(wù)，若每個大門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為_________.【答案】1560【解析】【分析】根據(jù)題意，共有“”與“”兩種分配方案進(jìn)行分配，利用排列組合計數(shù)即得(注意部分平均分組).【詳解】因每個大門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進(jìn)行服務(wù)，故有兩種分配方案：第一種“”方案：先從6個志愿服務(wù)小組選取3個小組為一大組與另外的三個小組分成4組，到4個大門進(jìn)行服務(wù)，共有方法種數(shù)為；第二種“”方案，依次從6個志愿服務(wù)小組選取2個，2個，1個，1個到4個大門進(jìn)行服務(wù)，共有方法種數(shù)為，由分類加法計數(shù)原理，不同的分配方法種數(shù)為.故答案為：1560.四、解答題：本題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明工程或演算步驟.15.已知.（1）求；（2）求與夾角的余弦值；（3）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）-10（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律,即可求解.（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.（3）由,轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】當(dāng)時，，得，，或.16.某班級甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生．（1）若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長，則有多少種不同的選法？（2）若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長，則有多少種不同的選法？（3）若從甲、乙兩組中各選2人參加核酸檢測，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？【答案】（1）64；（2）128；（3）51.【解析】【分析】（1）利用分步原理即得；（2）利用先選后排可求；（3）先分類再分步即得【小問1詳解】利用分步原理可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長，共有種不同的選法；【小問2詳解】先選后排，可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長有種不同的選法；【小問3詳解】先分類再分步：第一類：甲組1男生：，第二類：乙組1男生：，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有51種.17.如圖，在正方體中，是正方形的中心，是的中點(diǎn).（1）求證：是平面的法向量；（2）求與平面所成角的余弦值；（3）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積為來證明垂直關(guān)系.（2）可先求出直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值，再根據(jù)線面角與向量夾角的關(guān)系求解.（3）可通過求出平面與平面的法向量，根據(jù)法向量夾角與二面角的關(guān)系得出二面角的大小.【小問1詳解】設(shè)正方體的棱長為，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，.所以，，.，可得.，可得.因?yàn)?，且平面，所以平面，即是平面的法向?【小問2詳解】.設(shè)與平面所成角為，與的夾角為.則.，，.所以.則.【小問3詳解】設(shè)平面的法向量為，，.由，即，令，則.設(shè)二面角為，與的夾角為.則.所以二面角的大小為.18.在二項(xiàng)式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1），（2）（3）【解析】【小問1詳解】選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②：，即，解得.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.【小問2詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為；【小問3詳解】由展開式的通項(xiàng)為，假設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，解得，且，所以，即系數(shù)最大項(xiàng).19.高二（16）班參加青華中學(xué)紅五月節(jié)目：猜歌名，班級只有一個名額，結(jié)合平時觀察積累，閆某峻，賈某軒兩名學(xué)生進(jìn)入最后選拔，申老師為此設(shè)計了如下選拔方案：挑選8首歌進(jìn)行測試，在這8首歌曲中，閆某峻能正確說出其中的6首歌名，賈某軒能正確說出每首歌名的概率均為，假設(shè)閆某峻、賈某軒兩名學(xué)生說出每首歌名都相互獨(dú)立、互不影響，現(xiàn)閆某峻、賈某軒從這8首歌中分別隨機(jī)抽取4首進(jìn)行競猜（1）求閆某峻、賈某軒共答對3首歌名的概率；（2）從數(shù)學(xué)期望和方差的角度分析，應(yīng)選拔哪個學(xué)生代表高二（16）班參加紅五月活動？【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用超幾何分布和二項(xiàng)分布求概率即可；（2）計算出兩人答對歌名個數(shù)的期望和方差即可.【