安徽省阜陽一中2013-2014學年高二上學期期末考試（數學理）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x|2x-1>0}，B={x|-3≤x≤1}，則A∩B=（）A.{x|1/2<x≤1}B.{x|x>1/2}C.{x|x≤1/2}D.{x|x<1/2}2.函數f(x)=x^3-3x在（-∞，+∞）上的單調性是（）A.單調遞增B.單調遞減C.單調遞增后單調遞減D.單調遞減后單調遞增二、填空題要求：將答案填寫在橫線上。3.若復數z=i（i為虛數單位），則|z|=______。4.設函數f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，若f(x)的圖像開口向上，則a的取值范圍是______。三、解答題要求：寫出解答過程。5.已知函數f(x)=x^3-3x，求f(x)的導數f'(x)。（1）求f'(x)的表達式；（2）求f'(x)的零點；（3）分析f'(x)的符號，判斷f(x)的單調性。6.設函數f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，求證：f(x)的圖像關于直線x=-b/2a對稱。（1）證明f(-b/2a)=f(0)；（2）證明f(-b/2a)=f(-b/2a+c)；（3）得出結論。四、證明題要求：證明以下等式7.證明等式：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3對于所有實數a和b成立。五、應用題要求：應用所學知識解決實際問題8.一批零件的重量服從正態分布N(μ,σ^2)，其中μ=100克，σ=10克。求：（1）該批零件重量小于80克的概率；（2）至少有兩個零件重量超過120克的概率；（3）重量在90克到110克之間的零件的比例。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決問題9.已知函數f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，且△=b^2-4ac>0。求：（1）證明函數f(x)在(-∞，-b/2a)上單調遞減，在(-b/2a，+∞)上單調遞增；（2）求f(x)的最小值f_min(x)和最大值f_max(x)；（3）當a=1，b=-4，c=3時，求f_min(x)和f_max(x)的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：集合A由不等式2x-1>0確定，解得x>1/2；集合B由不等式-3≤x≤1確定。因此，A∩B是x同時滿足這兩個條件的集合，即1/2<x≤1。2.B解析：函數f(x)=x^3-3x的導數f'(x)=3x^2-3。當x<0時，f'(x)>0，函數單調遞增；當x>0時，f'(x)<0，函數單調遞減。因此，函數在整個定義域上單調遞減。二、填空題3.1解析：復數z=i的模是|z|=√(0^2+1^2)=1。4.a>0解析：函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，意味著二次項系數a必須大于0。三、解答題5.解答：（1）f'(x)=3x^2-3；（2）令f'(x)=0，得3x^2-3=0，解得x=±1；（3）f'(x)在x=-1和x=1時改變符號，因此f(x)在(-∞，-1)上單調遞增，在(-1，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增。6.解答：（1）f(-b/2a)=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c=a(b^2/4a^2)-b^2/2a+c=-b^2/4a+c；f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c；因此，f(-b/2a)=f(0)；（2）f(-b/2a+c)=a(-b/2a+c)^2+b(-b/2a+c)+c=a(b^2/4a^2+2bc+c^2)-b^2/2a+bc+c=-b^2/4a+c；因此，f(-b/2a)=f(-b/2a+c)；（3）由（1）和（2）可知，f(x)的圖像關于直線x=-b/2a對稱。四、證明題7.證明：左邊=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3；右邊=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3；因此，左邊=右邊，等式成立。五、應用題8.解答：（1）P(X<80)=1-Φ((80-100)/10)=1-Φ(-2)=Φ(2)=0.9772；（2）P(X>120)=1-P(X≤120)=1-Φ((120-100)/10)=1-Φ(2)=0.0228；P(至少有兩個超過120克)=P(X>120)^2=(0.0228)^2=0.000065；（3）P(90<X<110)=Φ((110-100)/10)-Φ((90-100)/10)=Φ(1)-Φ(-1)=0.8413-0.1587=0.6826。六、綜合題9.解答：（1）由f'(x)=2ax+b，當x<-b/2a時，f'(x)<0，函數單調遞減；當x>-b/2a時，f'(x)>0，函數單調遞增；（2）f_min(x)=f(-b/2a)=-Δ/4a；f_ma