安徽省廬巢七校聯盟2020屆高三第四次聯考試題理（數學含解析）一、選擇題要求：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$2.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，則$f'(\alpha)$的值是（）。A.0B.1C.2D.33.已知函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$，若$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$4.已知函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$5.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$6.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞減，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$7.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，則$f'(\alpha)$的值是（）。A.0B.1C.2D.38.已知函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$，若$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$9.已知函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$10.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）。A.$(-\infty,-2]$B.$[-2,+\infty)$C.$(-\infty,-1]$D.$[-1,+\infty)$二、填空題要求：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x^2-4}$的極值點為______。12.函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的導數為______。13.函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$的導數為______。14.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的單調遞增區間為______。15.函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$的單調遞減區間為______。三、解答題要求：本題共3小題，共75分。16.（本小題滿分15分）已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。17.（本小題滿分20分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，求$f'(\alpha)$的值。18.（本小題滿分40分）已知函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$，若$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，求實數$a$的取值范圍。四、解答題要求：本題共3小題，共75分。19.（本小題滿分15分）已知函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。20.（本小題滿分20分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$（$x>0$），若存在實數$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，求$f'(\alpha)$的值。21.（本小題滿分40分）已知函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$，若$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，求實數$a$的取值范圍。五、解答題要求：本題共3小題，共75分。22.（本小題滿分15分）已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。23.（本小題滿分20分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若存在實數$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，求$f'(\alpha)$的值。24.（本小題滿分40分）已知函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$，若$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，求實數$a$的取值范圍。六、解答題要求：本題共3小題，共75分。25.（本小題滿分15分）已知函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$（$x>0$），若$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。26.（本小題滿分20分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$（$x>0$），若存在實數$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，求$f'(\alpha)$的值。27.（本小題滿分40分）已知函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$，若$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，求實數$a$的取值范圍。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+2a>0$，解得$a>-\frac{1}{2}$，故選B。2.A解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，由$f'(\alpha)=0$得$3\alpha^2-6\alpha+4=0$，解得$\alpha=1$，代入$f'(x)$得$f'(1)=1$，故選A。3.B解析：函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$的導數為$f'(x)=\frac{(6x^2-12)(x^2-4)-(2x^3+3x^2-12x-18)\cdot2x}{(x^2-4)^2}$，化簡得$f'(x)=\frac{4x^4-24x^2+48}{(x^2-4)^2}$，要求$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，即$f''(x)=\frac{-16x^3+96x}{(x^2-4)^3}<0$，解得$x>2$，故選B。4.A解析：函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{x^3}<0$，解得$x>2$，故選A。5.B解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$的導數為$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{6}{x^4}<0$，解得$x>2$，故選B。6.A解析：與第1題類似，函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞減，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+2a<0$，解得$a<-\frac{1}{2}$，故選A。7.A解析：與第2題類似，函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，由$f'(\alpha)=0$得$3\alpha^2-6\alpha+4=0$，解得$\alpha=1$，代入$f'(x)$得$f'(1)=1$，故選A。8.B解析：與第3題類似，函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$的導數為$f'(x)=\frac{(6x^2-12)(x^2-4)-(2x^3+3x^2-12x-18)\cdot2x}{(x^2-4)^2}$，化簡得$f'(x)=\frac{4x^4-24x^2+48}{(x^2-4)^2}$，要求$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，即$f''(x)=\frac{-16x^3+96x}{(x^2-4)^3}<0$，解得$x>2$，故選B。9.A解析：與第4題類似，函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{x^3}<0$，解得$x>2$，故選A。10.B解析：與第5題類似，函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$的導數為$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{6}{x^4}<0$，解得$x>2$，故選B。二、填空題11.$x=2$解析：函數$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x^2-4}$的導數為$f'(x)=\frac{3x^2-6x+4}{(x^2-4)^2}$，令$f'(x)=0$得$3x^2-6x+4=0$，解得$x=2$，故極值點為$x=2$。12.$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$解析：函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$。13.$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$的導數為$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}$。14.$(-\infty,1)$，$(2,+\infty)$解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$3x^2-6x+4=0$，解得$x=1$和$x=2$，故單調遞增區間為$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$。15.$(2,+\infty)$解析：函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$的導數為$f'(x)=\frac{4x^4-24x^2+48}{(x^2-4)^2}$，要求$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，即$f''(x)=\frac{-16x^3+96x}{(x^2-4)^3}<0$，解得$x>2$，故單調遞減區間為$(2,+\infty)$。三、解答題16.$a>-\frac{1}{2}$解析：函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+2a>0$，解得$a>-\frac{1}{2}$。17.$f'(\alpha)=1$解析：與第2題類似，函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，由$f'(\alpha)=0$得$3\alpha^2-6\alpha+4=0$，解得$\alpha=1$，代入$f'(x)$得$f'(1)=1$。18.$a>-\frac{1}{2}$解析：與第3題類似，函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$的導數為$f'(x)=\frac{4x^4-24x^2+48}{(x^2-4)^2}$，要求$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，即$f''(x)=\frac{-16x^3+96x}{(x^2-4)^3}<0$，解得$x>2$，故$a>-\frac{1}{2}$。四、解答題19.$a>-\frac{1}{2}$解析：與第16題類似，函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{x^3}>0$，解得$a>-\frac{1}{2}$。20.$f'(\alpha)=1$解析：與第17題類似，函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$的導數為$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}$，由$f'(\alpha)=0$得$-\frac{1}{\alpha^2}+\frac{2}{\alpha^3}=0$，解得$\alpha=1$，代入$f'(x)$得$f'(1)=1$。21.$a>-\frac{1}{2}$解析：與第18題類似，函數$f(x)=\frac{2x^3+3x^2-12x-18}{x^2-4}$的導數為$f'(x)=\frac{4x^4-24x^2+48}{(x^2-4)^2}$，要求$f'(x)$在$(2,+\infty)$上單調遞減，即$f''(x)=\frac{-16x^3+96x}{(x^2-4)^3}<0$，解得$x>2$，故$a>-\frac{1}{2}$。五、解答題22.$a>-\frac{1}{2}$解析：與第16題類似，函數$f(x)=\lnx+ax^2+2$的導數為$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要求$f'(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f''(x)=\frac{-1}{x^2}+2a>0$，解得$a>-\frac{1}{2}$。23.$f'(\alpha)=1$解析：與第17題類似，函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$，由$f'(\alpha)=0$得$3\alpha^2-6\alpha+4=0$，解得$\alpha=1$，代入$f'(x)$得$f'(1)=1$。24.$a>-\frac{1}{2}$解析：與第18題類似，函數$f