2025年高考數學函數與概率題型解析模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數f(x)=x^2-2x+1，其圖像的對稱軸為A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=-12.函數y=log2(x+1)的值域為A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,1)3.已知函數f(x)=|x-2|+3，其圖像在x軸上的截距為A.2B.3C.5D.74.函數y=2x-3的圖像與x軸的交點坐標為A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)5.已知函數f(x)=(x-1)^2，其圖像的頂點坐標為A.(1,0)B.(0,1)C.(2,1)D.(1,2)6.函數y=√(x^2-1)的定義域為A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)7.已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1，其圖像的拐點坐標為A.(1,1)B.(2,1)C.(3,1)D.(4,1)8.函數y=3x^2-2x+1的圖像開口方向為A.向上B.向下C.向左D.向右9.已知函數f(x)=log2(x-1)，其圖像與y軸的交點坐標為A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)10.函數y=e^x的圖像與x軸的交點坐標為A.(0,1)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)二、填空題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）11.函數f(x)=x^2-4x+3的圖像的頂點坐標為______。12.函數y=log2(x+1)的值域為______。13.函數y=√(x^2-1)的定義域為______。14.函數y=2x-3的圖像與x軸的交點坐標為______。15.函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1的圖像的拐點坐標為______。三、解答題（本大題共2小題，共30分）16.（15分）已知函數f(x)=x^2-4x+3，求：（1）函數f(x)的圖像的頂點坐標；（4分）（2）函數f(x)的圖像與x軸的交點坐標；（4分）（3）函數f(x)的圖像的對稱軸方程；（4分）（4）函數f(x)在x=2時的函數值。（3分）17.（15分）已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求：（1）函數f(x)的圖像的拐點坐標；（6分）（2）函數f(x)的圖像的對稱軸方程；（6分）（3）函數f(x)在x=1時的函數值。（3分）四、應用題（本大題共2小題，共30分）16.（15分）某工廠生產一批產品，每件產品的生產成本為50元，銷售價格為80元。已知銷售量與銷售價格之間存在以下關系：銷售量=1000-5×銷售價格。假設銷售價格為x元，求：（1）銷售量與銷售價格之間的關系式；（5分）（2）當銷售價格為60元時，計算銷售量；（5分）（3）計算銷售總收入與銷售價格之間的關系式；（5分）（4）求銷售總收入的最大值及對應的銷售價格。（5分）17.（15分）某班級有30名學生，其中男生人數是女生人數的1.5倍。設男生人數為x，女生人數為y，求：（1）建立男生人數和女生人數之間的關系式；（5分）（2）求男生人數和女生人數；（5分）（3）若每名男生參加一次籃球比賽，每名女生參加一次排球比賽，求參加籃球比賽和排球比賽的總人數；（5分）（4）若每名男生和女生都參加一次體育活動，求參加體育活動的總人數。（5分）五、證明題（本大題共2小題，共30分）18.（15分）證明：對于任意的實數a和b，有（a+b）^2=a^2+2ab+b^2。19.（15分）證明：對于任意的實數x，有x^3-x≥0。六、解答題（本大題共2小題，共40分）20.（20分）已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求：（1）函數f(x)的導數f'(x)；（10分）（2）函數f(x)的極值點；（10分）21.（20分）某城市居民用水量與家庭收入之間存在以下線性關系：用水量（立方米）=3×家庭收入（元）-1500。假設某家庭的月收入為y元，求：（1）建立用水量與家庭收入之間的關系式；（10分）（2）求家庭月收入為5000元時的用水量；（10分）（3）求家庭月收入為10000元時的用水量。（10分）本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數f(x)=x^2-2x+1是一個完全平方公式，其圖像是一個開口向上的拋物線，對稱軸為x=-b/2a，即x=1。2.B解析：函數y=log2(x+1)是一個對數函數，其底數為2，定義域為x>-1，因此值域為(0,+∞)。3.C解析：函數f(x)=|x-2|+3的圖像是一個V形，頂點在x=2處，因此x軸上的截距為5。4.B解析：函數y=2x-3是一個一次函數，其圖像是一條直線，與x軸的交點為y=0時，即x=2。5.A解析：函數f(x)=(x-1)^2是一個完全平方公式，其圖像是一個開口向上的拋物線，頂點坐標為(1,0)。6.A解析：函數y=√(x^2-1)是一個根號函數，其定義域為x^2-1≥0，即x≤-1或x≥1。7.A解析：函數f(x)=x^3-3x^2+4x-1的導數為f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1，代入原函數得拐點坐標(1,1)。8.A解析：函數y=3x^2-2x+1是一個二次函數，其開口向上，因此圖像開口方向為向上。9.A解析：函數f(x)=log2(x-1)是一個對數函數，其圖像與y軸的交點為x=1時，即(1,0)。10.B解析：函數y=e^x是一個指數函數，其圖像與x軸的交點為y=0時，即x=1。二、填空題11.(2,-1)解析：函數f(x)=x^2-4x+3是一個完全平方公式，其圖像是一個開口向上的拋物線，頂點坐標為(-b/2a,f(-b/2a))，即(2,-1)。12.(0,+∞)解析：同選擇題第2題解析。13.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析：同選擇題第6題解析。14.(2,0)解析：同選擇題第4題解析。15.(1,1)解析：同選擇題第7題解析。三、解答題16.（15分）（1）頂點坐標為(2,-1)；（2）交點坐標為(1,0)和(3,0)；（3）對稱軸方程為x=2；（4）函數值f(2)=2^2-4×2+3=-1。17.（15分）（1）拐點坐標為(1,1)；（2）對稱軸方程為x=1；（3）函數值f(1)=1^3-3×1^2+4×1-1=1。四、應用題16.（15分）（1）銷售量=1000-5×銷售價格；（2）銷售價格為60元時，銷售量=1000-5×60=400；（3）銷售總收入=銷售價格×銷售量=x×(1000-5x)=-5x^2+1000x；（4）銷售總收入的最大值出現在頂點處，即x=-b/2a=-1000/(2×(-5))=100，此時銷售總收入為-5×100^2+1000×100=50000元。17.（15分）（1）x=1.5y；（2）男生人數x=1.5y，女生人數y，解得x=45，y=30；（3）參加籃球比賽的人數和排球比賽的人數總和為45+30=75；（4）參加體育活動的總人數為45+30=75。五、證明題18.（15分）證明：左邊=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2右邊=a^2+2ab+b^2左邊=右邊，等式成立。19.（15分）證明：對于任意的實數x，有x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)當x≥0時，x(x-1)(x+1)≥0當x<0時，x(x-1)(x+1)≥0因此，x^3-x≥0。六、解答題20.（20分）（1）f'(x)=3x^2