2025年美國商學(xué)院入學(xué)考試（GMAT）數(shù)學(xué)模擬試卷（數(shù)據(jù)分析與邏輯推理）——進(jìn)階訓(xùn)練一、數(shù)據(jù)分析與描述統(tǒng)計要求：運用描述統(tǒng)計方法，對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性分析，包括計算均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計量，并解釋其含義。1.某班級學(xué)生的身高數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：160，165，162，168，163，170，165，162，166，167，165，169，165，162，167，168，169，165，166，167，168。（1）計算該班級學(xué)生身高的均值。（2）計算該班級學(xué)生身高的中位數(shù)。（3）計算該班級學(xué)生身高的眾數(shù)。（4）計算該班級學(xué)生身高的標(biāo)準(zhǔn)差。2.某調(diào)查公司收集了100位消費者的月收入數(shù)據(jù)（單位：元）：3000，3500，4000，3200，3300，4200，3800，4500，3500，4000，4200，4500，3500，4000，4200，4500，4000，4200，4500，4100。（1）計算該調(diào)查公司收集的消費者月收入的均值。（2）計算該調(diào)查公司收集的消費者月收入的中位數(shù)。（3）計算該調(diào)查公司收集的消費者月收入的眾數(shù)。（4）計算該調(diào)查公司收集的消費者月收入的標(biāo)準(zhǔn)差。二、概率與隨機變量要求：運用概率論知識，解決實際問題，包括計算事件發(fā)生的概率、條件概率、獨立事件等。1.從一副52張的標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中隨機抽取一張牌，求抽到紅桃的概率。（1）計算抽到紅桃的概率。（2）若已知抽到的牌是紅桃，求抽到紅桃K的概率。2.某袋中有5個紅球和3個藍(lán)球，從中隨機抽取3個球，求以下事件的概率：（1）抽取的3個球都是紅球的概率。（2）抽取的3個球中有2個紅球和1個藍(lán)球的概率。（3）抽取的3個球中有1個紅球和2個藍(lán)球的概率。三、線性回歸與相關(guān)分析要求：運用線性回歸方法，對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并計算相關(guān)系數(shù)，分析變量之間的關(guān)系。1.某企業(yè)過去5年的年銷售額（單位：萬元）與廣告費用（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：年份年銷售額廣告費用201620020201722025201824030201926035202028040（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，建立年銷售額與廣告費用之間的線性回歸模型。（2）計算年銷售額與廣告費用之間的相關(guān)系數(shù)，并解釋其含義。2.某城市過去5年的平均氣溫（單位：℃）與降水量（單位：mm）的數(shù)據(jù)如下：年份平均氣溫降水量201615100201716120201817140201918160202019180（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，建立平均氣溫與降水量之間的線性回歸模型。（2）計算平均氣溫與降水量之間的相關(guān)系數(shù)，并解釋其含義。四、概率分布與期望要求：根據(jù)給定的概率分布，計算期望值、方差和概率分布函數(shù)。1.拋擲一枚公平的六面骰子，求以下事件的概率：（1）一次擲出偶數(shù)的概率。（2）連續(xù)擲兩次，第一次擲出奇數(shù)，第二次擲出偶數(shù)的概率。2.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p)，其中n=5，p=0.3，求：（1）X取值為2的概率。（2）X的期望值和方差。五、假設(shè)檢驗要求：運用假設(shè)檢驗方法，對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計檢驗，判斷總體參數(shù)是否符合假設(shè)。1.某批產(chǎn)品的合格率為95%，從該批產(chǎn)品中隨機抽取20個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，有3個不合格。假設(shè)總體合格率不變，使用0.05的顯著性水平，檢驗該批產(chǎn)品的合格率是否顯著低于95%。（1）寫出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）計算檢驗統(tǒng)計量。（3）確定拒絕域并作出結(jié)論。2.某研究調(diào)查了30名參與者在使用某新產(chǎn)品的滿意度，其中28名表示滿意，2名表示不滿意。假設(shè)滿意度服從正態(tài)分布，使用0.01的顯著性水平，檢驗該新產(chǎn)品滿意度均值是否顯著高于3。六、時間序列分析要求：對給定的時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗和自相關(guān)函數(shù)分析，并構(gòu)建簡單的自回歸模型。1.某城市過去一年的每日降雨量（單位：mm）數(shù)據(jù)如下：日期降雨量1月1日51月2日71月3日41月4日61月5日31月6日81月7日21月8日71月9日61月10日5（1）對降雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。（2）計算自相關(guān)函數(shù)并分析自相關(guān)特性。（3）構(gòu)建一個簡單的一階自回歸模型（AR(1)）。2.某股票的過去30個交易日的收盤價如下：日期收盤價1月1日1001月2日1011月3日102...1月30日110（1）對收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。（2）計算自相關(guān)函數(shù)并分析自相關(guān)特性。（3）構(gòu)建一個簡單的一階自回歸模型（AR(1)）。本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析與描述統(tǒng)計1.（1）均值：165.7（2）中位數(shù)：165（3）眾數(shù)：165（4）標(biāo)準(zhǔn)差：4.4解析思路：（1）均值計算：將所有身高值相加，然后除以數(shù)據(jù)個數(shù)。（2）中位數(shù)計算：將數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間的數(shù)即為中位數(shù)。（3）眾數(shù)計算：統(tǒng)計每個數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值即為眾數(shù)。（4）標(biāo)準(zhǔn)差計算：先計算每個數(shù)值與均值的差的平方，求和后除以數(shù)據(jù)個數(shù)，再開方。2.（1）均值：397.5（2）中位數(shù)：400（3）眾數(shù)：400（4）標(biāo)準(zhǔn)差：67.5解析思路：（1）均值計算：將所有月收入值相加，然后除以數(shù)據(jù)個數(shù)。（2）中位數(shù)計算：將數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間的數(shù)即為中位數(shù)。（3）眾數(shù)計算：統(tǒng)計每個數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值即為眾數(shù)。（4）標(biāo)準(zhǔn)差計算：先計算每個數(shù)值與均值的差的平方，求和后除以數(shù)據(jù)個數(shù)，再開方。二、概率與隨機變量1.（1）抽到紅桃的概率：1/4（2）抽到紅桃K的概率：1/52解析思路：（1）紅桃有13張牌，總共有52張牌，所以抽到紅桃的概率是13/52，即1/4。（2）紅桃K只有1張牌，總共有52張牌，所以抽到紅桃K的概率是1/52。2.（1）抽取的3個球都是紅球的概率：0.009765625（2）抽取的3個球中有2個紅球和1個藍(lán)球的概率：0.0546875（3）抽取的3個球中有1個紅球和2個藍(lán)球的概率：0.015625解析思路：（1）先計算抽到3個紅球的概率，再乘以排列數(shù)（3!），得到抽取的3個球都是紅球的概率。（2）先計算抽到2個紅球和1個藍(lán)球的概率，再乘以排列數(shù)（3!），得到抽取的3個球中有2個紅球和1個藍(lán)球的概率。（3）先計算抽到1個紅球和2個藍(lán)球的概率，再乘以排列數(shù)（3!），得到抽取的3個球中有1個紅球和2個藍(lán)球的概率。三、線性回歸與相關(guān)分析1.（1）線性回歸模型：年銷售額=15.2+0.9×廣告費用（2）相關(guān)系數(shù)：0.98解析思路：（1）使用最小二乘法擬合線性回歸模型，計算斜率和截距。（2）使用相關(guān)系數(shù)公式計算相關(guān)系數(shù)，分析變量之間的關(guān)系。2.（1）線性回歸模型：降水量=3.8+0.1×平均氣溫（2）相關(guān)系數(shù)：0.99解析思路：（1）使用最小二乘法擬合線性回歸模型，計算斜率和截距。（2）使用相關(guān)系數(shù)公式計算相關(guān)系數(shù)，分析變量之間的關(guān)系。四、概率分布與期望1.（1）一次擲出偶數(shù)的概率：1/2（2）連續(xù)擲兩次，第一次擲出奇數(shù)，第二次擲出偶數(shù)的概率：1/4解析思路：（1）偶數(shù)有3個（2，4，6），總共有6個可能的結(jié)果，所以一次擲出偶數(shù)的概率是3/6，即1/2。（2）第一次擲出奇數(shù)的概率是1/2，第二次擲出偶數(shù)的概率是1/2，所以連續(xù)擲兩次的概率是1/2×1/2，即1/4。2.（1）X取值為2的概率：0.058823529（2）X的期望值：1.5，方差：0.21解析思路：（1）使用二項分布公式計算X取值為2的概率。（2）使用二項分布的期望和方差公式計算X的期望值和方差。五、假設(shè)檢驗1.（1）零假設(shè)：H0：p≥0.95備擇假設(shè)：H1：p<0.95（2）檢驗統(tǒng)計量：z=-1.15（3）拒絕域：z<-1.65結(jié)論：拒絕零假設(shè)，認(rèn)為該批產(chǎn)品的合格率顯著低于95%解析思路：（1）根據(jù)問題寫出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）計算檢驗統(tǒng)計量，使用z檢驗。（3）根據(jù)顯著性水平和z分布表確定拒絕域，判斷是否拒絕零假設(shè)。2.（1）零假設(shè)：H0：μ≤3備擇假設(shè)：H1：μ>3（2）檢驗統(tǒng)計量：z=2.45（3）拒絕域：z>2.33結(jié)論：拒絕零假設(shè)，認(rèn)為該新產(chǎn)品滿意度均值顯著高于3解析思路：（1）根據(jù)問題寫出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）計算檢驗統(tǒng)計量，使用z檢驗。（3）根據(jù)顯著性水平和z分布表確定拒絕域，判斷是否拒絕零假設(shè)。六、時間序列分析1.（1）平穩(wěn)性檢驗：使用ADF檢驗，p-value=0.0001，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為降雨量數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的。（2）自相關(guān)函數(shù)：滯后1期的自相關(guān)系數(shù)為0.85，滯后2期的自相關(guān)系數(shù)為0.75。（3）AR(1)模型：降水量(t)=5.4+0.85×降水量(t-1)解析思路：（1）使用ADF檢驗判斷數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。（2）計算自相關(guān)函數(shù)，分析數(shù)據(jù)的自相關(guān)性。（3）根據(jù)自相關(guān)特性，構(gòu)建AR(1)模型。2.