備戰2024年高考數學一輪復習7.5外接球(精講)(原卷版+解析)一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知三角形ABC的邊長分別為a=3，b=4，c=5，則三角形ABC的外接圓半徑R為（）A.2B.3C.4D.52.在空間直角坐標系中，點P（1，2，3），點Q（2，3，4），則點P關于平面x+y+z=1的對稱點P'的坐標為（）A.（-1，-2，-3）B.（-1，-2，3）C.（-1，2，-3）D.（-1，2，3）二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知三角形ABC的邊長分別為a=6，b=8，c=10，則三角形ABC的外接圓半徑R等于______。4.在空間直角坐標系中，點P（1，2，3），點Q（2，3，4），則點P到平面x+y+z=1的距離d等于______。三、解答題要求：寫出解答過程，并化簡結果。5.（1）已知三角形ABC的邊長分別為a=5，b=6，c=7，求三角形ABC的外接圓半徑R。（2）已知點P（1，2，3），點Q（2，3，4），求點P到平面x+y+z=1的距離d。四、證明題要求：證明以下命題。6.證明：若三角形的三邊長分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，則該三角形的外接圓半徑R等于c/2√2。五、應用題要求：解決以下實際問題。7.一根長為10cm的均勻直桿，兩端分別放置在平面xOy的兩個不同高度上，直桿的中點在平面z=3上。若直桿與平面xOy所成的角為60°，求直桿兩端在平面xOy上的高度差。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決以下問題。8.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），點B（4，5，6），點C（7，8，9）構成一個三角形，求該三角形外接圓的圓心和半徑。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：根據勾股定理，三角形ABC是直角三角形，所以外接圓半徑R等于斜邊的一半，即R=c/2=5/2=2.5。2.A解析：點P關于平面x+y+z=1的對稱點P'可以通過將點P的坐標分別取相反數得到，即P'（-1，-2，-3）。二、填空題3.4解析：根據海倫公式，三角形ABC的面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是半周長，s=(a+b+c)/2=(6+8+10)/2=12。代入公式計算得S=√[12(12-6)(12-8)(12-10)]=√[12*6*4*2]=√[576]=24。由于S=πR^2，所以R=√[S/π]=√[24/π]≈4。4.√[2]解析：點P到平面x+y+z=1的距離d可以通過點到平面的距離公式計算，即d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中點P的坐標為（1，2，3），平面的方程為x+y+z=1，所以A=1，B=1，C=1，D=-1。代入公式計算得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|1+2+3-1|/√3=5/√3=√[5/3]≈√[2]。三、解答題5.（1）R=√[7/2]解析：根據海倫公式，三角形ABC的半周長s=(5+6+7)/2=9。代入公式計算得S=√[9(9-5)(9-6)(9-7)]=√[9*4*3*2]=√[216]=6√6。由于S=πR^2，所以R=√[S/π]=√[(6√6)/π]≈√[7/2]。（2）d=√[5/3]解析：點P到平面x+y+z=1的距離d可以通過點到平面的距離公式計算，即d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|1+2+3-1|/√3=5/√3=√[5/3]。四、證明題6.證明：若三角形的三邊長分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，則該三角形的外接圓半徑R等于c/2√2。解析：由于a^2+b^2=c^2，根據勾股定理，三角形ABC是直角三角形，所以外接圓半徑R等于斜邊的一半，即R=c/2。又因為直角三角形的斜邊是直角三角形外接圓的直徑，所以R=c/2√2。五、應用題7.高度差=5√3cm解析：直桿與平面xOy所成的角為60°，所以直桿兩端在平面xOy上的高度差等于直桿長度乘以sin60°，即高度差=10*√3/2=5√3cm。六、綜合題8.圓心O（3，3，3），半徑R=√[3]解析：三角形ABC的外接圓圓心O是三角形三邊的中垂線的交點。由于點A、B、C的坐標分別為（1，2，3