安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣2021-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試試題（數(shù)學(xué)）一、選擇題要求：從下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)正確的答案。1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，則$f(x)$的對(duì)稱中心為（）A.$(1,0)$B.$(1,-1)$C.$(1,1)$D.$(0,1)$2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A.$y=2^x$B.$y=\log_2x$C.$y=-x^2+2x-1$D.$y=\frac{1}{x}$3.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若存在實(shí)數(shù)$a$，使得$f(a)=0$，則$f(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.44.設(shè)$a>0$，若方程$\frac{x}{a}+\frac{a}{x}=1$有唯一解，則$a$的值為（）A.1B.2C.3D.45.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，則$a_3$的值為（）A.5B.6C.7D.8二、填空題要求：直接寫出答案。6.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(x)$的對(duì)稱軸方程為_(kāi)_________。7.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，若$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則$f(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________。8.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，則$a_3$的值為_(kāi)_________。三、解答題要求：寫出解題過(guò)程。9.（1）已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，求$f(x)$的對(duì)稱軸方程；（2）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，求$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上的單調(diào)性。四、解答題要求：寫出解題過(guò)程，并給出答案。10.（1）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-n$，求該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1$和公差$d$；（2）若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第三項(xiàng)$a_3=5$，且$a_1+a_5=20$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。11.（1）已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的極值；（2）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并討論$f(x)$的單調(diào)性。五、證明題要求：寫出證明過(guò)程，并給出結(jié)論。12.證明：若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-n$，則該數(shù)列是等差數(shù)列。六、應(yīng)用題要求：根據(jù)題意，列出方程或不等式，并求解。13.已知某商品的定價(jià)為$200$元，為了促銷，商家決定采取打折銷售的方式。若打折后的價(jià)格定為原價(jià)的$x$倍（$0<x<1$），則商家的利潤(rùn)為$y$元。若要使利潤(rùn)$y$不低于$200$元，求$x$的取值范圍。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.$(1,-1)$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$的對(duì)稱中心可以通過(guò)求導(dǎo)找到函數(shù)的極值點(diǎn)，然后根據(jù)極值點(diǎn)的性質(zhì)確定對(duì)稱中心。求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。將$x=1$代入$f(x)$得$f(1)=-1$，因此對(duì)稱中心為$(1,-1)$。2.C.$y=-x^2+2x-1$解析：對(duì)于選項(xiàng)A，$y=2^x$是指數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增；對(duì)于選項(xiàng)B，$y=\log_2x$是對(duì)數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增；對(duì)于選項(xiàng)C，$y=-x^2+2x-1$是二次函數(shù)，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為$(1,0)$，因此在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增；對(duì)于選項(xiàng)D，$y=\frac{1}{x}$是反比例函數(shù)，在其定義域內(nèi)既有遞增也有遞減。3.C.3解析：由于$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$是一個(gè)三次多項(xiàng)式，根據(jù)代數(shù)基本定理，它有三個(gè)實(shí)根或者一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根。可以通過(guò)因式分解或者使用卡爾丹公式求解，這里選擇因式分解。觀察多項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)$x=1$是一個(gè)根，因此可以因式分解為$f(x)=(x-1)(x^2-2x-1)$，進(jìn)一步分解得$f(x)=(x-1)(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})$，所以有三個(gè)實(shí)根。4.B.2解析：方程$\frac{x}{a}+\frac{a}{x}=1$可以轉(zhuǎn)化為$x^2-ax+a^2=0$。根據(jù)韋達(dá)定理，$x_1+x_2=a$，$x_1x_2=a^2$。由于方程有唯一解，說(shuō)明$x_1=x_2$，因此$a=2$。5.A.5解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$。根據(jù)題目條件，$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，即$2a_1+6d=10$，$2a_1+6d=12$。解得$a_1=5$，$d=0$，因此$a_3=a_1=5$。二、填空題6.$x=1$解析：函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$是一個(gè)完全平方公式，可以寫成$(x-1)^2$，因此對(duì)稱軸方程為$x=1$。7.1解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，說(shuō)明其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上恒小于0。由于$f'(x)$是連續(xù)的，且在$x=1$時(shí)$f'(x)=0$，因此$f(x)$在$x=1$處取得最大值，最大值為$f(1)=1-\ln1=1$，所以$f(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。8.6解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_2+a_4=2a_3$。根據(jù)題目條件，$a_1+a_5=10$，$a_2+a_4=12$，即$2a_1+6d=10$，$2a_1+6d=12$。解得$a_1=5$，$d=0$，因此$a_3=a_1=5$。三、解答題9.（1）$x=\frac{3}{4}$解析：對(duì)稱軸方程為$x=-\frac{b}{2a}$，對(duì)于$f(x)=2x^2-3x+1$，有$a=2$，$b=-3$，因此對(duì)稱軸方程為$x=\frac{3}{4}$。（2）單調(diào)遞減解析：求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，在區(qū)間$(0,+\infty)$上，$f'(x)$恒小于0，因此$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減。四、解答題10.（1）$a_1=1$，$d=2$解析：由等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_n=3n^2-n$，解得$a_1=1$，$d=2$。（2）$S_n=3n^2-n$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_1+a_5=20$，解得$a_1=5$，$d=3$。因此前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=3n^2-n$。11.（1）極大值$f(2)=1$解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=3$。由于$f''(x)=6x-12$，在$x=1$時(shí)$f''(x)<0$，在$x=3$時(shí)$f''(x)>0$，因此$x=1$是極大值點(diǎn)，$f(1)=1$。（2）$f'(x)=\frac{2x^2-2x-1}{(x-1)^2}$，單調(diào)遞增解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{2x^2-2x-1}{(x-1)^2}$，在$x\neq1$時(shí)，$f'(x)$恒大于0，因此$f(x)$在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。五、證明題12.證明：由等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_n=3n^2-n$，得$2a_1+(n-1)d=6n