第H--章概率

第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差

練好題.考點自測

1.［2020全國卷HI,5分］在一組樣本數據中，1,2,3,4出現的頻率分別為p?p2,p3)p,,且2/=1p(=l,則下面四種情形

中，對應樣本的標準差最大的一組是()

A.pi=p.i=0.1,p2=p3=0.4

B.pi=p.i=0.4,P2=P3=O.1

C.PFPFO.2,P2=P3=0.3

D.PFPFO.3,p2=P3=0.2

2.［2020蒲澤聯考］一盒中有12個乒乓球,其中9個新球、3個舊球,從盒中任取3個球來用，用完后裝回(用過一次

的球就是舊球)，此時盒中舊球個數X是一個隨機變量，則P(X=4)的值為()

口

A?麗’1BR.西27Cp.—27D.2-1

3.［2019浙江,4分］設0<a〈l.隨機變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當a在(0,1)內增大時，()

A.D(X)增大B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大

4.［2021廣東模擬］設某項試驗的成功率為失敗率的2倍,用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數,則P(X=O)的值

為)

A.1B.iC.iD.i

5.［2020浙江重點高中聯考］已知0<a<l,隨機變量X的分布列如下：

X-101

P(l-a)22a(1-a)a2

若E(X)=D(X),則實數a的值為()

AB.iCiD.當

3422

6.［多選題］下列結論正確的選項是()

A.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的

B.隨機變量的均值是常數,樣本的均值是隨機變量

C.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標準差越小,則隨機變量偏離于

均值的平均程度越小

D.均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事

7.［遞進型］已知離散型隨機變量廣B(5,p),且E(g)=2,則D(g)=;若n+1,則D(n)=.

8.［2020浙江,6分］盒中有4個球,其中1個紅球，1個綠球,2個黃球.從盒中隨機取球,每次取1個,不放回，直到取

出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為&,則P(g=0)=,E(g)=.

拓展變式

1.［2021河南省名校第一次聯考］某公司年會有幸運抽獎環節，一個箱子里有相同的十個乒乓球,球上分別標

0,1,2,…,9這十個自然數,每位員工有放回依次取出三個球.規定:每次取出的球所標數字不小于后面取出的球所標

數字即中獎.中獎項:三個數字全部相同中一等獎,獎勵10000元現金;三個數字中有兩個數字相同中二等獎，獎勵5

000元現金;三個數字各不相同中三等獎,獎勵2000元現金.其他不中獎,沒有獎金.

(1)求員工A中二等獎的概率；

(2)設員工A中獎獎金為X,求X的分布列；

(3)員工B是優秀員工,有兩次抽獎機會,求員工B中獎獎金的期望.

2.［2020天津新華中學模擬］某中學用簡單隨機抽樣的方法抽取了100名同學,對其社會實踐次數進行調查,結果如

社會實踐次數[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15)[15,18]

男同學人數715111221

女同學人數51320932

將社會實踐次數不低于12次的學生稱為“社會實踐標兵”.

(D將頻率視為概率，估計該校1600名學生中“社會實踐標兵”有多少人.

(2)從已抽取的“社會實踐標兵”中隨機抽取4名同學參加社會實踐表彰活動.

⑴設事件A為“抽取的4名同學中既有男同學又有女同學”，求事件A發生的概率；

(ii)用X表示抽取的“社會實踐標兵”中男同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.

3.[2021福建省五校第二次聯考]某蔬菜種植基地有一批蔬菜需要兩天內采摘完畢，這兩天是否有雨相互獨立，無雨

的概率都為0.8.現有兩種方案可以選擇，

方案一:基地人員自己采摘,不額外聘請工人,需要兩天完成，兩天都無雨收益為2萬元,只有一天有雨收益為1萬

元,兩天都有雨收益為0.75萬元.

方案二:基地額外聘請工人,只要一天就可以完成采摘，當天無雨收益為2萬元,有雨收益為1萬元,額外聘請工人的

成本為a萬元.

(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益.

(2)該基地是否應該外聘工人?請說明理由.

答案

第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差

目I練好題?考點自測

1.B對于A,當p,=p.=0.1,p2=p3=0.4時，隨機變量X.的分布列為

222

E(XA)=1X0,1+2X0.4+3X0.4+4X0.1=2.5,D(XA)=(1-2.5)X0.1+(2-2.5)X0.4+(3-2.5)X0.4+(4-

2.5)2X0.1=1.52X0.1+0.52X0.4+0.52X0.4+1.52X0.1=0.65,所以師焉齊近百.對于B,C,D,同理可得

7D(XB)=VL85,VD(XC)=VT05,7D(X0)=A/L45,所以B中的標準差最大.

2.C當X=4時,表示從盒中取出的3個球中有2個舊球,1個新球,故P(x=4)=$墾照.故選C.

Ci2NNU

3.D由分布列得E(X)=1器.

解法一D(X)=(殍-0)2X1+(空-a)2X1+(1±2-1)2X1=?(a-1)好

所以當a在(0,1)內增大時,D(X)先減小后增大.故選D.

解法二D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0+碧-(。；)2=2。彳。+2=；[(a-1)2+1],

所以當a在(0,1)內增大時,D(X)先減小后增大.故選D.

4.C設該項試驗失敗的概率為p,則成功的概率為2p,所以X的分布列為

PP2p

由p+2p=l,得p=1,即P(X=0)=|.故選C.

5.D解法一由隨機變量X的分布列及數學期望和方差的計算公式知,E(X)-(1-a)2+a2=2a-l,D(X)=(-l-2a+l)2(1-

a)2+(-2a+1)2X2a(1-a)+(1-2a+1)a2=2a(『a).因為E(X)=D(X),所以2aT=2a(-a),得a卷,故選D.

解法二令Y=X+1,則X=Y-1,隨機變量丫的分布列為

Y012

P(1-a)22a(l-a)2

由二項分布的有關知識知，丫?B(2,a),所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(l-a),所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-l=2a-1,D(X)=D(Y-

l)=D(Y)=2a(l-a).又E(X)=D(X),所以2aT=2a(『a),得a*,故選D.

6.ABC由離散型隨機變量的分布列的特點可知A正確；由均值和方差的含義可知BC正確;均值反映的是一組數據

的整體水平,而方差反映的是一組數據的離散程度,故D錯誤.故選ABC.

7.1因為「B(5,p),E(&)=2,所以5P=2,解得p=1,所以D(&)=5p(l-p)=5X/(展)嚏又所以

D(n)=D(1€+l)=lD(4)=^.

8.11g=0表示停止取球時沒有取到黃球,所以P(&=0)三隨機變量g的所有可能取值為0,1,2,則

PG=1片義找X衿碧X第笄

P(g=2)=2X1X1+1X|X1+|X1X1+1X1X1=1,所以E(g)=0X1+1X1+2X1=1.

國:拓展變式

1.(1)記事件“員工A中二等獎”為此有放回，依次取三個球的取法有10：'種.中二等獎取法有兩類:一類是前兩次

取到同一數字,從10個數字中取出2個,較大的數是前兩次取出的數,較小的數是第3次取出的數,取法數為

喙=45;另一類是后兩次取到同一數字,取法數同樣是%=45.共90種取法,則P(M)=^=0.09.

(2)X的可能取值為0,2000,5000,10000.

P(X=2000)第=0.12;P(X=5000)希0.09;

P(X=10000)=^=0.01;P(X=0)=1-P(X=2000)-P(X=5000)-P(X=10000)=0.78.

則X的分布列為

X10000500020000

p0.010.090.120.78

(3)由(2)可知A中獎獎金的期望E(X)=10000X0.01+5000X0.09+2000X0.12+0X0.78=790(元)(先求抽一次獎

的獎金期望,再乘以2即為抽二次獎的獎金期望).

員工B每次中獎獎金的期望和A一樣，由題意可知員工B中獎獎金的期望是1580元.

2.(1)樣本中社會實踐次數不低于12次的學生有2+1+3+2=8(人)，

所以該校1600名學生中“社會實踐標兵”約有1600義亮=128(人).

(2)由(1)知樣本中有8名“社會實踐標兵”，其中男同學3人,女同學5人.

(i)記彳為“抽取的4名同學全是女同學”，則P(7)=1=^

所以P(A)=1-P(N)=1W.

1414

(ii)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X=。)專W，P(X=DP(X=2)=等號,P(X=3)=^=看

則X的分布列為

X0123

P