2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷：三角函數(shù)與平面向量綜合應(yīng)用題一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=sin(2x-π/6)，那么f(x)的值域?yàn)椋海?）[-1,1]（2）[-√3/2,√3/2]（3）[-1,√3/2]（4）[-√3/2,1]2.已知向量a=(2,-3)，向量b=(-1,4)，那么向量a與向量b的數(shù)量積為：（1）-2（2）5（3）-5（4）2二、填空題3.若sinθ=3/5，且θ位于第二象限，則cosθ的值為______。4.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，那么向量a與向量b的夾角θ的余弦值為______。5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，當(dāng)x的取值范圍為[-π/2,π/2]時，f(x)的最大值為______。三、解答題6.（1）已知函數(shù)f(x)=sin(2x-π/3)，求f(x)的周期T。（2）若sinα=1/2，且α位于第一象限，求cosα的值。7.已知向量a=(3,4)，向量b=(-2,1)，求向量a與向量b的夾角θ的正弦值。四、證明題要求：證明下列等式成立。（1）證明：若sinα+cosα=√2sin(α+π/4)。（2）證明：若sin2α=2sinαcosα，則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)下列條件，求解相關(guān)問題。（1）已知函數(shù)f(x)=2sin(x-π/6)+3，求f(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。（2）已知向量a=(3,-4)，向量b=(4,3)，求向量a與向量b的投影向量。六、綜合題要求：結(jié)合所學(xué)知識，完成下列綜合題。（1）已知函數(shù)f(x)=3sinx-4cosx，求f(x)的圖像在x軸上的截距。（2）已知向量a=(2,1)，向量b=(-1,2)，求向量a與向量b的叉乘結(jié)果。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（1）[-1,1]解析：因?yàn)閟in函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1]，所以f(x)=sin(2x-π/6)的值域也是[-1,1]。2.答案：（3）-5解析：向量a與向量b的數(shù)量積計(jì)算公式為a·b=a1b1+a2b2，代入數(shù)值得到2*(-1)+(-3)*4=-2-12=-14，所以答案是-5。二、填空題3.答案：-4/5解析：在第二象限，sinθ=3/5，根據(jù)三角恒等式sin2θ+cos2θ=1，可以求得cosθ=√(1-sin2θ)=√(1-(3/5)2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5。由于θ位于第二象限，cosθ為負(fù)，所以cosθ=-4/5。4.答案：3/5解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值計(jì)算公式為cosθ=(a·b)/(|a||b|)，代入數(shù)值得到cosθ=(-2*3+4*1)/(√(22+32)*√((-1)2+42))=(-6+4)/(√13*√17)=-2/(√13*√17)=3/5。5.答案：3解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)在x=-π/2時取得最大值，此時f(-π/2)=sin(-π+π/3)=sin(-2π/3)=-√3/2，在x=π/2時取得最小值，此時f(π/2)=sin(π+π/3)=sin(4π/3)=-√3/2，所以最大值為3。三、解答題6.（1）答案：T=π解析：函數(shù)f(x)=sin(2x-π/3)的周期T由內(nèi)部的角頻率決定，即T=2π/|ω|，其中ω=2，所以T=2π/2=π。（2）答案：cosα=√3/2解析：在第一象限，sinα=1/2，根據(jù)三角恒等式sin2α+cos2α=1，可以求得cosα=√(1-sin2α)=√(1-(1/2)2)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。7.答案：sinθ=3/5解析：向量a與向量b的夾角θ的正弦值計(jì)算公式為sinθ=(a·b)/(|a||b|)，代入數(shù)值得到sinθ=(-2*3+4*1)/(√(32+42)*√((-2)2+12))=(-6+4)/(√25*√5)=-2/(5√5)=3/5。四、證明題（1）答案：證明過程略。解析：根據(jù)三角恒等式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，將α+β替換為π/4，得到sin(α+π/4)=sinαcos(π/4)+cosαsin(π/4)=(sinα+cosα)/√2。因此，sinα+cosα=√2sin(α+π/4)。（2）答案：證明過程略。解析：根據(jù)三角恒等式sin2α=2sinαcosα，將sin(α+β)和cos(α+β)分別展開，得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。五、應(yīng)用題（1）答案：最大值3，最小值-1解析：函數(shù)f(x)=2sin(x-π/6)+3在區(qū)間[0,2π]上，sin(x-π/6)的取值范圍為[-1/2,1/2]，所以f(x)的取值范圍為[2*(-1/2)+3,2*(1/2)+3]，即[2,4]，所以最大值為3，最小值為-1。（2）答案：投影向量=(-4/5,3/5)解析：向量a與向量b的投影向量計(jì)算公式為proj_b(a)=((a·b)/|b|2)*b，代入數(shù)值得到proj_b(a)=((3*(-2)+4*1)/(42+32))*(-2,1)=(-2/5)*(-2,1)=(-4/5,3/5)。六、綜合題（1）答案：截距為0解析：函數(shù)f(x)=3sinx-4cosx的圖像在x軸上的截距即為f(x)=0的解，即3sinx-4cosx=0，解得sinx/cosx=4/3，所以x=arctan(4/3)+kπ，其中k為整數(shù)，因此截距為0。（2）答案：叉乘結(jié)果=-10解析：向量a與向量b的