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教學內容第5講導數及其應用

導數的概念及其運算是導數應用的基礎，這是高考重點考查的內容.考查方式以客觀

題為主，主要考查：一是導數的基本公式和運算法則，以及導數的幾何意義；二是導

教學目標

數的應用，特別是利用導數來解決函數的單調性與最值問題、證明不等式以及討論方

程的根等，已成為高考熱點問題；三是應用導數解決實際問題.

重點導數的應用

難點導數的應用

1.導數的幾何意義

函數尸危)在點*=沏處的導數值就是曲線產危)在點薊/0))處的切線的斜率，其切

線方程是y-/Uo)=/'(xo)(x—xo).

2.導數與函數單調性的關系

(1/(x)>0是/(X)為增函數的充分不必要條件，如函數1x)=》3在(-8,+8)上單調遞

增,但/(x)Z0.

(2/(x)20是/U)為增函數的必要不充分條件，當函數在某個區間內恒有/'(x)=0時,

則./(x)為常數，函數不具有單調性.

3.函數的極值與最值

(1)函數的極值是局部范圍內討論的問題，函數的最值是對整個定義域而言的，是在整

個范圍內討論的問題.

(2)函數在其定義區間的最大值、最小值最多有一個，而函數的極值可能不止一個，也

可能沒有.

(3)閉區間上連續的函數一定有最值，開區間內的函數不一定有最值，若有唯一的極值,

則此極值一定是函數的最值.

4.四個易誤導數公式及兩個常用的運算法則

(l)(sinx)'=cosx.

(2)(cosx)'=_sinx.

⑶⑺'=a，ln〃(a>0,且aWl).

⑷(k)g?x)'=^j^(o>0,且aWl).

(5)［儀/方］'=/(x)g(x)+火x)g'(x).

(x)g(x)-/(x)g'(x)

(6)(g(x)WO).

［g(X)F

熱點分類突破解析高考

考點一導數幾何意義的應用

【例1】(1)過點(1,0)作曲線y=e'.的切線，則切線方程為.

(2)(2013?南京模擬)在平面直角坐標系xOy中，設A是曲線G：尸"+1(必))與曲線

C2：/+產=|的一個公共點，若Ci在A處的切線與C?在A處的切線互相垂直，則實

數a的值是.

探究提高(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過

點尸的切線中，點尸不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點尸處的切線，

必以點P為切點.

(2)利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進

行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與

斜率之間的關系，進而和導數聯系起來求解.

變式訓練1.(1)直線y=kx+h與曲線y=ax1-)r2+\nx相切于點P(l,4),則b的值為

JT

(2)若曲線/(x)=xsinx+1在處的切線與直線以+2)，+1=0互相垂直，則實數4=

考點二利用導數研究函數的性質

【例2】(2013?廣東)設函數?r)=V-丘2+x(kdR).

(1)當％=1時，求函數加x)的單調區間；

(2)當％<0時，求函數在％—向上的最小值機和最大值M.

變式訓練2.(2013?浙江)已知“GR,函數危尸如一3(4+1)X2+6“X.

(1)若a=l,求曲線y=/(x)在點(2,逃2))處的切線方程；

(2)若⑷>1,求兀v)在閉區間［0,2］加上的最小值.

考點三利用導數解決與方程、不等式有關的問題

【例3】(2013?陜西)已知函數<x)=e'x￡R.

⑴求危)的反函數的圖象上點(1,0)處的切線方程；

(2)證明：曲線y=/(x)與曲線y=$2+x+l有唯一公共點;

探究提高研究方程及不等式問題，都要運用函數性質，而導數是研究函數性質的一種

重要工具.基本思路是構造函數，通過導數的方法研究這個函數的單調性、極值和特殊

點的函數值，根據函數的性質推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數，必要時畫出

函數的草圖輔助思考.

變式訓練3.(2012?湖南)已知函數Jlx)=e*—ov,其中a>0.

(1)若對一切XGR,恒成立，求。的取值集合；

(2)在函數7U)的圖象上取定兩點A(X|,火X|)),B(X2,氏V2))(X|<X2),記直線AB的斜率為k,

-規律總結

1.函數單調性的應用

(1)若可導函數犬X)在m,份上單調遞增，則，(x)2o在區間3,份上恒成立；

(2)若可導函數ZU)在3,份上單調遞減，則/(x)WO在區間3,6)上恒成立;

(3)可導函數?r)在區間(a,與上為增函數是/'(x)>0的必要不充分條件.

2.可導函數極值的理解

(1)函數在定義域上的極大值與極小值的大小關系不確定，也有可能極小值大于極大值;

(2)對于可導函數人力，'"(力在》=沏處的導數/(x)=0”是“/(X)在x=xo處取得極值”

的必要不充分條件；

(3)注意導函數的圖象與原函數圖象的關系，導函數由正變負的零點是原函數的極大值

點，導函數由負變正的零點是原函數的極小值點.

3.導數在綜合應用中轉化與化歸思想的常見類型

(1)把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題；

(2)把證明不等式問題轉化為函數的單調性問題；

(3)把方程解的問題轉化為函數的零點問題.

押題精練

1.已知函數fpg(x)=/—2奴+4,若對任意汨￡[0口，存在工2￡口,2],使

人為)》且。2),則實數。的取值范圍是.

1—CL

2.設函數J[x)=2A'*2+av—ln%(q￡R).

⑴當。=1時：求函數凡r)的極值;

(2)當時，討論函數次x)的單調性；

(3)若對任意“C(2,3)及任意x”X2^[l,2],恒有〃m+ln2>段1)一段2)成立，求實數，〃

的取值范圍.

專題突破練

一、填空題

1.(2012?遼寧改編)函數)，=%—Inx的單調遞減區間為.

2.已知直線？=丘是y=lnx的切線，則上的值是.

3.已知函數./0)=0￥3+加；2+”,其導函數y=/(X)的圖象經過點(1,0),(2,0),

如圖所示，則下列說法中所有不正確的序號是________.\I

a\y2~~x

①當x=|時，函數段)取得極小值；

②/U)有兩個極值點；

③當x=2時，函數7U)取得極小值；

④當x=i時，函數yu)取得極大值.

4.(2012?大綱全國改編)已知函數y=V—3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c=

IX1

5.已知函數;U)(x￡R)滿足五1)=1,且的導函數/(x)<5，則?￥)<]+]的解集為

6.設函數7（工）=13+20^2+法+0,g（%）=x2—3x+2（其中x￡R,a,b為常數）.已知曲線y

=Ax)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線I,則a,b的值分別為.

7.設adR,若函數了二厘+以，xGR有大于零的極值點，則。的取值范圍為.

8.已知函數兀^二一宗+以一31nx在伍f+1］上不單調，則r的取值范圍是.

9.(2013?安徽改編)若函數有極值點x”息，且_/(xi)=x”則關于x的

方程3(AX))2+2?/(A)+^=0的不同實根個數是.

10.(2013?湖北改編)已知函數段)=x(lnx-ar)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是

二、解答題

11.設函數y(x)=ax+2,^(x)=a2x2—Inx+2,其中aCR,x>0.

(1)若“=2,求曲線y=g(x)在點(1,g(l))處的切線方程；

(2)是否存在負數a