【摘要】運算知識序列的教學研究是小學數學教學的核心組塊，因此，教學中不僅要關注學生的知識習得，更要促進學生向理解、遷移的深度結構化認知進階。而運算教學存在概念不清、算理不明等各種認知障礙，利用“數形結合”可以為運算教學搭建支架，實現數量關系與空間形式之間的跨越。文章以數的運算主題學習為載體，結合具體教學，探索小學低年級數與運算主題教學中融入“數形結合”思想的研究意義和實踐策略。【關鍵詞】數形結合數學思想數與運算數學概念算理《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在第一學段有關數的運算方面明確指出，在具體情境中，了解四則運算的意義，感悟數的運算及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性；探索加、減、乘、除四則運算的算理及算法，能進行四則運算；在解決生活情境問題的過程中，形成初步的數感、符號意識、推理意識及運算能力等核心素養。因此，在計算教學中，不僅要關注學生對基本知識和基本技能的理解與應用，還要滲透數學思想，促進學生素養的發展。低年級學生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，他們能夠進行簡單的計算，但對于有關數的運算概念本質的認識、算理的理解和算法的掌握都存在一定的難度。將數學圖形與數量關系結合起來，通過相互轉換分析、解決相應的數學問題，有助于學生把握數的運算本質，更好地建構知識結構。在實踐中，教師以理解概念本質、探究算理算法、把握數量關系、建構知識結構為載體，以小棒、計數器、實物圖、點子圖、流程圖等為表征，借助圈、擺、撥、畫等手段，以數感、運算能力、推理意識等核心素養為導向，探索“數形結合”思想在小學低年級計算教學中的實施路徑。一、融入“數形結合”思想的意義（一）契合新課程改革倡導的理念新課標確立了核心素養導向的課程目標，指出義務教育階段在培養學生核心素養方面具有整體性、階段性和一致性。在教學中，數學素養目標實現的關鍵途徑是課程內容的選擇和組織，而在小學數學計算教學中融入“數形結合”思想，借助“數”“形”梳理關聯，有助于學生在網狀的知識結構中把握知識本質，處理好結果和過程之間的關系；通過“視”“觸”協同實踐，注重數學內容的直觀表述，處理好直觀與抽象的關系，培養學生的幾何直觀。學生在觀察、操作、直觀想象等活動中經歷數學“再發現”的過程，積累數學活動經驗，初步形成有條理、講道理的思維品質。總之，在小學數學計算教學中融入“數形結合”思想，可以使核心素養的培育有清晰的載體和明確的路徑。（二）符合小學生的思維發展特點皮亞杰認為，人的發展分為四個階段：感知運動階段（從出生到2歲）、前運算階段（2到7歲）、具體運算階段（7到11歲）、形式運算階段（11歲以后），小學中低年級學生正處在具體運算階段，正處在具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關鍵時期。從思維的本質來說，思維是具有意識的人腦對客觀現實的本質屬性、內部規律的自覺的、間接的和概括的反映。關于思維能力的培養，杜威認為，“活動對思維的訓練有著重要的作用”“沒有改變自然情境的活動進行，就沒有有效的思維條件”。在小學數學教學中，數學運算是一個非常關鍵的環節。它是學生認識和應用數學問題的依據，直接關系到學生后續的數學學習成果。因此，從學生不同發展時期的思維特征來分析，將數形結合引入課堂，通過活動、操作等開展教學活動，不僅是為了訓練學生的操作技能，更有助于啟發學生的思維，讓學生經歷從具體到抽象的過程，體驗知識的形成過程，從而促進學生能力的發展。（三）連通計算教學的算理和算法關于計算教學，很多教師只關注學生對算法的掌握，容易走向教師“講解—示范—作業”、學生“聽講—模仿—練習”的單一模式，這種過程的簡約化、步驟的程序化看似可以提升學生的運算準確率，但其實學生僅停留在知其然并不知其所以然的階段，并沒有內化知識本質。在小學低學段計算教學中融入“數形結合”，教師通過對教學內容、教學過程教學方式的精心設計，讓學生利用小棒圖、點子圖、計數器等學習工具，經歷“算法探究—算理解釋—理法融合—形成映像”的過程，在活動和體驗中感受知識的動態化。比如，在豎式的學習中，學生易于理解和掌握加法豎式、減法豎式、乘法豎式在計算道理和呈現形式上是一致的，但較難理解除法豎式，知識的相似性會導致負遷移。因此，在教學中，教師在學生經歷了用擺一擺、畫一畫、寫一寫探索平均分的過程后，以“你能結合剛才擺、畫、寫的過程，說一說在分的過程中有什么相同的地方嗎？”為驅動性問題，讓學生在說理的過程中明晰除法的本質：分—取—再分—再取。學生通過“數形結合”和關鍵性問題，搭建算理和算法之間的橋梁，在變式中追尋數學知識的本質。二、融入“數形結合”思想的策略（一）聚焦概念意義，建構運算關聯1.以圖促思，促進概念理解數學概念的理解是數學學習的基石，而學生已經會算的事實和四則運算概念的概括性使得學生對概念的理解存在壁壘。在解決實際問題時，當不同條件和問題混合在一起，部分學生會隨便選擇條件直接計算。究其原因還是學生對四則運算理解得不透徹。新課標指出，要使學生了解四則運算的意義。因此在實踐中，教師以圖促思，讓學生經歷圈、數等實踐活動，直觀理解運算的意義。如圖1，想知道圖中有多少個圓片，學生有不同的思考路徑。有學生橫著數出5個8相加，也有豎著數出8個5相加，列式分別是8+8+8+8+8=40或5+5+5+5+5+5+5+5=40。學生在對比中感受到5×8=40的簡便，也深入感知乘法的本質是相同加數的和。同樣，除法是分的過程，也就是減少的過程。借助數形結合，學生在直觀圖示的思辨活動中，感知各種運算及符號存在的價值，發展了符號意識及數感。同時，學生在數數的實踐活動中體會數的運算，感悟數與運算的一致性。2.以圖建聯，明確運算關系四則運算不是單獨存在的，它們之間存在密切關系。教師要借助有效的教學活動體現運算知識之間的邏輯關系，使學生能用聯系的眼光思考數學。為了讓學生深刻感知乘法、除法運算是加法、減法運算的簡便計算，減法和除法分別是加法和乘法的逆運算，教師嘗試利用數形結合的可視化手段，以圖建聯，構建“一圖三數四式”認知模型，構建四則運算關系網。如圖2，“一圖”即一幅直觀圖形，“三數”分別是4、5和20這三個數字，“四式”是四則運算表達算式。其以形助數，通過圓片幫助學生直觀建構數的運算的意義；以數解形，用數的運算分別解釋形的內涵。學生通過有形的操作理解抽象的關系，從規律結論記憶到實例自然遷移，有效探索出通往四則運算聯結的思維路徑。（二）深入運算本質，融通算理算法1.以形明法，感知計數原理新課標把“數的認識”和“數的運算”統一成“數與運算”主題，強調要感悟數與運算的一致性。在數的認識的教學中，教師基于十進制計數原理讓學生認識數的產生。同樣，教師在教學數的運算算理的形成時，也要把握這一核心要素，這也是進一步深刻領會一致性的關鍵。教師在數的運算教學中關注數形結合的介入，以形明法，讓學生在多元活動中感知計數原理。如在教學兩位數加一位數的進位加法中，如圖3，探究問題“24里明明只有2個十，為什么得數有3個十？多的1個十從哪兒來的”。學生嘗試借助直觀學具模型小棒和半抽象學具模型計數器，再到用分解式記錄計算過程，層層遞進，借操作促進算法、算理的融合，將“10個一是1個十”的認知經驗與“滿十進一”的進位本質進行有效關聯和溝通，從而實現從數的認識到數的運算的跨越，深入認知十進制計數原理。2.以形明理，算理算法相融新課標指出，要讓學生感知運算須在相同數位上進行，感悟計數單位的意義，了解數的運算的一致性。計算教學繞不開算理和算法，算法是對算理的有效總結，算理是對算法的合理解釋。教學中，以形明理，借助數形結合，可以有效實現理法融合。如圖4，用擺小棒圖或計數器解釋45+31的豎式計算道理，直觀的根與根、捆與捆相加的本質就是各數位上“一”和“十”的個數相加。借助形，可以有效呈現提煉的計算法則背后簡化復雜的思維路徑，引導學生理解加法的計算其實就是相同數位上計數單位個數的累加。學生在說理的過程中不僅深刻感悟數與運算的一致性，也培養了推理意識。（三）表征數量關系，構建運算模型1.以做引思，建立數量關系數量關系的研究也是數學學習的重要內容，數量的呈現是具象的，而數量與數量之間關系的表達卻是抽象的。基本的數量關系有相等關系和不相等關系，即等于、大于或小于的關系，很多學生不能基于等量關系解決實際問題就是因為沒有構建清晰的概念表象。教學中，教師以做引思，用形的直觀構造關系模型。如圖5，在理解大、小關系時，利用小方塊圖的數量比較，搭建大于和小于關系的支架，形成大于和小于的符號。2.以做類推，感悟模型問題解決中也存在各種數量關系，對問題進行歸總，形成普適性的模型認知是學生深度學習的重要體現。新課標指出，教師要通過創設簡單的情境，讓學生認識常見的數量關系。新課標中特別增加“總量=分量+分量”的數量關系，旨在使學生在解決實際問題的過程中逐步建構加法模型。在教學中，教師關注實踐應用課和解決實際問題中的同質梳理，形成“一圖二式四型”的認知策略，“一圖”是一幅直觀圖，“二式”是加法和減法的模型關系式，“四型”指四類解決實際問題的類型，如圖6，利用數形結合思想，讓學生利用學具擺一擺或畫圖圈一圈等方式，直觀認知總量等于各分量之和的加法模型；隨著實際問題的變式，學生自然遷移總結“分量=總量-分量”的減法模型，并在操作活動中發現“求原來有多少”“求減數的實際問題”等四種實踐應用課的問題本質都是加法模型的變式，在類推中深刻感悟模型的應用價值與意義。（四）建立知識聯系，拓展學生思維1.以點連線，全課梳理新課標指出，要整體把握教學內容，關注教學內容的結構化。除每課時需要有意識地把握結構化的核心外，復習總結課是學生整體梳理所學知識的有效場域。學生在教師的引導下搭建從點連線、由線連網的學習支架，借助數形結合的思維導圖，以有形的方式把獲取的知識技能由隨處的散落到吸附的聚集，促進聯系，生成結構，看見生長。在教學除法學習之后的復習建構課時，如圖7，教師使用分圓片的操作讓學生進入平均分的學習，不管是除法中的包含除還是等分除，平均分時減少的過程對應的減法算式都是一樣的。學生從中深刻感知除法與減法只是表達形式不同，但本質是一致的。這里以除法為基，讓學生眼中見聯結，心中有梳理，建構四則運算的結構脈絡，提升運算能力。2.以遷構型，延伸思維教師的教和學生的學統一組成有效的教學活動，這是學習的基礎。學生的學習還應是一個主動的過程，沿著既定目標能到達所想的地方，自行建構知識聯結。當學生理解了四則運算的意義，初步感受到運算之間的關系后，教師應用數形結合，引導學生觀察數軸（圖8），引導學生思考該如何