9/142.3拋物線一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A．B．C．D．2、以拋物線的焦半徑為直徑的圓與軸位置關(guān)系是（） A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種均有可能3、設(shè)為過拋物線的焦點(diǎn)的弦，則的最小值為（）A．B．C．D．無法確定4、若拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．5、若雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．46、已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（，－1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，－2）7、已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）A． B． C． D．8、已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且成等差數(shù)列，則有（）A． B．C． D．9、過點(diǎn)作與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有 （） A．0條 B．1條 C．2條 D．3條10、已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為()A．4 B．8 C．16 D．11、拋物線上兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，且，則等于（）A．B．C．D．12、過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（）A．2a B． C．4a D．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13、若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．14、過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則．15、已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為．16、對于拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)都滿足，則的取值范圍是。三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17、（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值。18、（本小題滿分12分）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線與直線無公共點(diǎn)，試在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線的距離最短。Oyx1lF19、（本小題滿分12分）如圖，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且．Oyx1lF（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，，求的值.20．（本小題滿分12分）已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)．（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．21．（本小題滿分12分）如圖傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；Ｏ題（21）圖（Ⅱ）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明為定值，并求此定值．Ｏ題（21）圖22．（本題滿分14分）ABCPQOxyl如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)．一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)．ABCPQOxyl（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（Ⅲ）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．B，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2．OFPQMNB設(shè)Q為PF中點(diǎn)，分別過P、Q作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為OFPQMN則，∴點(diǎn)Q到軸的距離，故選B。3．C垂直于對稱軸的通徑時最短，即當(dāng)4．B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，得，過點(diǎn)所作的高也是中線，，代入到得，5．C解：雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得：，故選C。6．A解：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖,故最小值在三點(diǎn)共線時取得，此時的縱坐標(biāo)都是，故選A。（點(diǎn)坐標(biāo)為）7．A解：本小題主要考查拋物線的定義解題。依題設(shè)在拋物線準(zhǔn)線的投影為,拋物線的焦點(diǎn)為,則,依拋物線的定義知到該拋物線準(zhǔn)線的距離為,則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和,故選A。8．C解：由成等差數(shù)列得，從而有根據(jù)拋物線定義即得：．故選C。9．C解：∵點(diǎn)在拋物線上，∴過點(diǎn)作與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線只有2條，故選C。10．B解：∵拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為∴設(shè)，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，則∵，又∴由得，即，解得∴的面積為故選B.11．A，且在直線上，即12．C（特例法）過拋物線的焦點(diǎn)F作與軸垂直的直線，則，∴，故選C。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13．解：直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)則14．解：如圖，分別過點(diǎn)向拋物線準(zhǔn)線作垂線，垂足為；過點(diǎn)作于。則，，又所以15．解:拋物線，頂點(diǎn)焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為，所以三角形面積16．設(shè)，由得恒成立，則三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．解法一、設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)，由題意可得，解之得或，故所求的拋物線方程為，。解法二、設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：OFMN則由拋物線定義知：OFMN故所求的拋物線方程為，。18．解：（1）設(shè)拋物線的方程為，則消去得，則（2）解法一、顯然拋物線與直線無公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離為，則當(dāng)時，取得最小值，此時為所求的點(diǎn)解法二、顯然拋物線與直線無公共點(diǎn)，設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)。由消去并化簡得：，∵直線與拋物線相切，∴，解得：把代入方程并解得：，∴故所求點(diǎn)為。19．解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：PBQMPBQMFOAxy設(shè)，，又，聯(lián)立方程組，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）由已知，，得．則：．…………①過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則有：．…………②由①②得：，即．20．xAy112xAy112MNBO把代入得，由韋達(dá)定理得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，，．即．（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，．由（Ⅰ）知．軸，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè)，把代入得．由韋達(dá)定理得．，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，．（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使．由（Ⅰ）知，則，，，解得．即存在，使．21．（=1\*ROMANI）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而．Ｏ題（21）圖因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，Ｏ題（21）圖又準(zhǔn)線方程的一般式為．從而所求準(zhǔn)線的方程為．（=2\*ROMANII）解法一：如答21圖作，，垂足分別為，則由拋物線的定義知，．記的橫坐標(biāo)分別為，，則，解得．類似地有，解得．記直線與的交點(diǎn)為，則．所以．故．解法二：設(shè)，，直線的斜率為，則直線方程為．將此式代入得，故．記直線與的交點(diǎn)為，則，，故直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐