PAGE7-第五節空間向量的運算及應用[考綱傳真]1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，駕馭空間向量的正交分解及其坐標表示.2.駕馭空間向量的線性運算及其坐標表示.3.駕馭空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積推斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡潔定理．1．空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量共面對量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關定理(1)共線向量定理：對空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.(2)共面對量定理：假如兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：假如三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．兩個向量的數量積(1)非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數量積的運算律：①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標表示數量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))5.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0[常用結論]1．對空間任一點O，若eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))(x＋y＝1)，則P，A，B三點共線．2．對空間任一點O，若eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))(x＋y＋z＝1)，則P，A，B，C四點共面．3．平面的法向量的確定：設a，b是平面α內兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間中隨意兩非零向量a，b共面．()(2)若A，B，C，D是空間隨意四點，則有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.()(3)設{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量．()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)設u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t＝()A．3B．4C．5 D．6C[∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.]3．(教材改編)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up12(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cA[eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\o(BB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1M,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.]4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))C[設n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up12(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up12(→))＝0，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y＝z.故選C.]5．(教材改編)已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________.2eq\r(6)[∵a⊥b，∴a·b＝0，即－8＋6＋x＝0，∴x＝2.∴b＝(－4,2,2)，∴|b|＝eq\r(16＋4＋4)＝2eq\r(6).]空間向量的線性運算1.如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且eq\o(MG,\s\up12(→))＝2eq\o(GN,\s\up12(→))，若eq\o(OG,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))，則x＋y＋z＝________.eq\f(5,6)[連接ON，設eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，則eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(OG,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\o(MG,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c－\f(1,2)a))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.又eq\o(OG,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))，所以x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)，因此x＋y＋z＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).]2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AD,\s\up12(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，設用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up12(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up12(→))；(3)eq\o(MP,\s\up12(→))＋eq\o(NC1,\s\up12(→)).[解](1)因為P是C1D1的中點，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→))＋eq\o(D1P,\s\up12(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因為N是BC的中點，所以eq\o(A1N,\s\up12(→))＝eq\o(A1A,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BN,\s\up12(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)因為M是AA1的中點，所以eq\o(MP,\s\up12(→))＝eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up12(→))＋eq\o(AP,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→))＋eq\o(CC1,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up12(→))＋eq\o(NC1,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.[規律方法]用基向量表示指定向量的方法1結合已知向量和所求向量視察圖形.2將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中.3利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.共線(共面)向量定理的應用【例1】已知E，F，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)求證：E，F，G，H四點共面；(2)求證：BD∥平面EFGH.[證明](1)連接BG，EG，則eq\o(EG,\s\up12(→))＝eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\o(BG,\s\up12(→))＝eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up12(→))＋\o(BD,\s\up12(→))))＝eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＋eq\o(EH,\s\up12(→))＝eq\o(EF,\s\up12(→))＋eq\o(EH,\s\up12(→)).所以E，F，G，H四點共面．(2)因為eq\o(EH,\s\up12(→))＝eq\o(AH,\s\up12(→))－eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up12(→)).所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.[規律方法]1證明點共線問題可轉化為證明向量共線問題，如證A，B，C三點共線，即證eq\o(AB,\s\up12(→))，\o(AC,\s\up12(→))共線，,只需證\o(AB,\s\up12(→))＝λ\o(AC,\s\up12(→))λ≠0即可.2證明點共面問題，可轉化為證向量共面問題.,如證P，A，B，C四點共面，只需證eq\o(PA,\s\up12(→))＝x\o(PB,\s\up12(→))＋y\o(PC,\s\up12(→))或對空間隨意一點O，有eq\o(OA,\s\up12(→))＝\o(OP,\s\up12(→))＋x\o(PB,\s\up12(→))＋y\o(PC,\s\up12(→))或\o(OP,\s\up12(→))＝x\o(OA,\s\up12(→))＋y\o(OB,\s\up12(→))＋z\o(OC,\s\up12(→))其中x＋y＋z＝1即可.(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2 D．2,2(2)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等于________．(1)A(2)eq\f(65,7)[(1)∵a∥b，∴設b＝xa，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xλ＋1＝6，,2μ－1＝0，,2x＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,2)，,λ＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,2)，,λ＝－3.))故選A.(2)∵a與b不共線，故存在實數x，y使得c＝xa＋yb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))故填eq\f(65,7).]空間向量的數量積【例2】如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值．[解](1)設eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up12(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up12(→))|＝eq\r(6)，即AC1的長為eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up12(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，∴|eq\o(BD1,\s\up12(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈eq\o(BD1,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up12(→))·\o(AC,\s\up12(→)),|\o(BD1,\s\up12(→))||\o(AC,\s\up12(→))|)＝eq\f(\r(6),6).∴AC與BD1夾角的余弦值為eq\f(\r(6),6).[規律方法]1利用向量的數量積可證明線段的垂直關系，也可以利用垂直關系，通過向量共線確定點在線段上的位置.2利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角.3可以通過eq|a|＝\r(a2)，將向量的長度問題轉化為向量數量積的問題求解.如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．(1)求eq\o(BN,\s\up12(→))的模；(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(CB1,\s\up12(→))〉的值；(3)求證：A1B⊥C1M.[解](1)如圖，以點C作為坐標原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．由題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|eq\o(BN,\s\up12(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3).(2)由題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以eq\o(BA1,\s\up12(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up12(→))＝(0,1,2)，eq\o(BA1,\s\up12(→))·eq\o(CB1,\s\up12(→))＝3，|eq\o(BA1,\s\up12(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up12(→))|＝eq\r(5)，所以cos〈eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(CB1,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up12(→))·\o(CB1,\s\up12(→)),|\o(BA1,\s\up12(→))||\o(CB1,\s\up12(→))|)＝eq\f(\r(30),10).(3)證明：由題意得C1(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，eq\o(A1B,\s\up12(→))＝(－1,1，－2)，eq\o(C1M,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(A1B,\s\up12(→))·eq\o(C1M,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0，所以eq\o(A1B,\s\up12(→))⊥eq\o(C1M,\s\up12(→))，即A1B⊥C1M.利用向量證明平行與垂直問題【例3】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[解](1)證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2eq\r(3)，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，∴eq\o(DP,\s\up12(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DA,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)，3,0)，eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2))).(1)設n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up12(→))·n＝0，,\o(DA,\s\up12(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))令y＝2，得n＝(－eq\r(3)，2,1)．∵n·eq\o(CM,\s\up12(→))＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，∴n⊥eq\o(CM,\s\up12(→)).又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)法一：由(1)知eq\o(BA,\s\up12(→))＝(0,4,0)，eq\o(PB,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)，0，－2)，設平面PAB的一個法向量為m＝(x0，y0，z0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up12(→))·m＝0，,\o(PB,\s\up12(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4y0＝0，,2\r(3)x0－2z0＝0，))令x0＝1，得m＝(1,0，eq\r(3))．又∵平面PAD的一個法向量n＝(－eq\r(3)，2,1)，∴m·n＝1×(－eq\r(3))＋0×2＋eq\r(3)×1＝0，∴平面PAB⊥平面PAD.法二：取AP的中點E，連接BE，則E(eq\r(3)，2,1)，eq\o(BE,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)，2,1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵eq\o(BE,\s\up12(→))·eq\o(DA,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)，2,1)·(2eq\r(3)，3,0)＝0，∴eq\o(BE,\s\up12(→))⊥eq\o(DA,\s\up12(→)).∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.[規律方法]1.利用向量法證明平行問題的類型及方法1證明線線平行：兩條直線的方向向量平行.2證明線面平行：①該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行；③證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示.3證明面面平行：兩個平面的法向量平行.2.利用向量法證明垂直問題的類型及方法1證明線線垂直：兩條直線的方向向量的數