PAGEPAGE1單元質檢四三角函數、解三角形(A)(時間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.(2024廣東深圳模擬測試)下列函數中周期為π且為偶函數的是()A.y=sin2x-π2 BC.y=sinx+π2 D.答案A解析對于選項A,y=-cos2x,周期為π且是偶函數,所以選項A正確;對于選項B,y=sin2x,周期為π且是奇函數,所以選項B錯誤;對于選項C,y=cosx,周期為2π,所以選項C錯誤;對于選項D,y=-sinx,周期為2π,所以選項D錯誤.故答案為A.2.(2024全國Ⅱ,文7)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則A.42 B.30 C.29 D.25答案A解析∵cosC=2cos2C2-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35∴AB=42.3.函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值為()A.π,0 B.2π,0 C.π,2-2 D.2π,2-2答案C解析因為f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+2sin2x所以最小正周期為π,當sin2x+π4=-4.已知函數f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<π2的圖象過點(0,3),則函數fA.-π3,0 B.-π6答案B解析由題意,得3=2sin(2×0+φ),即sinφ=32因為|φ|<π2,所以φ=π由2sin2x+π3=0,得2x+π3=kπ當k=0時,x=-π6,故選B5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若acosB+bcosA=csinC,S=14(b2+c2-a2),則B=(A.90° B.60° C.45° D.30°答案C解析由正弦定理,得2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinCsinC,于是sin(A+B)=sin2C,所以sinC=1,即C=π2,從而S=12ab=14(b2+c2-a2)=14(b2+b所以B=45°.故選C.6.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,若x1,x2∈-π6,π3,且f(A.1 B.12 C.22 D答案D解析由題中圖象可得A=1,T2解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).由題圖可知π12,1在函數f故sin2×π12+φ=1,即π6+φ=π2+2∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f(x)=sin∵x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)∴x1+x2=π12×2=π∴f(x1+x2)=sin2×π二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.已知sinπ4-x=34,且x∈-答案-3解析sin2x=cosπ2-2x=1=1-2×342=-∵x∈-π2,-π4,∴∴cos2x=-1-sin8.(2024北京,文14)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;ca的取值范圍是答案π3(2,+∞解析∵S△ABC=34(a2+c2-b2)=12acsin∴a2+c2∴sinBcosB=3,即tanB=3,則c=32∴∠C為鈍角,∠B=π3,∴0<∠A<π∴tanA∈0,33,1tanA∈(3,+∞),故三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和解因為AB·AC=-6,所以bccos又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π.所以A=3π4.又b=3,所以c=2由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-22=10.(15分)(2024浙江,18)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊過點P-3(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β滿意sin(α+β)=513,求cosβ的值解(1)由角α的終邊過點P-3得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=4(2)由角α的終邊過點P-35,-45由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±12由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1611.(15分)已知函數f(x)=Asinωx+π3(A>0,ω>0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π(1)求函數f(x)的解析式;(2)若角α滿意f(α)+3fα-π2=1,α∈(0,解(1)由條件知周期T=2π,即2πω=2π,所以