PAGEPAGE1第1講空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖基礎學問整合1．簡潔幾何體(1)簡潔旋轉體的結構特征①圓柱可以由eq\o(□,\s\up4(01))矩形繞其任一邊旋轉得到；②圓錐可以由直角三角形繞其eq\o(□,\s\up4(02))直角邊旋轉得到；③圓臺可以由直角梯形繞eq\o(□,\s\up4(03))直角腰或等腰梯形繞eq\o(□,\s\up4(04))上、下底中點連線旋轉得到，也可由eq\o(□,\s\up4(05))平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；④球可以由半圓或圓繞eq\o(□,\s\up4(06))直徑旋轉得到．(2)簡潔多面體的結構特征①棱柱的側棱都eq\o(□,\s\up4(07))平行且相等，上下底面是eq\o(□,\s\up4(08))全等的多邊形；②棱錐的底面是隨意多邊形，側面是有一個eq\o(□,\s\up4(09))公共點的三角形；③棱臺可由eq\o(□,\s\up4(10))平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是eq\o(□,\s\up4(11))相像多邊形．2．直觀圖(1)畫法：常用eq\o(□,\s\up4(12))斜二測畫法．(2)規則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為eq\o(□,\s\up4(13))45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面eq\o(□,\s\up4(14))垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up4(15))平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度eq\o(□,\s\up4(16))不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中eq\o(□,\s\up4(17))變為原來的一半．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的eq\o(□,\s\up4(18))正前方、eq\o(□,\s\up4(19))正左方、eq\o(□,\s\up4(20))正上方視察幾何體畫出的輪廓線．說明：正視圖也稱主視圖，側視圖也稱左視圖．(2)三視圖的畫法①基本要求：eq\o(□,\s\up4(21))長對正，eq\o(□,\s\up4(22))高平齊，eq\o(□,\s\up4(23))寬相等．②畫法規則：eq\o(□,\s\up4(24))正側一樣高，eq\o(□,\s\up4(25))正俯一樣長，eq\o(□,\s\up4(26))側俯一樣寬；看不到的線畫eq\o(□,\s\up4(27))虛線．1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長度變為原來的一半，,圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長度不變更，,相對位置不變更.))2．直觀圖與原圖形面積的關系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．給出下列命題：①各側面都是全等四邊形的棱柱肯定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體肯定是長方體；③長方體肯定是正四棱柱．其中正確的命題個數是()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①直平行六面體底面是菱形，滿意條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿意條件但不是長方體；③明顯錯誤．2．(2024·河北唐山五校聯考)如圖是一個空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側視圖為()答案A解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構成的，結合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側視圖應為A，故選A.3．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形答案D解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.4．(2024·湖南長沙模擬)如圖是一個正方體，A，B，C為三個頂點，D是棱的中點，則三棱錐A－BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()答案A解析正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，為虛線，故選A.5．(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析依據三視圖，還原四棱錐，如圖．在四棱錐S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.明顯△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又計算△SBC的三邊長并由勾股定理知其不是直角三角形．故選C.6．(2024·四川模擬)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．答案eq\f(\r(3),3)解析在長方體(長為2eq\r(3)，寬、高均為1)中作出此三棱錐，如圖所示，則VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×1＝eq\f(\r(3),3).核心考向突破考向一空間幾何體的結構特征例1下列說法正確的是()A．有兩個平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個側面都可以是直角三角形C．有兩個平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．棱臺的各側棱延長后不肯定交于一點答案B解析A錯誤，如圖1；B正確，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個側面都是直角三角形；C錯誤，如圖3；D錯誤，由棱臺的定義知，其側棱必相交于同一點．觸類旁通解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧(1)熟識空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定．2通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.即時訓練1.以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數為()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析命題①錯誤，因為這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯誤，因為這條腰必需是垂直于兩底的腰；命題③錯誤，因為圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；命題④錯誤，必需用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．故選A.考向二平面圖形與某直觀圖的關系例2(1)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故選A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析因為OE＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).觸類旁通畫幾何體的直觀圖一般采納斜二測畫法，其規則可以用“斜”兩坐標軸成45°或135°和“二測”平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變來駕馭.對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關量.即時訓練2.(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖①、②所示的平面圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為________．答案8cm2解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)cm2，故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8cm2.考向三空間幾何體的三視圖角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))由空間幾何體的直觀圖識別三視圖例3(1)(2024·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()答案A解析視察圖形易知卯眼處應以虛線畫出，俯視圖為，故選A.(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是棱CD上一點，則三棱錐P－A1B1A的左視圖是()答案D解析在長方體ABCD－A1B1C1D1中，從左側看三棱錐P－A1B1A，B1，A1，A的射影分別是C1，D1，D；AB1的射影為C1D，且為實線，PA1的射影為PD1，且為虛線．故選D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(2))由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例4(1)(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱．由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B.(2)(2024·貴州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()答案D解析選項A的正視圖、俯視圖不符合要求，選項B的正視圖、側視圖不符合要求，選項C俯視圖不符合要求，故選D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(3))由兩個視圖補畫第三個視圖例5(1)(2024·天津模擬)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(左)視圖為()答案B解析由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示．從左側視察直觀圖，可知截面體現為從左上到右下的虛線．故選B.(2)(2024·沈陽模擬)一個錐體的正視圖和側視圖如圖所示，下面選項中，不行能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析若俯視圖為選項C，側視圖的寬應為俯視圖中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯視圖不行能是選項C.故選C.觸類旁通三視圖問題的常見類型及求解策略(1)在分析空間幾何體的三視圖時，先依據俯視圖確定幾何體的底面，然后依據正視圖或側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形態，即可得到結果．2在由三視圖還原空間幾何體的實際形態時，要從三個視圖綜合考慮，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮.即時訓練4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AA1，C1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，則空間四邊形AGFE在該正方體的表面上的正投影不行能是()答案B解析四邊形AGFE在正方體的上、下兩個面上的正投影為選項A，在左、右兩個面上的正投影為選項D，在前、后兩個面上的正投影為選項C，故不