PAGEPAGE1課時作業47直線的傾斜角與斜率、直線的方程[基礎達標]一、選擇題1．直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)解析：設直線l的斜率為k，則k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).答案：A2．[2024·秦皇島模擬]傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是()A.eq\r(3)x－y＋1＝0B.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0D.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0解析：由于傾斜角為120°，故斜率k＝－eq\r(3).又直線過點(－1,0)，所以直線方程為y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.答案：D3．若經過兩點A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角為eq\f(3π,4)，則y等于()A．－1B．－3C．0D．2解析：由k＝eq\f(－3－2y－1,2－4)＝taneq\f(3π,4)＝－1.得－4－2y＝2，∴y＝－3.答案：B4．[2024·四川南充模擬]過點P(2,3)，并且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線l的方程為()A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0C．x＋y－5＝0D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0解析：當直線l過原點時，方程為y＝eq\f(3,2)x；當直線l不過原點時，設直線方程eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，將點P(2,3)代入方程，得a＝－1，故直線l的方程為x－y＋1＝0.綜上，直線l的方程為3x－2y＝0或x－y＋1＝0.故選B.答案：B5．[2024·河南安陽模擬]若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a2)共線，則a＝()A．1±eq\r(2)或0B.eq\f(2－\r(5),2)或0C.eq\f(2±\r(5),2)D.eq\f(2＋\r(5),2)或0解析：∵平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，∴kAB＝kAC，即eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3＋a,3－1)，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).故選A.答案：A6．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)解析：因為AO＝AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線AB的點斜式方程為y－3＝－3(x－1)．答案：D7．一次函數y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時經過第一、三、四象限的必要不充分條件是()A．m>1，且n<1B．mn<0C．m>0，且n<0D．m<0，且n<0解析：因為y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)經過第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0.答案：B8．直線Ax＋By－1＝0在y軸上的截距是－1，而且它的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角的2倍，則()A．A＝eq\r(3)，B＝1B．A＝－eq\r(3)，B＝－1C．A＝eq\r(3)，B＝－1D．A＝－eq\r(3)，B＝1解析：將直線Ax＋By－1＝0化成斜截式y＝－eq\f(A,B)x＋eq\f(1,B).∵eq\f(1,B)＝－1，∴B＝－1，故解除A，D.又直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角α＝eq\f(π,3)，∴直線Ax＋By－1＝0的傾斜角為2α＝eq\f(2π,3)，∴斜率－eq\f(A,B)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，∴A＝－eq\r(3)，故選B.答案：B9．直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的改變范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))解析：直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．設直線的傾斜角為θ，則0≤θ<π，tanθ∈[1，eq\r(3)]．所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的改變范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).答案：B10．[2024·荷澤模擬]若直線x－2y＋b＝0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)解析：令x＝0，得y＝eq\f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq\f(1,4)b2，且b≠0，因為eq\f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2,0)∪(0,2]．答案：C二、填空題11．若三點A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共線，則實數m＝________.解析：由題意得kAB＝eq\f(2－3,3－2)＝－1，kAC＝eq\f(m－3,\f(1,2)－2).∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kAC，∴eq\f(m－3,\f(1,2)－2)＝－1，解得m＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)12．直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．解析：如圖，因為kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，所以k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)13．過點M(3，－4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為________．解析：①若直線過原點，則k＝－eq\f(4,3)，所以y＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y＝0.②若直線不過原點．設eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y＝a.則a＝3＋(－4)＝－1，所以直線的方程為x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝014．一條直線經過點A(－2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________．解析：設所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直線上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1①又因為直線與坐標軸圍成的面積為1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1②由①②得(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1,ab＝－2))由(1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2))，方程組(2)無解，故所求的直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0[實力挑戰]15．設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則點P橫坐標的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))B．[－1,0]C．[0,1]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：由題意知y′＝2x＋2，設P(x0，y0)，則k＝2x0＋2.因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq\f(1,2).答案：A16．已知m≠0，則過點(1，－1)的直線ax＋3my＋2a＝0的斜率為________．解析：∵點(1，－1)在直線ax＋3my＋2a＝0上，∴a－3m＋2a＝0，∴m＝a≠0，∴k＝－eq\f(a,3m)＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)17．若ab<0，則過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))與Qeq\b\l