PAGEPAGE123．3全稱命題與特稱命題的否定學習目標1.理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2.駕馭對全稱命題和特稱命題否定的方法．學問點一全稱命題的否定要說明一個全稱命題是錯誤的，只需找出一個反例就可以了．事實上是要說明這個全稱命題的否定是正確的．全稱命題的否定是特稱命題．一般地，全稱命題“全部的x∈A，使p(x)成立”的否定為特稱命題“存在x∈A，使p(x)不成立”．學問點二特稱命題的否定要說明一個特稱命題“存在一些對象滿意某一性質”是錯誤的，就要說明全部的對象都不滿意這一性質．事實上是要說明這個特稱命題的否定是正確的．特稱命題的否定是全稱命題．一般地，特稱命題“存在x∈A，使p(x)成立”的否定為全稱命題“全部的x∈A，使p(x)不成立”．1．若命題p是含一個量詞的命題，則p與其否定真假性相反．(√)2．從特稱命題的否定看，是對“量詞”和“p(x)”同時否定．(×)3．從全稱命題的否定看，既要把全稱量詞轉換為存在量詞，又要把p(x)否定．(√)題型一全稱命題的否定例1寫出下列命題的否定，并推斷其真假．(1)隨意n∈Z，則n∈Q；(2)等圓的面積相等，周長相等；(3)偶數的平方是正數．考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定解(1)存在n∈Z，使n?Q，這是假命題．(2)存在等圓，其面積不相等或周長不相等，這是假命題．(3)存在偶數的平方不是正數，這是真命題．反思感悟1.寫出全稱命題的否定的關鍵是找出全稱命題的全稱量詞和結論，把全稱量詞改為存在量詞，結論變為否定的形式就得到命題的否定．2．有些全稱命題省略了量詞，在這種狀況下，千萬不要將否定簡潔的寫成“是”或“不是”．跟蹤訓練1寫出下列全稱命題的否定：(1)全部能被3整除的整數都是奇數；(2)每一個四邊形的四個頂點共圓；(3)對隨意x∈Z，x2的個位數字不等于3.考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定解(1)存在一個能被3整除的整數不是奇數．(2)存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓．(3)存在x∈Z，x2的個位數字等于3.題型二特稱命題的否定例2寫出下列特稱命題的否定：(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等邊三角形；(3)有一個素數含三個正因數．考點特稱命題的否定題點含存在量詞的命題的否定解(1)隨意x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)全部的三角形都不是等邊三角形．(3)每一個素數都不含三個正因數．反思感悟與全稱命題的否定的寫法類似，要寫出特稱命題的否定，先確定它的存在量詞，再確定結論，然后把存在量詞改寫為全稱量詞，對結論作出否定就得到特稱命題的否定．跟蹤訓練2寫出下列特稱命題的否定，并推斷其真假：(1)有些實數的肯定值是正數；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得eq\r(2)x＋y＝3.考點特稱命題的否定題點含存在量詞的命題的否定解(1)命題的否定：“不存在一個實數，它的肯定值是正數”，也即“全部實數的肯定值都不是正數”．由于|－2|＝2，因此命題的否定為假命題．(2)命題的否定：“沒有一個平行四邊形是菱形”，也即“每一個平行四邊形都不是菱形”．由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題．(3)命題的否定：“隨意x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．∵當x＝0，y＝3時，eq\r(2)x＋y＝3，因此命題的否定是假命題．題型三全稱命題、特稱命題否定的應用例3已知命題p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.假如對于隨意x∈R，p(x)為假命題且q(x)為真命題，求實數m的取值范圍．考點全稱命題與特稱命題的否定題點由全稱命題與特稱命題的真假求參數的范圍解∵sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>m，若p(x)為真命題，則m<－eq\r(2).∵p(x)為假命題，∴m≥－eq\r(2)，①由q(x)為真命題，得Δ＝m2－4<0，即－2<m<2，②由①②可得－eq\r(2)≤m<2.引申探究若例3中“假如對于隨意x∈R，p(x)為假命題且q(x)為真命題”改為“假如對于隨意x∈R，p(x)與q(x)有且僅有一個是真命題”，其他條件不變，求實數m的取值范圍．解由例3知p(x)為真命題時，m<－eq\r(2)，q(x)為真命題時，－2<m<2.由題意知p(x)與q(x)兩命題有一真一假，當p(x)為真，q(x)為假時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－\r(2)，,m≤－2或m≥2，))得m≤－2.當p(x)為假，q(x)為真時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－\r(2)，,－2<m<2，))得－eq\r(2)≤m<2.所以m的取值范圍是(－∞，－2]∪[－eq\r(2)，2)．反思感悟若全稱命題為假命題，通常轉化為其否定命題——特稱命題為真命題解決，同理，若特稱命題為假命題，通常轉化為其否定命題——全稱命題為真命題解決．跟蹤訓練3已知函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區間[－1,1]上至少存在一個實數c，使得f(c)>0.求實數p的取值范圍．考點存在量詞與特稱命題的真假推斷題點存在性問題求參數的范圍解在區間[－1,1]上至少存在一個實數c，使得f(c)>0的否定是在區間[－1,1]上的全部實數x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函數的圖像特征可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，,4－2p－2－2p2－p＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≥1或p≤－\f(1,2)，,p≥\f(3,2)或p≤－3.))∴p≥eq\f(3,2)或p≤－3.故p的取值范圍是－3<p<eq\f(3,2).1．命題“隨意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．隨意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．隨意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定答案C解析全稱命題的否定是特稱命題．2．下列命題的否定為假命題的是()A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0B．隨意x∈R，lgx＜1C．全部能被3整除的整數都是奇數D．隨意x∈R，sin2x＋cos2x＝1考點特稱命題的否定題點含有一個量詞的命題真假推斷答案D解析對于選項A，因為x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以存在x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命題，故其否定為真命題；對于選項B，因為當x＞10時，lgx＞1，所以隨意x∈R，lgx＜1是假命題，故其否定為真命題；對于選項C，因為6能被3整除，但6是偶數，所以這是假命題，其否定為真命題；對于選項D，明顯成立，因此其否定是假命題．3．若“存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinxcosx>m”為假命題，則實數m的取值范圍是________．考點存在量詞與特稱命題的真假推斷題點存在性問題求參數的范圍答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析由題意知，對隨意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinxcosx≤m為真命題；又∵sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴m≥eq\f(1,2).4．寫出下列命題的否定并推斷其真假．(1)不論m取何實數，方程x2＋mx－1＝0必有實數根；(2)有些三角形的三條邊相等；(3)余弦值為負數的角是鈍角．考點含有量詞的命題的否定的應用題點全稱命題與特稱命題的否定及真假推斷解(1)這一命題可表述為對隨意的實數m，方程x2＋mx－1＝0必有實數根．其否定：存在一個實數m，使方程x2＋mx－1＝0沒有實數根，因為該方程的判別式Δ＝m2＋4>0恒成立，故為假命題．(2)原命題的否定為“全部三角形的三條邊不全相等”，假命題．(3)原命題的否定為“存在余弦值為負數的角不是鈍角”，真命題．對含有一個量詞的命題的否定要留意以下問題(1)確定命題類型，是全稱命題還是特稱命題．(2)變更量詞：把全稱量詞改為恰當的存在量詞；把存在量詞改為恰當的全稱量詞．(3)否定結論：原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等．(4)無量詞的全稱命題要先補回量詞再否定.一、選擇題1．設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集，若命題為“對隨意的x∈A,2x∈B”，則該命題的否定是()A．對隨意x∈A,2x?BB．對隨意x?A,2x?BC．存在x?A,2x∈BD．存在x∈A,2x?B考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定答案D2．命題“全部能被2整除的整數都是偶數”的否定是()A．全部不能被2整除的整數都是偶數B．全部能被2整除的整數都不是偶數C．存在一個不能被2整除的整數是偶數D．存在一個能被2整除的整數不是偶數考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定答案D解析原命題為全稱命題，其否定應為特稱命題，且結論否定．3．命題“對隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．對隨意的x∈R，x3－x2＋1>0考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定答案C解析由題意知，原命題為全稱命題，故其否定為特稱命題，所以否定為“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故選C.4．已知命題p：隨意x>0，總有(x＋1)ex>1，則命題p的否定為()A．存在x≤0，使得(x＋1)ex≤1B．存在x>0，使得(x＋1)ex≤1C．隨意x>0，總有(x＋1)ex≤1D．隨意x≤0，總有(x＋1)ex≤1考點全稱命題的否定題點全稱命題的否定答案B解析“隨意x>0，總有(x＋1)ex>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)ex≤1”．故選B.5．命題p：“存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數根”，則命題p的否定為()A．存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0無實數根B．不存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0無實數根C．對隨意的實數m，方程x2＋mx＋1＝0無實數根D．至多有一個實數m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數根考點特稱命題的否定題點含存在量詞命題的否定答案C解析命題p是特稱命題，其否定形式為全稱命題，即為對隨意的實數m，方程x2＋mx＋1＝0無實數根．6．已知命題p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是()A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)考點全稱命題與特稱命題的否定的應用題點由全稱命題與特稱命題的真假求參數范圍答案A解析∵p是假命題，∴隨意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.7．下列命題中是假命題的是()A．存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·是冪函數，且在(0，＋∞)上是削減的B．隨意a>0，函數f(x)＝ln2x＋lnx－a有零點C．存在α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．隨意φ∈R，函數f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數考點全稱命題與特稱命題的真假推斷題點全稱命題與特稱命題的真假推斷答案D解析∵f(x)為冪函數，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是削減的，故A真；∵y＝ln2x＋lnx的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))，∴對隨意a>0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，即f(x)有零點，故B真；當α＝eq\f(π,6)，β＝2π時，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；當φ＝eq\f(π,2)時，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數，故D為假命題．8．已知函數f(x)＝|2x－1|，若命題“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”為真命題，則下列結論肯定正確的是()A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1答案B解析函數f(x)＝|2x－1|的圖像如圖所示．由圖可知f(x)在(－∞，0]上是削減的，在(0，＋∞)上是增加的，所以要滿意存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)為真命題，則必有a<0，故選B.9．已知二次函數f(x)＝2x2－(a＋6)x－2a2－a，若在區間[0,1]內至少存在一個實數b，使f(x)>0，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))考點存在量詞與特稱命題的真假推斷題點存在性問題求參數的范圍答案A解析考慮原命題的否定，即在區間[0,1]內的全部的實數b，使f(b)≤0，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0≤0，,f1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋a≥0，,a2＋a＋2≥0，))解得a≤－eq\f(1,2)或a≥0，故若在區間[0,1]內至少存在一個實數b，使f(b)>0，則實數a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).二、填空題10．命題“存在x∈{x|x是正實數}，使eq\r(x)<x”的否定為________命題．(填“真”或“假”)考點存在量詞的否定題點含一個量詞的命題真假推斷答案假解析命題“存在x∈{x|x是正實數}，使eq\r(x)<x”是真命題，則該命題的否定是假命題．11．命題“隨意x>0，x＋eq\f(1,x)≥1”的否定為________________________．考點全稱量詞的否定題點含全稱量詞的命題的否定答案存在x>0，x＋eq\f(1,x)<112．已知p(x)：x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數m的取值范圍是________．考點全稱命題與特稱命題的否定的應用題點由全稱命題與特稱命題的真假求參數的范圍答案[3,8)解析因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8，故實數m的取值范圍是[3,8)．三、解答題13．推斷下列命題的真假，并寫出它們的否定：(1)隨意α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)存在x，y∈Z,3x－4y＝20；(3)在實數范圍內，有些一元二次方程無解．考點含有一個量詞的命題題點含一個量詞的命題真假推斷解(1)當α＝β＝0時，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，故命題為假命題．命題的否定為：存在α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(2)真命題．命題的否定為：隨意x，y∈Z,3x－4y≠20.(3)真命題．命題的否定為：在實數范圍內，全部的一元二次方程都有解．14．已知命題“對于隨意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命題，求實數a的取值范圍．考點全稱命題題點由命題的真假求參數的范圍解因為全稱命題“對于隨意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式為：“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋ax0＋1<0”．由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知，這個否定形式的命題是真命題．由于函數f(x)＝x2＋a