PAGEPAGE1考點11函數與方程1．已知是定義在上的偶函數，對于,都有,當時，，若在[-1,5]上有五個根，則此五個根的和是（）A．7B．8C．10D．122．已知函數是定義在上的偶函數，且，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D3．函數的零點所在的區間是()A．(,1)B．(1,2)C．(e,3)D．(2,e)【答案】B【解析】令，當時，；當時，；當時，.在其定義域上單調遞增，則函數只有一個零點，又由上式可知，故函數零點在區間內.選.4．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－xx＋2，x≤0))的零點個數是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】當x>0時，令f(x)＝0可得x＝1；當x≤0時，令f(x)＝0可得x＝－2或x＝0.因此函數的零點個數為3.故選D.5．關于x的方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】選B∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖所示，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有2個交點，即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數是2.10．對于滿意0＜b≤3a的隨意實數a，b，函數f(x)＝ax2＋bx＋c總有兩個不同的零點，則eq\f(a＋b－c,a)的取值范圍是()A．(1，eq\f(7,4)] B．(1,2]C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)【答案】D11．已知函數f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區間(1,2)內有零點，則實數a的取值范圍是()A．(－1，－log32) B．(0，log52)C．(log32,1) D．(1，log34)【答案】C【解析】∵單調函數f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區間(1,2)內有零點，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，故選C.12．(2024·甘肅天水一中月考)已知函數f(x)＝lnx－ax2＋ax恰有兩個零點，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}【答案】C【解析】由題意，明顯x＝1是函數f(x)的一個零點，取a＝－1，則f(x)＝lnx＋x2－x，f′(x)＝eq\f(2x2－x＋1,x)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋\f(7,8),x)>0恒成立．則f(x)僅有一個零點，不符合題意，解除A、D；取a＝1，則f(x)＝lnx－x2＋x，f′(x)＝eq\f(1－2x2＋x,x)＝eq\f(1＋2x1－x,x)，f′(x)＝0得x＝1，則f(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)僅有一個零點，不符合題意，解除B，故選C.13．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2017x，x>1，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍是()A．(1,2017) B．(1,2018)C．[2,2018] D．(2,2018)【答案】D14．設函數f(x)是定義在R上的周期為2的函數，且對隨意的實數x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三個零點，則a的取值范圍為()A．[3,5] B．[4,6]C．(3,5) D．(4,6)【答案】C【解析】∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函數，依據函數的周期性和奇偶性作出函數f(x)的圖像如圖所示：15．(2024·湖北七校聯考)已知f(x)是奇函數且是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)【答案】C【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因為f(x)是R上的單調函數，所以2x2＋1＝x－λ只有一個根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個根，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).故選C.16．已知定義在R上的奇函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝1對稱，當－1≤x＜0時，則方程f(x)－eq\f(1,2)＝0在(0,6)內的全部根之和為()A．8 B．10C．12 D．16【答案】C【解析】∵奇函數f(x)的圖像關于直線x＝1對稱，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函數，其周期T＝4.又當x∈[－1,0)時，f(x)＝－logeq\f(1,2)(－x)，故f(x)在(0,6)上的函數圖像如圖所示．由圖可知方程f(x)－eq\f(1,2)＝0在(0,6)內的根共有4個，其和為x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故選C.17．已知a是正實數，函數f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函數y＝f(x)在區間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍．【答案】[1，＋∞)【解析】f(x)＝2ax2＋2x－3－a的對稱軸為x＝－eq\f(1,2a).①當－eq\f(1,2a)≤－1，即0<a≤eq\f(1,2)時，須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥1，))∴無解．②當－1<－eq\f(1,2a)<0，即a>eq\f(1,2)時，須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)－3－a≤0，,a≥1，))解得a≥