試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁特殊四邊形的相關證明和計算歸納練2025年中考數學三輪復習備考1．如圖，在四邊形中，，點、、、分別是、、、的中點．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．2．如圖，平行四邊形的周長為，的平分線交邊于點，交對角線于點，點在上，，過點作于點，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．3．如圖，中，D是邊上一點，E是的中點，過點C作的平行線交的延長線于F．(1)求證：，(2)連接、，若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．4．如圖，在矩形中，過點作．連接交邊于點，連接交邊于點．[認識圖形]求證：．[研究特例]若，直接寫出與的值．[探索關系]若（是常數），設，求關于的函數表達式．[應用結論]若，求的長．5．已知E是邊長為7的正方形對角線上一點，過點E的直線平行于，交于M，交于N，于E，交于F，當時(1)求證：．(2)求的長．(3)求的值6．如圖，在平行四邊形中，點，分別在，上，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，且，，求的長．7．如圖1，在中，，平分，，延長使得，連接．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過作交于點，點在上，平分，過作交的延長線于點．①求證：為等腰直角三角形；②試探究：的數量關系，并證明．8．在正方形中，點、、分別是邊、、上的動點，連接、，相交于點，且．(1)如圖1，若點與點重合①求證：；②如圖2，當點運動到中點時，求證：．(2)如圖3，若點為線段的中點，連接交于點，連接，試探究線段與的數量關系，并證明你的結論．9．如圖1，在正方形中，點是延長線上一點，連接．點在線段上，過點作的垂線分別交于M、N．

(1)求證：；(2)如圖2，當點是中點時，連接交于，連接．寫出和的數量關系，并證明．10．如圖，菱形的對角線交于點O，E為中點．連接并延長至點，使得．連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長度．11．如圖1，在矩形中，，連接與重合，將繞點順時針方向旋轉，連接，．(1)旋轉過程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值為______．(2)如圖2，當點落在對角線上時，求的長．(3)連接，試探究能否構成以為直角邊的，若能，直接寫出線段的長；若不能，請說明理由．12．在正方形中，，點是邊上的動點，連接．(1)【探索發現】如圖，過點作，求證：；(2)【類比探究】如圖，過點作于點，連接，當是等腰三角形時，求此時的長度與的面積；(3)【拓展延伸】如圖，過點作于點，連接，將沿翻折得到，交于點，請直接寫出線段的最小值．13．如圖1，在矩形中，點E為邊上不與端點重合的一動點，點F是對角線上一點，連接交于點O，且．(1)求證：；(2)若，，，求的長；(3)如圖2，若矩形是正方形，，求的值．14．已知正方形，點為的中點．(1)如圖①，點為線段上的一點，且，延長，分別與，交于點，．①求證：；②若，求線段的長．(2)如圖②，在邊上取一點，滿足，連接交于點，連接并延長交于點，求的值．15．【問題情境】已知在四邊形中，為邊上一點（不與點重合），連接，將沿折疊得到，點的對應點為點．【問題初探】（1）如圖（1），若四邊形是正方形，點落在對角線上，連接并延長交于點，直接寫出的度數：___________和的度數：___________．【拓展變式】（2）如圖（2），若四邊形是矩形，點恰好落在的垂直平分線上，與交于點．求證：是等邊三角形；【問題解決】（3）如圖（3），若四邊形是平行四邊形，，點落在線段上，為的中點，連接，求的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《特殊四邊形的相關證明和計算歸納練2025年中考數學三輪復習備考》參考答案1．(1)見解析(2)15【分析】本題主要考查了中點四邊形，三角形的中位線定理，矩形的判定，解題的關鍵是靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進行證明，是一道綜合題．（1）首先利用三角形的中位線定理證得四邊形為平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可；（2）首先三角形的中位線定理求出，的長，再根據矩形的面積公式解答即可．【詳解】（1）證明：∵點，，，分別是，，，的中點，∴，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴，∴為矩形．（2）解：∵，，∴，，∵四邊形為矩形，∴．2．(1)見解析(2)【分析】本題考查了菱形的性質與判定，平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵；（1）根據平行四邊形的性質得出，證明，可得四邊形ABFE是平行四邊形，根據進而根據菱形的判定得出即可；（2）延長交于點，根據已知求得，進而證明，根據相似三角形的高之比等于相似比，進而得出，再根據菱形的性質求得面積，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，即，平分，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）如圖，延長交于點，∵，∴，∵四邊形是菱形；∴，∵平行四邊形的周長為，∴∵，∴∵，∴，又∵，，∴，∴∴，∴四邊形的面積為3．(1)見解析(2)四邊形是菱形【分析】本題考查全等三角形的判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握知識點是解題的關鍵．（1）由E是的中點，，即可得出一組邊相等，兩組內錯角相等，即可證明．（2）由，可得，繼而可證四邊形是平行四邊形，再根據，則四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：∵E是的中點，，∴，，，∴．（2）四邊形是菱形，理由如下：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．4．[認識圖形]見解析[研究特例]，[探索關系][應用結論]【分析】[認識圖形]利用矩形的性質與余角的性質可得出結論；[研究特例]過點E作于P，過點F作于Q，證明，∴，可求出，再證明，得出，可求解；同理可證，得，求出，再證明，得可求解；[探索關系]證明，得，證明，得．再證明，得，，則，然后根據，，而，得，代入即可得出結論；[應用結論]根據求得，從而求得，不規則由勾股定理，得，求得，根據，即，即可求解．【詳解】[認識圖形]證明：∵矩形∴∴∵∴∴．[研究特例]解：∵矩形，∴，∴，過點E作于P，過點F作于Q，則，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；同理可證，∴，即∴∵，，∴∴．[探索關系]解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，，又∵，，∴，∴，∴．[應用結論]解：∵∴，∴，由勾股定理，得，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．5．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據正方形的性質對角線平分一組對角可得，然后求出是等腰直角三角形，再求出，然后求出，然后根據同角的余角相等求出，再利用“角邊角”證明和全等，，即可證明相似；（2）根據全等三角形對應邊相等可得，然后求出，再利用勾股定理列式計算即可得解；（3）作，分別求出的長，利用正切的定義進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，，，，，，，在和中，，；，，，，．（2），，，在中，；（3）作，由（1）（2）可知：，，∵，，，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質及相似三角形的判定方法是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定和性質，菱形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握特殊四邊形的判定和性質是解題關鍵．（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可；（2）先利用矩形的性質，求出，再證明四邊形是菱形，設，則，利用勾股定理列方程求解，再利用等面積法求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形；（2）解：，，，四邊形是矩形，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，設，則，在中，，，解得：，即的長為，∵，∴．7．(1)四邊形是矩形，理由見解析(2)①證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）先證出，再證出四邊形是平行四邊形，然后根據矩形的判定即可得；（2）①先根據角平分線的定義可得，，從而可得，再根據三角形的外角性質可得，由此即可得證；②過點作，交延長線于點，連接，先證出，根據全等三角形的性質可得，再根據等腰三角形的性質可得，根據勾股定理可得，然后證出四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得，由此即可得．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）證明：①∵在中，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形．②，證明如下：如圖，過點作，交延長線于點，連接，由上已得：，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，由（1）已證：四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形全等的判定與性質、勾股定理等知識，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構造全等三角形和等腰直角三角形是解題關鍵．8．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）①證明即可得證；②過點D作于點M，作，交的延長線于點N，證明，得到，由①有，得到，，根據三角形的面積公式可推出，從而，根據角平分線的判定即可得出結論；（2）連接，過點P作于點K，作于點L，由正方形的性質與角平分線的性質得到，由垂直平分線的性質得到，因此，得到，繼而推出，由勾股定理有．證明，得到，從而得出．【詳解】（1）證明：①∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．②過點D作于點M，作，交的延長線于點N，∴，∵，∴，∵點E是的中點，∴，∵，∴，∴，由①有，∴，，即，∴，∴，∵，，∴平分，∴．（2）解：，理由如下：連接，過點P作于點K，作于點L，∵是正方形的對角線，∴平分，∴，∵點G是的中點，，∴，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．過點E作于點Q，則，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵在正方形中，，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查正方形的性質，矩形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，角平分線的判定，垂直平分線的性質，勾股定理等，綜合運用相關知識，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）作于點Q，交于點L，因為于點Q，分別交于點M、N，所以，由正方形的性質得，，，則四邊形是平行四邊形，所以，推導出，再根據“”證明，得，則；（2）連接交于點P，因為點F是中點，所以垂直平分，則，可證明，得，，所以，推導出，則，所以，則．【詳解】（1）證明：如圖1，作于點Q，交于點L，則，

∵于點Q，分別交于點M、N，∴，∵四邊形是正方形，點E在的延長線上，∴，∴四邊形是平行四邊形，，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）解：，證明：如圖2，連接交于點P，

∵交于點G，點F是中點，∴垂直平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題重點考查正方形的性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、線段的垂直平分線的性質、勾股定理等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的性質與判定，菱形的性質，勾股定理，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質以及勾股定理．（1）由菱形的性質得出，則，由矩形的判定可得出結論；（2）求出和的長，由勾股定理可得出答案．【詳解】（1）證明：，，．四邊形是菱形，，．又四邊形是平行四邊形．又是矩形．（2）解：四邊形是矩形，，四邊形是菱形，，，∴∴，．11．(1)，(2)的長為或(3)能，或，理由見詳解【分析】（1）根據矩形，旋轉的性質即可得到是等腰三角形，再證，得到，即可求解；（2）根據題意，分類討論：第一種情況，如圖所示，點在上時，；第二種情況，如圖所示，點在延長線時，，，即；根據勾股定理，相似三角形的判定和性質即可求解；（3）分類討論：第一種情況，如圖所示，，是以為直角邊的三角形，由等腰三角形的判定和性質，勾股定理得到，，由此列式可解；第二種情況，如圖所示，，是以為直角邊的三角形，根據等腰三角形的判定和性質得到四邊形是矩形，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，∴，∴，∵與重合，∴，∴將繞點順時針方向旋轉時，，∴是等腰三角形，∵旋轉，∴，又，∴，∴，故答案為：，；（2）解：第一種情況，如圖所示，點在上時，∴，，，∴，在中，，由（1）可得，，∴；第二種情況，如圖所示，點在延長線時，∴，在中，，∵，∴，即，∴；綜上所述，的長為或；（3）解：能，或，理由如下，第一種情況，如圖所示，，是以為直角邊的三角形，由（1）可得，，，∴設，∵旋轉，∴，∴是等腰三角形，過點作于點，交于點，∴，∵，∴，∴，∴，∴點是的中點，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，在中，，點是中點，∴，在中，，∴，整理得，，解得，（負值舍去），∴；第二種情況，如圖所示，，是以為直角邊的三角形，∵與重合，∴，∴，是等腰三角形，∴，過點作與點，∴，，∴四邊形是矩形，∴，∴；綜上所述，能構成以為直角邊的，線段的長為或．【點睛】本題主要考查矩形的判定和性質，旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，中位線的判定和性質等知識的綜合，掌握相似三角形的判定和性質，數形結合，分類討論思想是解題的關鍵．12．(1)證明見解析；(2)，的面積為或，的面積為；(3)的最小值為．【分析】（）由正方形的性質得，，再通過同角的余角相等證出由相似三角形的判定可得出結論；（）分兩種情況當時，作于點，證明，得出，求出則可得出答案；當時，作于點，求出可得出答案；（）點在以的中點為圓心的圓上，延長交的延長線于點，證明，得出，得出，則最小，最大，即，求出可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，∴，（2）解：如圖，作于點，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，當為等腰三角形時，只有以下兩種可能：當時，作于點，如圖所示，設，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得（負值舍去），∴，為等腰直角三角形，∴，∴此時點三點共線，∴；當時，作于點，如圖所示，設，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，，在中，，∴，解得∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，綜上所述，，的面積為或，的面積為；（3）解：的最小值為，∵，∴點在以的中點為圓心的圓上，延長交的延長線于點，設，，∴，∴，∴∵，∴，∴∴若最小，即最小，則最大，當最大時，與圓相切，即，設，∴，∴，∴，解得或(舍)，∴，∴，∴的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，解直角三角形，圓的切線的性質等知識，掌握相知識點的應用是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查了矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角形相似的性質，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質定理和找準相似三角形．（1）利用矩形的性質和三角形內角和定理，求出，通過等量代換即可求出的度數，從而證明；（2）延長交于點G，根據矩形的性質和平行線的性質定理，利用兩個角相等，兩個三角形相似證明，得到，求出長度，再證明，即可求出的長；（3）設正方形的邊長為，延長交于點G，根據正方的性質和平行線的性質定理，利用兩個角相等，兩個三角形相似證明，得到，用a表示長度，再根據勾股定理求出長度，即可求出的長，從而求出的值．【詳解】（1）證明：矩形，，，，，，；（2）解：如圖，延長交于點G，矩形，，，，，，，，，，，，，；（3）解：設正方形的邊長為，則，如圖，延長交于點G，正方形，，，，，，，，，，．14．(1)①證明見解析；②(2)【分析】（1）①根據正方形的性質得，，繼而得到，推出，利用即可得證；②根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，由等邊對等角得，，然后證明得即，再推出，繼而得到，代入數據求解即可；（2）設正方形的邊長為，，可得，求解后可得到，如圖所示：過點作交于點，證明，得，推出，設，則，求出，證明得即，得出，求得，推出，繼而得到，則，再代入計算即可．【詳解】（1）①證明：四邊形為正方形，∴，，又∵